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Distribuci�n de Poisson en el an�lisis de defunciones en menores de un a�o

 

Poisson distribution in the analysis of deaths in children under one year of age

 

Distribui��o de Poisson na an�lise de �bitos em menores de um ano

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: veronica.arguello@ueb.edu.ec

 

 

Ciencias Matem�ticas

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 15 de febrero de 2023 *Aceptado: 20 de abril de 2023 * Publicado: �04 de mayo de 2023

 

1. Mag�ster en Matem�tica Menci�n Modelaci�n y Docencia, Universidad Estatal de Bol�var, Ecuador.
2. Mag�ster en Pedagog�a de la Matem�tica, Universidad Estatal de Bol�var, Ecuador.
3. Mag�ster en Direcci�n de Operaciones y Seguridad Industrial, Universidad Metropolitana del Ecuador, Ecuador.
4. Mag�ster en Estad�stica Menci�n en Gesti�n de la Calidad y Productividad, Universidad Estatal de Bol�var, Ecuador.

Resumen

En la Universidad hemos sido abrumados con mucha informaci�n dejando de lado la importancia que tiene dicha informaci�n en la aplicaci�n de los conocimientos y arremetiendo al docente en la clase, es as� que invitamos en la presente investigaci�n a caracterizar y modelar las muertes en menores de un a�o, mediante modelos lineales generalizados a trav�s de la distribuci�n de Poisson. Este estudio tuvo una investigaci�n descriptiva puesto que se aplic� un an�lisis exploratorio que permiti� conocer la tasa de mortalidad y que causas de muerte son las m�s influyentes, se cont� con una investigaci�n correlacional, con el n�mero de eventos en menores de un a�o que va a permitir modelar los datos de conteo y se verific� la medida de calidad del modelo mediante AIC. Las estimaciones de los coeficientes del modelo, se verific� que todas las variables son significativas debido a que tiene el valor p menor que el nivel de significancia de 0.05. Finalmente la regresi�n de Poisson es la que mejor se ajusta a los datos, adem�s tiene� un 𝑅2 de 0.858� y un AIC de 650.72,� se concluye que el modelo puede utilizar datos de mortalidad infantil de menores de un a�o de todo el Ecuador.

Palabras Clave: Modelo Matem�tico; Modelo Lineal Generalizado; Regresi�n de Poisson.

 

Abstract

At the University we have been overwhelmed with a lot of information, leaving aside the importance of said information in the application of knowledge and attacking the teacher in the class, so we invite in the present investigation to characterize and model deaths in children under one year, using generalized linear models through the Poisson distribution. This study had a descriptive investigation since an exploratory analysis was applied that allowed to know the mortality rate and which causes of death are the most influential, there was a correlational investigation, with the number of events in children under one year of age that will allow modeling the count data and the quality measure of the model was verified through AIC. The estimates of the model coefficients, it was verified that all the variables are significant because it has a p value less than the significance level of 0.05. Finally, the Poisson regression is the one that best fits the data, it also has an 𝑅2 of 0.858 and an AIC of 650.72, it is concluded that the model can use infant mortality data for children under one year of age from all over Ecuador.

Keywords: Mathematical model; Generalized Linear Model; Poisson regression.

 

Resumo

Na Universidade temos ficado sobrecarregados com muitas informa��es, deixando de lado a import�ncia dessas informa��es na aplica��o do conhecimento e atacando o professor na aula, por isso convidamos na presente investiga��o a caracterizar e modelar mortes em crian�as menores de um ano , utilizando modelos lineares generalizados atrav�s da distribui��o de Poisson. Este estudo teve uma investiga��o descritiva pois foi aplicada uma an�lise explorat�ria que permitiu conhecer a taxa de mortalidade e quais causas de morte s�o mais influentes, houve uma investiga��o correlacional, com o n�mero de eventos em menores de um ano que permitir� a modelagem dos dados de contagem e a medida de qualidade do modelo foram verificadas por meio do AIC. Pelas estimativas dos coeficientes do modelo, verificou-se que todas as vari�veis ​​s�o significativas porque possui um valor de p menor que o n�vel de signific�ncia de 0,05. Por fim, a regress�o de Poisson � a que melhor se ajusta aos dados, tamb�m possui um 𝑅2 de 0,858 e um AIC de 650,72, conclui-se que o modelo pode utilizar dados de mortalidade infantil de crian�as menores de um ano de todo o Equador.

Palavras-chave: Modelo matem�tico; Modelo Linear Generalizado; Regress�o de Poisson.

