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Condici�n de Legendre�Clebsch bajo hip�tesis de rango d�bil en problemas de control �ptimo con restricciones mixtas

 

Legendre�Clebsch condition under weak rank assumption in mixed-constrained optimal control problems

 

Condi��o de Legendre-Clebsch sob hip�tese de posto fraco em problemas de controlo �ptimo com restri��es mistas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: jesus.rodriguez@ute.edu.ec

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 12 octubre de 2025 *Aceptado: 17 de noviembre de 2025 * Publicado: �08 de diciembre de 2025

 

        I.            Universidad UTE, Facultad de Ciencias de la Ingenier�a e Industrias, Carrera de Ingenier�a en Mecatr�nica, Quito, Ecuador.

 

Resumen

Este trabajo aborda problemas de control con restricciones mixtas, en los que las condiciones cl�sicas basadas en la condici�n de independencia lineal de restricciones (LICQ) y en la condici�n de Legendre�Clebsch sobre todo el espacio de controles pueden resultar excesivamente conservadoras. Se propone un marco de segundo orden basado en una hip�tesis de rango d�bil que permite gradientes activos linealmente dependientes, con el objetivo de vincular la formulaci�n de la segunda variaci�n en programaci�n no lineal con una condici�n de Legendre�Clebsch formulada en el espacio de controles. A partir de la segunda variaci�n se introduce un cono cr�tico de direcciones factibles y un subespacio de direcciones cr�ticas del control, y se demuestra que la no negatividad de la forma cuadr�tica en dicho cono implica que la hessiana del hamiltoniano respecto del control es semidefinida positiva; en el caso coercivo se obtiene una cota de crecimiento cuadr�tico sobre esas direcciones. El enfoque se ilustra en un problema lineal�cuadr�tico con control en un cono poli�drico determinado por tres desigualdades, donde la matriz de gradientes tiene rango dos y la hip�tesis de rango est�ndar falla mientras que la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada sigue siendo v�lida, proporcionando un criterio m�s fino en problemas degenerados.

Palabras clave: control �ptimo; problemas de Bolza; restricciones mixtas; condiciones de segundo orden; condici�n de Legendre�Clebsch; hip�tesis de rango d�bil; cono cr�tico radial.

 

Abstract

This work addresses mixed-constraint control problems, where classical conditions based on the linear constraint independence condition (LCIC) and the Legendre�Clebsch condition over the entire control space can be excessively conservative. A second-order framework is proposed, based on a weak-rank hypothesis that allows linearly dependent active gradients, with the aim of linking the formulation of the second variation in nonlinear programming with a Legendre�Clebsch condition formulated on the control space. From the second variation, a critical cone of feasible directions and a subspace of critical control directions are introduced, and it is shown that the non-negativity of the quadratic form on this cone implies that the Hessian of the Hamiltonian with respect to the control is positive semidefinite; in the coercive case, a quadratic growth bound is obtained on these directions. The approach is illustrated in a linear-quadratic problem with control on a polyhedral cone determined by three inequalities, where the gradient matrix has rank two and the standard rank hypothesis fails, while the generalized Legendre�Clebsch condition remains valid, providing a finer criterion in degenerate problems.

Keywords: optimal control; Bolza problems; mixed constraints; second-order conditions; Legendre�Clebsch condition; weak rank hypothesis; radial critical cone.

