Simulaci�n del modelo matem�tico de un robot m�vil diferencial con control de posici�n sin orientaci�n basado en ley de Lyapunov

Simulation of the mathematical model of a differential mobile robot with orientation-free position control based on Lyapunov's law

Simula��o do modelo matem�tico de um rob� m�vel diferencial com controle de posi��o livre de orienta��o baseado na lei de Lyapunov

Fabian Israel Heredia-Moreno^I fabian.heredia@espoch.edu.ec https://orcid.org/0000-0002-9413-7504

Cristian Geovanny Merino-S�nchez^III cristian_merino13@hotmail.es https://orcid.org/0000-0003-3645-5165

Michael Estefania J�tiva-Brito^II misheljativa19@gmail.com https://orcid.org/0000-0002-6394-2586

Adriana Virginia Mac�as-Espinales^IV adrianita_23j@hotmail.com https://orcid.org/0000-0002-5303-6520

Correspondencia: fabian.heredia@espoch.edu.ec

Ciencias de la Computaci�n Art�culo de investigaci�n

*Recibido: 13 de septiembre de 2020 *Aceptado: 09 de octubre de 2020 * Publicado: 25 de noviembre de 2020

I.            Ingeniero en Electr�nica, Control y Redes Industriales, Especialista de Proyectos y Transferencia de Tecnolog�as, Escuela Superior Polit�cnica del Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

II.            Ingeniera en Electr�nica Control y Redes Industriales, Docente, Centro de Capacitaci�n Fundel, Ecuador.

III.            Master Universitario en Ingenier�a de Software y Sistemas Inform�ticos, Ingeniero en Sistemas Inform�ticos, Escuela Superior Polit�cnica del Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

IV.            � Magister en Tecnolog�a e Innovaci�n Educativa, Ingeniera en Sistemas, Docente, Universidad Laica Eloy Alfaro de Manab�, Manta, Ecuador.

http://polodelconocimiento.com/ojs/index.php/es

Resumen

El presente art�culo trata de la simulaci�n para situar un robot m�vil diferencial en un punto de referencia sin orientaci�n basado en leyes de Lyapunov. Para lo cual se ha considerado un ambiente de trabajo estructurado, donde la herramienta principal es el software matem�tico Matlab, mismo que se es el protagonista dentro de la simulaci�n del robot m�vil diferencial. Como punto de partida se ha procedido a realizar c�lculos cinem�ticos y din�micos, siendo una de las partes fundamentales de esta investigaci�n para comprender el comportamiento dentro de la simulaci�n del robot. El manejo de los controladores en este trabajo es una parte importante debido a que los mismos se ha encargado de brindar un ajuste detallado a los c�lculos realizados para la simulaci�n del robot m�vil. Los par�metros de los controladores se los ha desarrollado mediante un conjunto de funciones descritas en el entorno de Matlab.

Palabras Clave: Robot m�vil; simulaci�n; matlab; leyer de lyapunov; c�lculo cinem�tico; c�lculo din�mico; controlador.

Abstract

This article deals with the simulation to locate a differential mobile robot in a reference point based on Lyapunov laws. For that, a structured working environment has been considered, from which the main tool is the Matlab mathematical software, which is the protagonist within the simulation of the differential mobile robot. As a starting point, cinematic and dynamic calculations have been carried out, being one of the fundamental parts of this investigation to understand the behavior within the robot simulation. The management of the controllers in this work is an important part due to the fact that the monks have been responsible for providing a detailed adjustment to the calculations made for the simulation of the mobile robot. The parameters of the controllers have been developed using a set of functions described around Matlab.

Keywords: Mobile robot; simulation; matlab; lyapunov's leyer; Cinematic calculation; Dynamic calculation; Controller.

Resumo

O presente artigo trata da simula��o para situar um rob� m�vel diferencial em um ponto de refer�ncia sem orienta��o baseado em leyes de Lyapunov. Para que cual seja considerado um ambiente de trabalho estruturado, fa�a o herramienta principal � o software matem�tico

Matlab, mismo que � o protagonista dentro da simula��o do rob� m�vel diferencial. Como ponto de partida se h� procedido para realizar c�lculos cinem�ticos e din�micos, siendo una de las partes fundamentales de esta investiga��o para comprender el comportamiento dentro de la simulaci�n del robot. O manejo de los drivers neste trabalho � uma parte importante debido a que los mismos se encargado de brindar um ajuste detalhado e los c�lculos realizados para a simula��o do rob� m�vil. Os par�metros dos drivers s�o desarrollados mediante um conjunto de fun��es efetuadas no entorno de Matlab.