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Introducci�n

Cada ciclo se ampl�a el desarrollo de modelos matem�ticos que conllevan a la aplicaci�n y manipulaci�n de datos a partir de la utilizaci�n de modelos estad�sticos que permiten analizar el comportamiento de los mismos. Por lo tanto, un modelo es un proceso de abstracci�n desde la realidad al sistema matem�tico con el objetivo de facilitar la comprensi�n del suceso que se est� estudiando (Calzada, 2017). Por otra parte, el objetivo de la modelizaci�n estad�stica es, por tanto, a trav�s de la observaci�n o experimentaci�n, explicar el comportamiento de una o m�s variables en los individuos de una poblaci�n en base a la diferencia entre las caracter�sticas asociadas al objeto de estudio. As� mismo Calzada (2017) menciona que en el planteamiento de un modelo es muy importante distinguir el tipo de variable que intervienen y la clase de relaciones funcionales que se admiten para analizar la relaci�n entre la variable objetivo y las variables explicativas adem�s se�ala que un modelo debe pasar por las siguientes etapas: especificaci�n del modelo te�rico, estimaci�n de par�metros, selecci�n del modelo, evaluaci�n del modelo e interpretaci�n del modelo (p.13). Los modelos lineales (GLM) ampl�an los modelos de regresi�n lineal para abarcar distribuciones de respuesta no normales como es el caso de la distribuci�n de Poisson (Arguello, 2022). Con respecto a la importancia que engloba la distribuci�n de poisson, no obstante, algunos autores como Reading y Reid (2013) han reportado que existe evidencias sobre la posibilidad de investigar sobre el desarrollo de las concepciones de los estudiantes sobre la variabilidad y distribuci�n. En relaci�n con la teor�a de probabilidad y estad�stica la distribuci�n de Poisson es una distribuci�n de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de un n�mero de eventos, esta distribuci�n fue descubierta por Sim�on Denis Poisson, que fue conocida a partir de 1838 ( Rodriguez, 2022). Habria que decir tambi�n que resulta atractivo el trabajo de Ram�rez et al., (2013) mencionan la ense�anza de la distribuci�n de Poisson resulta verla como un proceso en el cual ocurren sucesos discretos en un intervalo continuo de tiempo que tiene tres lugares condicionantes esenciales primero, que la probabilidad de observar exactamente un suceso en el intervalo sea estable, segundo, que la probabilidad de observar dos o m�s sucesos en el intervalo sea cero y� tercero, que la ocurrencia de un suceso en cualquier intervalo sea estad�sticamente independiente de la ocurrencia de un suceso en cualquier otro intervalo de igual magnitud. Hay que mencionar que la distribuci�n de Poisson esta estrechamente relacionada con la distribuci�n binomial y que juega un papel importante en la soluci�n de problemas (Ram�rez et al.,, 2013). En relaci�n a lo que caracteriza a tales procesos es su dependencia del tiempo, o sea, el hecho de que ciertos eventos suceden o no (por azar) a intervalos regulares de tiempo o en un intervalo continuo de tiempo (Freund et al., 2006).� Con respecto a lograr una mejor comprensi�n de la distribuci�n de Poisson, es conveniente complementar el an�lisis con dos consideraciones importantes. Por una parte, la probabilidad de ocurrencia de un suceso en el intervalo es proporcional a la longitud del intervalo, lo que equivale a plantear la relaci�n 𝑃 = 𝜃∆𝑡, donde ∆𝑡 indica unintervalo muy peque�o y 𝜃 una constante que representa el promedio de sucesos que ocurren en el intervalo. Por otra parte, la probabilidad de que ocurra m�s de un suceso en el intervalo peque�o es despreciable, lo cual se puede expresar mediante la relaci�n�� 𝑃 ≈ 0 (Ram�rez et al.,, 2013).�

El siguiente aspecto trata de la devianza que es una medida de la bondad de ajuste de los modelos lineales generalizados R nos da medidas de devianza, la devianza nula y la desviaci�n residual. La devianza nula muestra qu� tan bien la variable de respuesta se predice mediante un modelo que� incluye solo la intersecci�n (AE, 2019). Los supuestos de un modelo de Poisson corresponde a la equidispersi�n Rstudio cuenta con la funci�n glm que permite aplicar modelos lineales generalizados especificando en el argumento family de acuerdo a la distribuci�n a aplicar poisson (link= �log�) y� quasipoisson (link= �log�), la distribuci�n de Poisson tiene un� ́�nico par�metro a estimar, μ, la media, el cual a veces es llamado par�metro de localizaci�n.� La principal caracter�stica de esta distribuci�n es que la media y la varianza son iguales. Luego cuanto mayor sea la media mayor ser� la varianza o variabilidad en los datos, esta propiedad en la distribuci�n de Poisson es llamada propiedad de equidispersion (Calzada, 2017).