 

Resumo

Este trabalho aborda problemas de controlo com restri��es mistas, em que as condi��es cl�ssicas baseadas na condi��o de independ�ncia de restri��es lineares (LCIC) e na condi��o de Legendre-Clebsch sobre todo o espa�o de controlo podem ser excessivamente conservadoras. � proposta uma estrutura de segunda ordem, baseada numa hip�tese de posto fraco que permite gradientes ativos linearmente dependentes, com o objetivo de ligar a formula��o da segunda varia��o em programa��o n�o linear com uma condi��o de Legendre-Clebsch formulada no espa�o de controlo. A partir da segunda varia��o, s�o introduzidos um cone cr�tico de dire��es vi�veis ​​e um subespa�o de dire��es de controlo cr�ticas, e mostra-se que a n�o negatividade da forma quadr�tica neste cone implica que a Hessiana do Hamiltoniano em rela��o ao controlo � semidefinida positiva; no caso coercivo, obt�m-se um limite de crescimento quadr�tico nestas dire��es. A abordagem � ilustrada num problema linear-quadr�tico com controlo num cone poli�drico determinado por tr�s desigualdades, onde a matriz gradiente tem posto dois e a hip�tese de posto padr�o falha, enquanto a condi��o de Legendre-Clebsch generalizada permanece v�lida, fornecendo um crit�rio mais refinado em problemas degenerados.

Palavras-chave: controlo �timo; problemas de Bolza; restri��es mistas; condi��es de segunda ordem; condi��o de Legendre-Clebsch; hip�tese de posto fraco; cone cr�tico radial.

 

Introducci�n

Las condiciones de optimalidad de segundo orden ocupan un lugar central en el c�lculo de variaciones y el control �ptimo, pues permiten discriminar entre puntos estacionarios y verdaderos m�nimos locales, as� como cuantificar la robustez de las soluciones frente a perturbaciones de datos y restricciones. En problemas cl�sicos gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, la informaci�n de segundo orden se organiza de forma natural en torno a la segunda variaci�n del funcional y a la estructura geom�trica del conjunto factible, conduciendo a criterios como las condiciones de Legendre y Weierstrass o a formas cuadr�ticas definidas sobre conos cr�ticos de direcciones admisibles (Hager, 2025; Soledad Aronna & Tr�ltzsch, 2021). En a�os recientes, estos desarrollos se han extendido a marcos no locales y fraccionarios, en los que el an�lisis de segundo orden debe adaptarse a din�micas con memoria y operadores no locales, reforzando el papel de la segunda variaci�n como herramienta unificadora (Cabr� et al., 2024; Cruz et al., 2021).

En control �ptimo con restricciones mixtas �es decir, con restricciones que acoplan expl�citamente el tiempo, el estado y el control�, la situaci�n es a�n m�s delicada. Problemas de Bolza con restricciones de estado, cotas activas sobre el control y condiciones terminales generan geometr�as altamente no lineales del conjunto factible, donde la estructura de los extremos est� gobernada por el principio del m�ximo de Pontryagin y por condiciones de complementariedad entre multiplicadores y restricciones activas. Para este tipo de problemas, se han obtenido condiciones de segundo orden tanto en marcos finito�dimensionales como en contextos infinitodimensionales, incluyendo problemas con restricciones de estado gobernados por ecuaciones parab�licas (Casas et al., 2024), sistemas con restricciones de conjunto en variedad (Deng & Zhang, 2020) y problemas con restricciones de tipo degenerado o no est�ndar (Arutyunov & Zhukovskiy, 2020; Hehl & Neitzel, 2023; Karamzin, 2023). En estas contribuciones, la segunda variaci�n se formula t�picamente como una forma cuadr�tica sobre un cono cr�tico de direcciones factibles, y las condiciones de Legendre�Clebsch aparecen como requisitos de semidefinici�n positiva de la hessiana del Hamiltoniano respecto del control.