Palavras-chave: Rob� m�vel; simula��o; matlab; leyer de lyapunov; c�lculo cinem�tico; c�lculo din�mico; controlador.

Introducci�n

Los robots m�viles a menudo se hallan en escenarios en las que tienen que trasladarse de un punto a otro enfrentando los inconvenientes del entorno como son los obst�culos y las limitaciones de su capacidad. (Bruce & Veloso, 2002).

A menudo los m�todos de control de movimiento requieren altos costes computacionales y errores num�ricos que lo hacen inadecuados para aplicaciones en tiempo real. (Frazzoli, Dahleh, & Feron, 2005).

Los m�todos de planificaci�n para rutas, se desarrollan continuamente para problemas cada vez m�s desafiantes y con costos computacionales m�s bajos, todas las investigaciones apuntan a lograr mecanismos m�viles aut�nomos, este objetivo es posible lograrlo con el uso de m�todos reactivos que permiten al robot interactuar con el entorno de trabajo.

El problema b�sico de un robot m�vil con ruedas est� enfocado en encontrar el camino de un punto inicial a un punto final, evadiendo obst�culos que se presentan en el ambiente de trabajo.

La propuesta contempla en un algoritmo matem�tico para un robot m�vil diferencial desde un punto de partida hacia un punto de llegada, en un ambiente estructurado con control de posici�n sin orientaci�n.

Dise�o del sistema

Dise�o de sistemas de control no lineal: usando Lyapunov

La teor�a de estabilidad de Lyapunov es una herramienta est�ndar y una de las m�s importantes en el an�lisis de sistemas no lineales, adem�s permite analizar la estabilidad de un

sistema de control y puede ser aplicada como una estrategia para el dise�o de controladores, el objetivo de este m�todo es encontrar una funci�n candidata de Lyapunov, cumpliendo con ciertas condiciones asegurando as� la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Sistema estable

La presente investigaci�n es de tipo cuantitativa, debido a que se fundamenta en una valoraci�n num�rica del software, tanto desde la perspectiva de los usuarios, as� como una valoraci�n t�cnica de las caracter�sticas del producto con base en los resultados brindados por dos herramientas de testeo (WebPagetest y MatchMetrics), de las cuales se tomaron en cuenta �nicamente los par�metros determinados por la norma ISO/IEC 25010, todo esto como un estudio de campo. Posteriormente, se utiliz� la investigaci�n descriptiva para detallar los hallazgos (potencialidades y deficiencias) del software y las conclusiones del estudio.

La funci�n principal de Lyapunov V(x) es una funci�n de estados x que cumple con las siguientes condiciones.

1.      V(x) es continua y sus derivadas parciales son continuas

Funci�n definida positiva

2.      V(x) = 0 para x = 0

3.      V(x) > 0 para x ≠ 0 Funci�n semi-definida negativa

4.      (dV(x))/dt=0 para x=0

5.      (dV(x))/dt ≤0 para x ≠0

Las condiciones son fundamentales para que el sistema de control sea considerado un sistema estable. De esta manera se utiliz� la teor�a de Lyapunov para realizar algoritmos de control, por lo tanto, los estados x ser�n los errores, y los puntos de equilibrio que van ser�n el origen,

es decir el punto cero, esto debido a que el objetivo del control es llegar a que el error del mismo vaya hacia cero de esta manera las condiciones para que el sistema sea estable son las siguientes:

1.      La funci�n candidata de Lyapunov y sus derivadas parciales debe ser continua.

2.      La funci�n candidata de Lyapunov debe ser igual a cero solo para x igual a cero

3.      La funci�n debe ser mayor a cero solo para valores diferentes de cero

4.       La derivada de la funci�n candidata de Lyapunov debe ser igual a cero para x igual a cero.

5.       La derivada de la funci�n candidata de Lyapunov debe ser menor igual a cero para x diferente de cero.

6.      V(x) es continua y sus derivadas parciales son continuas

7.      Funci�n definida positiva

8.      V(x) = 0 para x = 0

9.      V(x) > 0 para x ≠ 0

10.   Funci�n semi-definida negativa

11. 