Se debe agregar que un proceso de Poisson es un experimento aleatorio que consiste en observar la ocurrencia de eventos espec�ficos sobre un soporte, tal que el proceso es estable el n�mero de ocurrencias, λ es constante a largo plazo y los eventos ocurren de forma aleatoria e independiente. La distribuci�n de Poisson se usa para modelar el n�mero de eventos que ocurren en un proceso de Poisson. Sea XP(λ), esto es, una variable aleatoria con distribuci�n de Poisson donde el n�mero medio de eventos que ocurren en un determinado intervalo es λ (R Coder, 2020). El inter�s de la investigaci�n es caracterizar y modelar las muertes en menores de un a�o, mediante modelos lineales generalizados a trav�s de la distribuci�n de Poisson, as� como la importancia que radica el conocimiento con su aplicaci�n.

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Metodolog�a�

Esta� investigaci�n es descriptiva puesto que se aplic� un an�lisis exploratorio que permiti� conocer la tasa de mortalidad y que causas de muerte son las m�s influyentes, tambi�n contar� con una investigaci�n correlacional, es decir, se realizar� un an�lisis de correlaci�n se utiliz� una regresi�n de Poisson con n�mero de eventos en menores de un a�o que va a permitir modelar estos datos de conteo y se verificar� la medida de calidad del modelo mediante AIC,� para verificar que tan adecuado es con estas bases� simuladas y dar una conclusi�n sobre si aplicar o no este modelo a los datos de mortalidad infantil a nivel Ecuador. La presente investigaci�n inici� con �l m�todo cuantitativo de los datos de las defunciones en menores de un a�o proporcionados por el Instituto Nacional de Estad�sticas y Censos (INEC), iniciando con un an�lisis descriptivo, luego un inferencial y por �ltimo multivariante tuvo un enfoque cuantitativo puesto que es una investigaci�n emp�rica-analista, ya que utiliza datos para probar las hip�tesis utilizando an�lisis estad�stico descriptivo y anal�tico que permita establecer patrones de comportamiento para predecir la media de defunciones en menores de un a�o objeto de estudio.� Los datos se obtuvieron del INEC dado que es una base de datos se consider� los registros del INEC del a�o 2019, considerando las 11 provincias de la regi�n sierra que son: Azuay, Bol�var, Ca�ar, Carchi, Cotopaxi, Chimborazo Imbabura, Loja, Pichincha, Tungurahua y Santo Domingo de los Ts�chilas con un total de 119840 nacidos vivos y 1517 defunciones en menores de un a�o, no se aplic� ninguna t�cnica de muestreo. La base datos que se manej� para el estudio de modelos GLM son las defunciones de menores de un a�o del 2019 recolectadas por el Instituto Nacional de Estad�sticas y Censos la informaci�n conto: provincias, causa de muerte, n�mero de muertes, n�mero de nacidos vivos; todo esto correspondiente a la regi�n sierra del Ecuador.

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Resultados

En esta secci�n se hace referencia los aspectos que se consideraron en la investigaci�n para desarrollar el modelo generalizado Poisson.��

Modelo Lineal Generalizado (Distribuci�n Poisson)

𝑌_𝑖 = 𝑒0 ∗ 𝑒9.467 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐵𝑜𝑙�𝑣𝑎𝑟 ∗ 𝑒5.154 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐶𝑎�𝑎𝑟 ∗ 𝑒8.248 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐶𝑎𝑟𝑐ℎ𝑖

∗ 𝑒2.884 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐶ℎ𝑖𝑚𝑏𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜 ∗ 𝑒3.716 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐶𝑜𝑡𝑜𝑝𝑎𝑥� ∗ 𝑒2.640 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐼𝑚𝑏𝑎𝑏𝑢𝑟𝑎

∗ 𝑒2.499 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝐿𝑜𝑗𝑎 ∗ 𝑒0.002 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑃𝑖𝑐ℎ𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎

∗ 𝑒1.611 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑆𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑇𝑠�𝑐ℎ𝑖𝑙𝑎𝑠 ∗ 𝑒1.925 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑇𝑢𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎ℎ𝑢𝑎

∗ 𝑒0.059 𝐶𝑀 𝐶𝑎𝑢𝑠𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 ∗ 𝑒0.118 𝐶𝑀 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑦 𝑁𝑒𝑢𝑚𝑜𝑛�𝑎