De forma paralela, el an�lisis de segundo orden en c�lculo de variaciones y control �ptimo se ha visto impactado por avances en programaci�n no lineal (PNL) y optimizaci�n con restricciones. En PNL, la no negatividad (o positividad estricta) de formas cuadr�ticas sobre conos cr�ticos, junto con calificaciones de restricci�n de segundo orden, permite establecer condiciones necesarias y suficientes de optimalidad incluso cuando fallan hip�tesis cl�sicas como LICQ o el rango constante (Fukuda et al., 2023; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020, 2021). Trabajos recientes han introducido calificaciones de tipo �rango constante relajado� y condiciones de normalidad relativa que garantizan la robustez de los multiplicadores y la validez de resultados de segundo orden bajo estructuras de restricci�n degeneradas (Andreani, G�mez, et al., 2022; Ma et al., 2023). Estas ideas se han extendido asimismo a problemas con estructuras c�nicas o semidefinidas, y a marcos multiobjetivo, donde el papel de los conos cr�ticos y de los multiplicadores normales es esencial para capturar la geometr�a local del conjunto factible (Bhat et al., 2024a; Byrd et al., 2019; Luenberger & Ye, 2021).

La literatura en control �ptimo ha comenzado a incorporar de manera sistem�tica esta perspectiva geom�trica, formulando condiciones de segundo orden adaptadas a restricciones de estado, conjuntos factibles degenerados o problemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales (Casas et al., 2024; Soledad Aronna & Tr�ltzsch, 2021). Sin embargo, la mayor parte de los resultados disponibles descansa a�n sobre calificaciones de rango relativamente fuertes, an�logas a LICQ, que exigen independencia lineal de los gradientes de todas las restricciones activas a lo largo de la trayectoria �ptima. Adem�s, las versiones cl�sicas de la condici�n de Legendre�Clebsch imponen que la hessiana del Hamiltoniano respecto del control sea semidefinida positiva en todas las direcciones admisibles del espacio de controles, sin distinguir entre variaciones realmente cr�ticas �es decir, compatibles con las restricciones linealizadas y con la din�mica� y variaciones artificiales que nunca podr�an surgir de un extremal admisible. Esta falta de diferenciaci�n puede conducir a condiciones innecesariamente conservadoras, particularmente en problemas con restricciones redundantes o con fuertes dependencias lineales entre restricciones activas (Andreani, G�mez, et al., 2022; Haeser & Ramos, 2020).

Por otra parte, el desarrollo de problemas de Bolza con estructuras fraccionarias, no locales, estoc�sticas o jer�rquicas est� ampliando el espectro de aplicaciones del control �ptimo m�s all� de los modelos deterministas cl�sicos. En problemas fraccionarios, la din�mica incluye derivados de orden no entero y operadores de tipo memoria que afectan tanto a la formulaci�n del principio del m�ximo como al an�lisis de segundo orden (Bergounioux & Bourdin, 2020; Bourdin & Ferreira, 2021; Malmir, 2024; Nda�rou & Torres, 2023). En problemas estoc�sticos, la segunda variaci�n debe interpretarse en t�rminos de esperanzas condicionales, y las direcciones cr�ticas pasan a ser procesos adaptados a una filtraci�n dada. En marcos multiobjetivo o bilevel, parte de las restricciones codifican a su vez condiciones de optimalidad de problemas de nivel inferior, lo que hace a�n m�s relevante disponer de un lenguaje de conos cr�ticos y calificaciones de rango que pueda trasladarse entre programaci�n no lineal y control �ptimo (Ma et al., 2023).

En este contexto, persiste una brecha relevante en la literatura: falta un marco sistem�tico que conecte de manera expl�cita las calificaciones de restricci�n de segundo orden desarrolladas en programaci�n no lineal con condiciones de Legendre�Clebsch formuladas directamente en el espacio de controles para problemas de Bolza con restricciones mixtas. En particular, se necesita una formulaci�n que: (i) permita trabajar bajo hip�tesis de rango d�biles, en las que pueden coexistir restricciones activas linealmente dependientes; (ii) exprese la segunda variaci�n en t�rminos de un cono cr�tico radial de direcciones factibles, capaz de capturar las degeneraciones introducidas por las restricciones; y (iii) derive una condici�n de Legendre�Clebsch que se exija �nicamente sobre las direcciones cr�ticas del control, reflejando de forma fiel las limitaciones impuestas por la din�mica y las restricciones mixtas, y evitando as� requerimientos innecesariamente fuertes sobre toda la matriz hessiana en ℝᵐ (Andreani, G�mez, et al., 2022; Deng & Zhang, 2020; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020).