12. 

Metodolog�a

Dise�o de sistemas de control no lineal basados en el modelo

Las consideraciones para el dise�o del controlador no lineal basado en el modelo e implementado la teor�a de Lyapunov son las siguientes:

�         Dado un sistema f�sico (modelo matem�tico y sus restricciones) y su comportamiento deseado, el objetivo obtener una ley de control de modo que el sistema realimentado se comporte como se desea.

�         Si las tareas del sistema de control involucran gran cantidad de las variables o alta velocidad, muy probablemente deba recurrirse a un dise�o de control no lineal al fin de alcanzar las especificaciones.

Los robos m�viles diferencial cuenta con dos pares de ruedas: esto quiere decir dos ruedas de tracci�n que tienen acoplados dos motores DC, y dos ruedas estabilizadas que mantienen el balance del vehic�lalo (figura 1).

La traslaci�n y rotaci�n de este tipo de plataformas diferenciales se determina por el movimiento independiente de cada una de las ruedas de tracci�n.

Para proceder al c�lculo cinem�tico se traz� el sistema de referencia, en este caso en el palo x,

y. A continuaci�n, se inserta el robot m�vil diferencial en una posici�n diferente a la del origen x1, y1 figura 2.

Figura 2-3: calculo cinem�tico.

Datos:

φ orientaci�n

μ_(l )velocidad lineal de la llanta derecha μ_(r )velocidad lineal de la llanta izquierda

h(x,y) �posici�n del robot en el punto de control en este caso es en el centro del eje de las ruedas.

Sabiendo que el punto de control es el punto de inter�s para conocer la posici�n.

El sistema total del robot tendr� una velocidad lineal que permita al robot moverse hacia delante y hacia atr�s.

La velocidad angular μ que permite que el robot gire en sentido horario y en sentido antihorario.

Modelo Cinem�tico de un robot m�vil diferencial

Como se puede observar en la figura 2-3 el robot se ha desplazado:

Ecuaci�n 1

Ecuaci�n 2

y la derivada de la orientaci�n da como resultado la velocidad angular ω.

φ���� ω

Ecuaci�n 3

La velocidad total del sistema ser� el promedio de la velocidad de la llanta derecha μ_r mas promedio de la velocidad de la llanta izquierda.

μ= (μ_r+μ_l) /2 Ecuaci�n 4

La velocidad angular se relaciona con la velocidad lineal de la llanta derecha menos la velocidad angular de la llanta izquierda por una distancia��� .

es la distancia entre las ruedas

Ecuaci�n 5

Una vez que se tenga planteadas las ecuaciones, se puede remplazar la ecuaci�n 3 en la ecuaci�n 1 y en la ecuaci�n 2

Ecuaci�n 6

Dise�o de controladores

Suponiendo que al robot m�vil se le asigna una trayectoria de movimiento h(t) al punto de inter�s en t�rminos de h ̇(t) y sus condiciones iniciales de posici�n y orientaci�n, determinando un conjunto de velocidades q (̇ t) que reduzca la trayectoria dada. Se considera un sistema que tenga el mismo n�mero de ecuaciones que inc�gnitas que m=n, las velocidades de los actuadores se pueden obtener mediante la inversi�n de la matriz jacobiana.

Ecuaci�n 10

velocidades de los actuadores �matriz inversa Jacobiano �velocidades en el punto de inter�s

Sin embargo, las velocidades �en tiempo discreto no coinciden con la ���velocidades en tiempo continuo, este inconveniente se puede supera a un esquema de soluci�n que tenga en cuenta el ERROR entre la posici�n y orientaci�n del punto de inter�s deseado y real.

Ecuaci�n 11

�error

�velocidad de la trayectoria deseada punto real

S� se aplica la deriva al error:

Despejando

Ecuaci�n 12

Las velocidades de los actuadores son:

Ecuaci�n 13

Control de posici�n sin orientaci�n

El control de posici�n consiste en ubicar al robot en un punto de referencia deseado con o sin una orientaci�n deseada figura 3-3

Figura 3-3: calculo cinem�tico.