∗ 𝑒0.543 𝐶𝑀� 𝑀𝑎𝑙𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∗ 𝑒0.129 𝐶𝑀� 𝑂𝑏𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖�𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑐𝑖�𝑛 ∗ 𝑒0.073 𝐶𝑀� 𝑅𝑒𝑠𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑠

Tablas�

�Tabla 1. Tabla de contingencia variables G�nero y Causas de muerte n�mero de muertes en menores de un a�o. Causas de Muerte

����������� G�nero ���������� Afecciones ���� Obstrucci�n �� Influenza ������� Resto � Causas ���������� Total

����������� periodo ���������� Malformaciones ������� y �������� de ������ mal

respiratoria prenatal � neumon�a causas definidas

����������� Hombre ��������� 440 ���� 210 ���� 48 ������ 53 ������ 22 ������ 24 ������ 797

����������� Mujer 291 ���� 186 ���� 46 ������ 33 ������ 31 ������ 19

����������� Total � 731 ���� 396 ���� 94 ������ 86 ������ 53 ������ 43

�Se identific� que en hombres se presenta con mayor porcentaje la principal causa de muerte que es afecciones en periodo prenatal, seguida por malformaciones y se concluye que los hombres son m�s propensos a morir.

�Tabla 2.

I.                  Escalas a considerar en los �tems

�

����������� Intercepto ������ -7.702 -9.186 0.000 � �

ProvinciaBol�var	2.248	0.671	3.351	0.001 � �
ProvinciaCa�ar	1.640	0.565	2.902	0.004 � �
ProvinciaCarchi	2.110	0.698	3.022	0.003 � �
ProvinciaChimborazo	1.059	0.377	2.810	0.005 � �
ProvinciaCotopaxi	1.313	0.380	3.458	0.001 � �
ProvinciaImbabura	0.971	0.391	2.479	0.013 � �
ProvinciaLoja	0.916	0.355	2.579	0.010 � �
ProvinciaPichincha	-6.343	2.136	-2.970	0.003 � �
ProvinciaSanto Domingo de los Ts�chilas	0.477	0.262	1.818	0.069 � �
ProvinciaTungurahua	0.655	0.298	2.200	0.028 � �
CMuerteCausas mal definidas	-2.827	0.157	-18.017	0.000 � �
CmuerteInfluenza y Neumon�a	-2.135	0.114	-18.724	0.000 � �
CmuerteMalformaciones	-0.610	0.062	-9.777	0.000 � �
CmuerteObstrucci�n y Respiraci�n	-2.046	0.110	-18.669	0.000 � �
CmuerteResto de Causas	-2.618	0.142	-18.406	0.000 � �
Nacidos	0.000	0.000	3.052	0.002 � �

Se visualiza las estimaciones de los coeficientes del modelo de Poisson y se verific� que todas las variables son significativas debido a que tiene el valor p menor que el nivel de significancia de

0.05.

Tabla 3.

II.                Distribuci�n de Poisson a partir de la estimaci�n exponencial

����������� Variables Independientes �� Estimaciones Exp(Estimaci�n) ����� Interpretaci�n

Intercepto	-7.702	0.000	����������� �
ProvinciaBol�var	2.248	9.467	La media de muertes en menores de un a�o en Bol�var es 90.5% menos que �la media de Azuay.
ProvinciaCa�ar	1.640	5.154	La media de muertes en menores de un a�o en Ca�ar es 94.8% menos que �la media de Azuay.
ProvinciaCarchi	2.110	8.248	La media de muertes en menores de un a�o en Carchi es 91.8% menos que �la media de Azuay.
ProvinciaChimborazo	1.059	2.884	La media de muertes en menores de un a�o en Chimborazo es 97.1% �menos que la media de Azuay.
ProvinciaCotopaxi	1.313	3.716	La media de muertes en menores de un a�o en Cotopaxi es 96.3% menos �que la media de Azuay.
ProvinciaImbabura	0.971	2.640	La media de muertes en menores de un a�o en Imbabura es 97.4% menos �que la media de Azuay.
ProvinciaLoja	0.916	2.499	La media de muertes en menores de un a�o Loja es 97.5% menos que la �media de Azuay.
ProvinciaPichincha	-6.343	0.002	La media de muertes en menores de un a�o en Pichincha es 99.998% m�s �que la media de muertes de Azuay.
ProvinciaSanto Domingo de los Ts�chilas	0.477	1.611	La media de muertes en menores de un a�o en Santo Domingo de los� Ts�chilas es 98.4% menos que la media de Azuay.
ProvinciaTungurahua	0.655	1.925	La media de muertes en menores de un a�o en Tungurahua es 98.1% �menos que la media de Azuay.
CmuerteCausas mal definidas	-2.827	0.059	La media de muertes en menores de un a�o por muertes mal definidas� aumenta 6% que la media de muertes por afecciones en el periodo prenatal.
CmuerteInfluenza y Neumon�a	-2.135	0.118	La media de muertes en menores de un a�o por influenza y neumon�a aumenta 11.8% que la media de � muertes por afecciones en el periodo prenatal.
CmuerteMalformaciones	-0.610	0.543	La media de muertes en menores de un a�o por malformaciones aumenta� 54.3% que la media de muertes por afecciones en el periodo prenatal.