El objetivo general de este trabajo es cerrar parcialmente esta brecha, desarrollando una teor�a de segundo orden para problemas de control �ptimo de tipo Bolza con extremos variables y restricciones de igualdad y desigualdad en los extremos y a lo largo del intervalo, que combine de forma coherente la estructura geom�trica de la programaci�n no lineal con la condici�n de Legendre�Clebsch en control. Para ello se parte de la segunda variaci�n asociada al problema de Bolza y de las restricciones linealizadas, y se introduce un cono cr�tico radial de direcciones admisibles que recoge de manera precisa la informaci�n relevante para el an�lisis de segundo orden. Sobre este cono se define, para casi todo tiempo, un subespacio de direcciones cr�ticas del control Γ(t), que concentra exactamente aquellas variaciones del control compatibles con la din�mica, las restricciones mixtas y las condiciones de contorno.

A partir de esta construcci�n, el trabajo formula y demuestra una versi�n generalizada de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo una hip�tesis de rango d�bil (B), an�loga a las calificaciones de restricci�n relajadas de la programaci�n no lineal. Bajo (B), se garantiza una forma de normalidad relativa de los multiplicadores adjuntos que permite trasladar la informaci�n de segundo orden �codificada en una forma cuadr�tica definida sobre el cono cr�tico radial� a una condici�n puntual sobre la hessiana del Hamiltoniano respecto del control. El resultado central establece que, si la forma cuadr�tica de segundo orden es no negativa (o coerciva) sobre el cono cr�tico radial, entonces la hessiana del Hamiltoniano es semidefinida positiva (o satisface una cota de coercividad) sobre el subespacio de direcciones cr�ticas del control Γ(t) para casi todo tiempo, produciendo as� una condici�n de Legendre�Clebsch m�s fina y menos conservadora que la versi�n cl�sica, pero formulada en un marco suficientemente general para cubrir problemas con dependencias lineales entre restricciones activas (Casas et al., 2024; Deng & Zhang, 2020; Hehl & Neitzel, 2023).

Las contribuciones espec�ficas del art�culo pueden resumirse de la siguiente manera:

1. Se introduce, para problemas de Bolza con restricciones mixtas y extremos variables, un cono cr�tico radial �de direcciones admisibles y un subespacio de direcciones cr�ticas del control Γ(t), definidos de manera que codifican de forma precisa la interacci�n entre din�mica, restricciones mixtas y condiciones de contorno en el an�lisis de segundo orden.
2. Se formula una hip�tesis de rango d�bil (B) para el problema de control, inspirada en las calificaciones de restricci�n relajadas de la programaci�n no lineal, que permite trabajar con conjuntos de restricciones activas linealmente dependientes siempre que exista un subconjunto modificado que preserve el cono cr�tico relevante para la segunda variaci�n (Andreani, G�mez, et al., 2022; Haeser & Ramos, 2020; Ma et al., 2023).
3. Se demuestra una condici�n de Legendre�Clebsch generalizada para problemas de Bolza bajo (B): si la forma cuadr�tica de segundo orden asociada al extremal es no negativa en el cono cr�tico radial, entonces la hessiana del Hamiltoniano respecto del control es semidefinida positiva sobre el subespacio de direcciones cr�ticas del control Γ(t) para casi todo tiempo; en el caso coercivo, se obtiene adem�s una cota de crecimiento cuadr�tico estricto en dichas direcciones.
4. Se establece un puente expl�cito entre la formulaci�n de segundo orden en control �ptimo y la teor�a de programaci�n no lineal, mostrando c�mo la descomposici�n de la segunda variaci�n en una parte �mixta� y una parte �pura en el control� conduce de manera natural a una condici�n de Legendre�Clebsch formulada �nicamente en t�rminos de 𝐻ᵤᵤ(t) y del subespacio Γ(t), en l�nea con los desarrollos recientes en problemas con restricciones de estado y estructuras degeneradas (Byrd et al., 2019; Casas et al., 2024; Deng & Zhang, 2020; Hehl & Neitzel, 2023; Soledad Aronna & Tr�ltzsch, 2021).
5. Se presentan ejemplos ilustrativos en dimensi�n finita que muestran c�mo verificar en la pr�ctica la hip�tesis de rango d�bil (B), construir el cono de multiplicadores admisibles y las direcciones cr�ticas, y comprobar la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada en casos donde la calificaci�n de rango est�ndar falla debido a la presencia de restricciones redundantes, pero la normalidad relativa se preserva. Estos ejemplos conectan de forma constructiva la teor�a con problemas lineales�cuadr�ticos con saturaci�n y con controles restringidos a conos poli�dricos, y se�alan posibles extensiones hacia marcos fraccionarios, estoc�sticos y multiobjetivo (Bergounioux & Bourdin, 2020; Bourdin & Ferreira, 2021; Ma et al., 2023; Malmir, 2024; Nda�rou & Torres, 2023).