Partiendo de la ecuaci�n 13, en este caso �la trayectoria deseada ser� constante porque solo se va a posicionar en un punto al robot, por lo tanto, la constante a lo largo del tiempo es la misma.

De esta manera la derivada de la contante es

Por lo tanto, se obtiene que la velocidad de los actuadores:

Ecuaci�n 14

Estabilidad de Lyapunov

El objetivo de aplicar la estabilidad de Lyapunov es asegurar que el controlador sea asint�ticamente estable.

Para el an�lisis de estabilidad se asume el seguimiento perfecto de velocidades.

Ecuaci�n 15

Donde la velocidad de referencia (controlador) ser�m iguales a las velocidades de lectura que tienen el robot diferencial.

Considerando la funci�n candidata de Lyapunov.

Ecuaci�n 16

Ecuaci�n 17

Ecuaci�n 18

La funci�n candidata de Lyapunov debe cumplir los t�rminos asint�ticamente estables antes mencionados.

1. �la funci�n candidata debe ser continua si cumple.

2. ��Funci�n definida es positiva cumple con la condici�n

3. Para el an�lisis de la derivada se debe asegurar que la derivada sea definida negativa, en este caso no se utilizara la derivada del error en algoritmo de control (ecuaci�n 17) de esta manera se utilizara la ecuaci�n 18 en la cual se asume que ��de esta manera se obtiene la ecuaci�n:

Donde,��� es una matriz definida positiva (generalmente diagonal) para que el sistema sea asint�ticamente estable se obtiene:

Ecuaci�n 19

En las cuales las velocidades de referencia que se aplicar� a los actuadores son iguales a la inversa de la matriz jacobiana por una matriz������ diagonal definida positiva por el error.

Con esto se desarrolla el algoritmo de control a implementarse en Matlab.

Emulaci�n del robot m�vil diferencial

Para proceder a realizar la simulaci�n del robot primero se cre� dos archivos.

�                     MobilPlot.m

�                     MobileRobot.m

En el archivo MobilRobot.m se almacenar�n todos los par�metros del robot en el cual se encuentran las dimensione del mismo, tama�o de las llantas, colores etc.

Figura 4-3: archivo de Matlab MobilPlto.m

Y el archivo MobilPlot.m permitir� dibujar al robot en la posici�n de����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� y con una orientaci�n phi, para esto se utiliz� matrices de traslaci�n y de rotaci�n figura 5-3

Figura 6-3: matrices de traslaci�n

Implementaci�n del Controlador en Matlab

Para la implementaci�n del controlador en Matlab se calcul� el error con el siguiente c�digo:

>> hxe(k) = hxd - hx(k);

>> hye(k) = hyd - hy(k);

>> he = [hxe(k) hye(k)]';

Establecida en la ecuaci�n 11, donde hxe y hye son las posiciones son las posiciones reales del robot.

Lugo se gener� la matriz jacobiana para la simulaci�n: J11 = cos(phi(k));

J12 = -a*sin(phi(k));

J21 = sin(phi(k)); J22 = a*cos(phi(k));

J= [J11 J12;... J21 J22];

El par�metro de control a utilizar es matriz diagonal definida positiva: K = [0.3 0;�� 0 0.3];

Luego se insert� la ley de control hallada en la ecuaci�n 19. qpref = pinv(J)*(K*tanh(he));

Para obtener la inversa de la matriz jacobiana se utiliz� la funci�n pinv propia de Matlab, obteniendo las velocidades de referencia que se aplicara al robot diferencial.

Se separ� las acciones de control en velocidad lineal y angular.

>> uRef(k) = qpref(1);% velocida lineal

>> wRef(k) = qpref(2);%velocidad ang�lar

Aplicar acciones de control al robot m�vil simulado

Se calcul� la orientaci�n real del siguiente instante de muestreo utilizando las acciones de control que se obtuvo en el modelo.