CmuerteObstrucci�n y Respiraci�n	-2.046	0.129	La media de muertes en menores de un a�o por obstrucci�n y respiraci�n aumenta 12.9% que la media de � muertes por afecciones en el periodo prenatal.
CmuerteResto de Causas	-2.618	0.073	La media de muertes en menores de un a�o por otras causas de muerte aumenta 7.3% que la media de � muertes por afecciones en el periodo prenatal.
Nacidos	0.000	1.000	����������� �

�

Se observa que el modelo a partir de la estimaci�n exponencial una comparaci�n de medias entre las muertes en menores de un a�o de las regiones objeto de estudio.

Tabla 4.

III.             An�lisis de Devianza para la variable muertes

�	Grados de libertad	Devianza	Devianza media
Modelo Nulo	131	1676.990	12.801
Modelo Residual	115	208.930	1.817
Total Corregido	210	4776.6	�

�

En la tabla 3 se sintetiza la devianza de la bondad de ajuste del modelo generalizado aplicado en la investigaci�n.� Es as� que el an�lisis de devianza, reportan que el modelo es estad�sticamente significativo y concluy� lo siguiente: El modelo de regresi�n de Poisson tiene un pseudo-𝑅² de 0,858 en comparaci�n con el de regresi�n m�ltiple que ten�a un 𝑅² de 0.966. la hip�tesis referente al pseudo-𝑅², es que 𝐻₀: 𝑅² = 0�� 𝑣𝑠� 𝐻₁: 𝑅² ≠ 0, y 𝐻₀ es rechazada lo que involucra que los datos observados se ajustan al modelo de regresi�n de Poisson, adem�s se cumple con la equidispersi�n ya que se obtuvo un valor de 𝜙 = 1.002.�

 

Etapas del modelo�

Figura 1. Etapas de la construcci�n del modelo

�Discusi�n�

Con el objetivo de dar continuidad a la presente investigaci�n, es conveniente dise�ar nuevos estudios, de modo que se capacite el aprendizaje de la distribuci�n de Poisson, el hecho radica en la comparaci�n que tome como referente el aprendizaje desarrollador de conceptos probabil�sticos en el marco de la formaci�n de los estudiantes. La ense�anza de contenidos estad�sticos constituye un aspecto importante en la formaci�n universitaria de los profesionales de pregrado. La modelizaci�n de cualquier situaci�n real no es un proceso particular, sino que depende de muchos factores tales como calidad de datos, modelo te�rico subyacente entre otras. Con esta concentraci�n se han mostrado las posibilidades y limitaciones de la aplicaci�n de t�cnicas estad�sticas para datos de conteo en el campo de la vida real.

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Conclusiones

Las simulaciones comparativas permiten verificar si el estudio realizado se puede utilizar a nivel de todo el pa�s y se concluye que el modelo puede utilizar datos de mortalidad infantil de menores de un a�o de todo el Ecuador con regresi�n de Poisson. Los modelos lineales generalizados son una amplificaci�n de los modelos lineales que permiten modelar variable que pertenecen a la familia de distribuci�n de probabilidad exponencial, la misma que contiene distribuciones normal, binomial, poisson y binomial negativa sin embargo se debe considerar� el tipo de datos que se va a manipular para� emplear el mejor modelo que contribuir� al an�lisis que� deseamos obtener con el prop�sito de que el modelo propuesto es el indicado para la� modelaci�n de los datos y evitar uno de los supuestos que es la equidispersi�n.�

Finalmente, las simulaciones comparativas son r�pidas de realizar, permiten tomar decisiones adecuadas, razonadas, y en el tiempo que se requieren.

 

Referencias

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� 2023 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).