El resto del manuscrito se organiza como sigue. La Secci�n 2 (Metodolog�a) presenta el enfoque te�rico general: parte del marco variacional cl�sico y de las condiciones de segundo orden en c�lculo de variaciones, revisa las condiciones de optimalidad en programaci�n no lineal, reformula el problema de control �ptimo de tipo Bolza con restricciones mixtas, introduce las hip�tesis de rango est�ndar (A) y d�bil (B) junto con la segunda variaci�n y el cono cr�tico radial, y cierra con la estrategia de construcci�n de ejemplos ilustrativos y las consideraciones de reproducibilidad. La Secci�n 3 (Resultados y discusi�n) recoge los resultados principales: se enuncia y demuestra la condici�n de Legendre�Clebsch bajo rango d�bil, se interpreta este resultado en el marco de la programaci�n no lineal y del problema de control original, y se analiza en detalle un ejemplo ilustrativo en dimensi�n finita que muestra c�mo verificar las hip�tesis de rango y la condici�n generalizada. Finalmente, la Secci�n 4 (Conclusiones) sintetiza los aportes te�ricos del trabajo, discute su vinculaci�n con la literatura reciente en programaci�n no lineal y control �ptimo, y delimita el alcance pr�ctico de los resultados junto con varias l�neas concretas de investigaci�n futura.

 

Metodolog�a

Enfoque general y dise�o del estudio te�rico

El presente trabajo se inscribe en la categor�a de estudios te�rico�anal�ticos en control �ptimo y programaci�n no lineal, con �nfasis en condiciones de optimalidad de segundo orden bajo hip�tesis de rango debilitadas. El foco no est� en un sistema f�sico concreto ni en simulaciones num�ricas, sino en la estructura matem�tica del problema: formulaci�n variacional, geometr�a del conjunto de restricciones y papel de los multiplicadores de Lagrange. En programaci�n no lineal, los resultados recientes para problemas con restricciones de cono muestran que hip�tesis cl�sicas de rango completo, como la independencia lineal de los gradientes activos (LICQ), pueden sustituirse por propiedades de rango constante d�bil sin perder validez de condiciones de segundo orden (Fukuda et al., 2023). En paralelo, en control �ptimo se han desarrollado condiciones de segundo orden para problemas con restricciones mixtas y din�micas complejas, donde la estructura de los multiplicadores y la normalidad es crucial en formulaciones tipo Pontryagin reforzadas (Ayala et al., 2021; Hehl & Neitzel, 2023). En esta intersecci�n se sit�a el presente estudio, que analiza problemas de tipo Bolza con restricciones de igualdad y desigualdad mediante herramientas de programaci�n matem�tica de segunda orden inspiradas en formulaciones recientes (Arutyunov et al., 2022a, 2022b).