1.      Robot simulado (modelo cinem�tico)

>> phi(k+1)=phi(k)+ts*wRef(k);% orientaci�n real en radianes

>> x1p=uRef(k)*cos(phi(k+1)); % velocidad real en metros / segundos

>> y1p=uRef(k)*sin(phi(k+1)); % velocidad real en metros / segundos

Con el m�todo de Euler se hall� las posiciones en los siguientes instantes de muestreo del eje central de las ruedas, considerando que no es el punto de inter�s o el punto de control que se

calcula para dibujar el robot en el cual el robot debe ingresar la posici�n central en el eje de las ruedas

2.      Integral num�rica (m�todo de Euler)

>> x1(k+1)=x1(k)+ts*x1p; % posici�n real del centro (eje x) en metros (m)

>> y1(k+1)=y1(k)+ts*y1p; % posici�n real del centro (eje y) en metros (m)

Se calcul� el punto de inter�s donde hx y hy nuestros puntos de control o inter�s.

3.      modelo geom�trico

>>hx(k+1)=x1(k+1)+a*cos(phi(k+1)); % posici�n de inter�s real (eje x) en metros (m)

>>hy(k+1)=y1(k+1)+a*sin(phi(k+1)); % posici�n de inter�s real (eje y) en metros (m)

Resultados, discusi�n y an�lisis

Una vez terminado el programa de Matlab se procedi� a modificar los valores para obtener los resultados del modelo matem�tico implementado.

Validaci�n del modelo

Para la validaci�n del modelo se ejecut� la programaci�n en el software de Matlab para esto se ingres� los par�metros de su posici�n inicial.

>> hxd = -3;

>> hyd = 3;

Figura 7-4: simulaci�n del robot m�vil desde la posici�n inicial a su posici�n final sin considerar su orientaci�n.

Al realizar la simulaci�n se observ� que el robot se aproximan al punto desea (3;-3).

Figura 8-4: velocidad lineal

Como se puede observar en la figura la velocidad lineal es de 0.41 m/s luego va decreciendo hasta llegar a 0 m/s

Figura 9-4: velocidad angular

La velocidad angular se dispara alcanzando los 4 rd/seg y luego se estabiliza.

Figura 10 -4: errores h_x y h_y

Como se puede evidenciar en la figura 3-4 los errores convergen a cero. Realizando el cambio del par�metro de nuestras condiciones iniciales.

>> hxd = 4.5;

>> hyd = 2.8:

Figura 11-4: simulaci�n del robot m�vil desde la posici�n inicial a su posici�n final (4.5:2.8) sin considerar su orientaci�n.

Figura 13 -4: errores h_x y h_y

Como se puede observar en la figura 11-4 el robot se dirige a la posici�n deseada y su error tienden a cero con esto se logr� verificar que el controlador est� funcionando correctamente.

Pruebas de comportamiento

Las pruebas para verificar el comportamiento del controlador se las detalla a continuaci�n, para lo cual es importante mencionar que el valor de k correspondiente a una constante fue tomando distintos valores. Como se mencion� en los c�lculos, la constante deber�a ser positiva de esta manera se modific� para obtener un control.

K = [1.3 0; 0 1.3];

Figura 3-8: simulaci�n del robot m�vil

Como podemos observar en la figura el robot se traslada bruscamente

Figura 14-4: acciones de control

En las acciones de control se puede observar que existe un cambio brusco en su velocidad angular asta estabilizarse.

Figura 14-4: errores

Se puede observar que los errores decrecen m�s r�pido a cero, pero sin embargo existen variaciones, hay que mencionar que le robot no va alcanzar estas velocidades mayores a 0.5.

Conclusiones

�         Para establecer las pruebas reales no sobrepasar 1 la constante K por movimientos bruscos del robot.

�         El c�lculo cinem�tico encontrado es eficiente par que el robot m�vil diferencial con control deposici�n sin orientaci�n llegue al punto deseado

�         El controlador implementado ha permitido que los errores se establezcan en cero dando como resultado la ubicaci�n deseada con exactitud de 0.001.

�         El modelo cinem�tico considera las velocidades, posici�n del robot m�vil, sin tomar en cuenta los efectos de las fuerzas e inercias productos de la masa del robot, este modelo cinem�tico sirve para la implementaci�n de un esquema de control de seguimiento de caminos

�         El controlador cinem�tico propuesto para el robot m�vil diferencial tiene como variable de control la velocidad lineal y angular del robot m�vil, este controlador garantiza la estabilidad mediante el criterio de Lyapunov, demostrando que los errores de posici�n convergen a cero cuando el tiempo tiende al infinito.

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�2020 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).