El objetivo metodol�gico central es obtener una versi�n generalizada de la condici�n de Legendre�Clebsch para problemas de control �ptimo y c�lculo de variaciones con restricciones, sustituyendo la hip�tesis de rango est�ndar �basada en independencia lineal de gradientes activos o en normalidad fuerte� por una hip�tesis de rango m�s d�bil, pero suficiente para controlar los multiplicadores relevantes (Arutyunov et al., 2022a; Fukuda et al., 2023). Para ello, el dise�o te�rico se organiza en una secuencia de etapas: (i) reformulaci�n variacional del problema de control tipo Bolza, identificando las direcciones de variaci�n admisibles y el papel de las restricciones de trayectoria y de contorno (Arutyunov et al., 2022b); (ii) traducci�n conceptual a problemas de programaci�n no lineal en dimensi�n finita, que permite aplicar resultados contempor�neos de segundo orden bajo condiciones de rango debilitadas (Fukuda et al., 2023); (iii) retorno a una formulaci�n continua en forma can�nica de Bolza, coherente con el principio del m�ximo y con la identificaci�n de las derivadas segundas de la Hamiltoniana (Ayala et al., 2021); (iv) formulaci�n de hip�tesis de rango debilitadas y derivaci�n de una condici�n de segundo orden de tipo Legendre�Clebsch apoyada en una estructura de multiplicadores compatible con una normalidad d�bil (Arutyunov et al., 2022b); y (v) construcci�n de ejemplos ilustrativos donde la hip�tesis est�ndar de rango falla pero la hip�tesis debilitada se verifica, mostrando que la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada sigue siendo aplicable en problemas con estructuras degeneradas (Arutyunov et al., 2022a).

Marco variacional de partida

Como punto de partida, consideramos el problema cl�sico de c�lculo de variaciones con extremos fijos. Sea �un intervalo compacto y �una trayectoria suficientemente regular (por ejemplo, o ). El funcional a minimizar tiene la forma can�nica

(1)

donde �es de clase al menos �en estado y velocidad. En el problema de extremos fijos se imponen

(2)

con �dados, y se define el conjunto admisible

(3)

donde �es el espacio funcional de referencia. Este marco (1)�(3) sigue siendo el modelo de referencia en desarrollos contempor�neos de condiciones suficientes de segundo orden en c�lculo de variaciones (Hager, 2025) y en generalizaciones a contextos fraccionarios o no locales, donde la Lagrangiana depende de operadores con memoria pero se conserva la misma estructura de funcional integral (Cruz et al., 2021).

Para una trayectoria candidata , se consideran variaciones

(4)

con �y . La primera variaci�n, , conduce bajo hip�tesis est�ndar a la ecuaci�n de Euler�Lagrange

(5)

que es condici�n necesaria de primer orden para el problema (1)�(3) (Hager, 2025). La segunda variaci�n �da lugar a una forma cuadr�tica en �y , y motiva la condici�n de Legendre, que exige que la hessiana de �respecto de la velocidad

(6)

sea semidefinida positiva (o negativa en problemas de m�ximo) casi en todo . Esta condici�n expresa una convexidad local en la variable velocidad y ha sido extendida a contextos fraccionarios y no locales, con condiciones de segundo orden an�logas adaptadas a derivadas de Caputo, �rdenes distribuidos y otros operadores (Cruz et al., 2021).

La condici�n de Weierstrass se formula mediante la funci�n exceso

(7)

y exige

(8)

Esta desigualdad puede interpretarse como convexidad local de �en la velocidad vista a trav�s de variaciones �instant�neas� de . En problemas no locales, por ejemplo asociados al operador fraccionario de Laplace, (8) se ha generalizado mediante null-Lagrangians y calibraciones que garantizan la minimalidad de soluciones de (5) dentro de familias de extremales (Cabr� et al., 2024). En conjunto, distintos trabajos han mostrado la equivalencia, bajo hip�tesis adecuadas, entre formulaciones de segundo orden basadas en Legendre, condiciones tipo Jacobi o criterios integrales derivados de problemas de valor inicial (Hager, 2025), lo que motiva revisar cr�ticamente la condici�n de Legendre�Clebsch cuando se incorporan restricciones adicionales.

Para modelar problemas m�s generales, se incorporan restricciones de igualdad y desigualdad sobre la trayectoria y/o su derivada, del tipo

(9)

donde �y

. El funcional (1) se minimiza ahora sobre las trayectorias que satisfacen simult�neamente (2) y (9). Para el an�lisis variacional se introduce la Lagrangiana aumentada

(10)

donde �es libre y �satisface �casi en todo punto. Las condiciones de optimalidad se expresan mediante una ecuaci�n de Euler�Lagrange generalizada para , complementada por

(11)

junto con las condiciones de frontera correspondientes. Esquemas an�logos se han utilizado en problemas variacionales con derivadas fraccionarias, �rdenes distribuidos o retardos, donde primero se obtiene una f�rmula de integraci�n por partes adecuada y luego se derivan ecuaciones de Euler�Lagrange generalizadas y condiciones de Legendre/Weierstrass adaptadas (Cruz et al., 2021).

Finalmente, desde la perspectiva del control �ptimo, la Lagrangiana aumentada (10) sugiere de forma natural la introducci�n de un Hamiltoniano extendido que integra los multiplicadores de las restricciones din�micas e instant�neas, conectando el marco variacional (1)�(3), (9)�(11) con el principio del m�ximo de Pontryagin y con problemas de control tipo Bolza, incluso en presencia de operadores fraccionarios o no locales (Malmir, 2024). Sobre esta base se formular�n, en las secciones siguientes, las versiones generalizadas de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo hip�tesis de rango debilitadas.

Construcci�n del marco de programaci�n no lineal

El paso del problema variacional continuo al entorno finito-dimensional se realiza mediante una discretizaci�n del funcional (1) y de las restricciones (incluidas (9)�(11)), lo que conduce a un problema de programaci�n no lineal (NLP) de la forma

�sujeto a

(12)

donde �parametriza trayectoria y control discretizados. El conjunto factible se escribe

(13)

y sobre �se busca un minimizador local �de , que representa la aproximaci�n finito-dimensional de la trayectoria �ptima. Esta formulaci�n es est�ndar y sirve de base para el an�lisis de condiciones KKT y de segundo orden en NLP (Luenberger & Ye, 2021). En nuestro contexto, (12)�(13) funcionan como �laboratorio� finito-dimensional para formular condiciones de segundo orden bajo hip�tesis de rango debilitadas antes de regresar al marco continuo de control �ptimo tipo Bolza.

La Lagrangiana asociada a (12) es

(14)

con multiplicadores �y . Un punto factible �es un punto KKT si existen �tales que

(15)

Bajo cualificaciones cl�sicas como LICQ, todo m�nimo local de (12) admite multiplicadores que satisfacen (15) (Luenberger & Ye, 2021). En el lenguaje de Fritz�John, la normalidad se traduce en que el multiplicador asociado a la funci�n objetivo puede fijarse en 1, propiedad que ser� clave al comparar estas condiciones con las de tipo Legendre�Clebsch en control �ptimo.

Sea ahora �un punto factible. El conjunto de �ndices activos es

(16)

y la linealizaci�n de las restricciones define el conjunto de direcciones tangenciales factibles

(17)

que aproxima el cono tangente a �en �(Luenberger & Ye, 2021). Dado un vector de multiplicadores KKT , el cono cr�tico cl�sico se define como

(18)

es decir, direcciones tangenciales a lo largo de las cuales la variaci�n de primer orden del objetivo es nula. Sobre �se formulan las condiciones de segundo orden cl�sicas: si �es un m�nimo local y LICQ se cumple, entonces

(19)

lo que expresa la semidefinici�n positiva de la hessiana de �sobre el cono cr�tico (Byrd et al., 2019). Este esquema direcciones cr�ticas/hessiana es el an�logo finito-dimensional de la segunda variaci�n en el problema variacional continuo.

Cuando LICQ falla, �y �pueden dejar de capturar direcciones relevantes para el an�lisis de segundo orden. Para afrontar este problema, la literatura reciente propone: (i) reformulaciones basadas en propiedades de rango constante (constant rank, weak constant rank) que sustituyen a LICQ y permiten tratar restricciones activas linealmente dependientes (Andreani et al., 2024); (ii) conos cr�ticos modificados que incorporan direcciones tangenciales asociadas a subconjuntos de restricciones activas con propiedades geom�tricas espec�ficas (Andreani, G�mez, et al., 2022); y (iii) extensiones a marcos multiobjetivo o en variedades, redefiniendo el cono cr�tico en t�rminos de gradientes ponderados de objetivos y restricciones (Bhat et al., 2024b).

Siguiendo esta l�nea, partimos de (12) y de las condiciones KKT (15) en un punto candidato , identificamos subconjuntos de restricciones activas con propiedades de rango m�s d�biles que LICQ y construimos un cono de direcciones cr�ticas modificadas �que contiene a �y a�ade direcciones tangenciales determinadas por la estructura de rango debilitado. Sobre este cono se formulan condiciones de segundo orden del tipo

(20)

que reducen al caso cl�sico (19) cuando se cumple LICQ, pero siguen siendo informativas bajo hip�tesis de rango m�s generales. Este refinamiento en el nivel de programaci�n no lineal ser� el puente para trasladar, en secciones posteriores, el an�lisis a problemas de control �ptimo tipo Bolza y formular condiciones de Legendre�Clebsch generalizadas.

Reformulaci�n del problema de control �ptimo de tipo Bolza

Consideramos un problema de control �ptimo de tipo Bolza, que denotamos por (P), sobre un intervalo compacto , con estado �y control . El funcional de costo es

(21)

donde modela el t�rmino en los extremos y

�es la Lagrangiana de trayectoria.

La din�mica viene dada por

(22)

con �suficientemente regular. Los extremos satisfacen

(23)

donde �es cerrado (extremos fijos, libres o sometidos a restricciones). Adem�s, se permiten restricciones mixtas tiempo�estado�control

(24)

con �y

. En forma resumida, (P) consiste en minimizar (21) sujeto a (22)�(24).

Para fijar el marco funcional, tomamos

�          �como espacio de trayectorias,

�          �o controles medibles acotados en un conjunto compacto .

Un par �es din�micamente admisible si satisface (22) y cumple (23). El conjunto de procesos admisibles �est� formado por los pares �que verifican simult�neamente (22)�(24), y el problema puede escribirse compactamente como

Se asumen hip�tesis est�ndar: �medibles en �y de clase o �en , con derivadas continuas y acotadas en conjuntos acotados; �localmente Lipschitz en �uniforme en �para garantizar existencia y unicidad de soluciones de (22); �compacto y convexo (�til para el m�ximo del Hamiltoniano); y �cerrado, con descripci�n local suave que permita definir conos tangentes y normales en los extremos. Estas hip�tesis se alinean con planteamientos recientes para problemas de Bolza con restricciones mixtas, tanto en el marco cl�sico como en extensiones fraccionarias o con memoria.

Sea ahora �un proceso �ptimo local. El principio del m�ximo de Pontryagin garantiza la existencia de un multiplicador de costo , un coestado �y multiplicadores de trayectoria , , no todos nulos, que satisfacen un sistema tipo KKT en tiempo continuo. Se introduce el Hamiltoniano extendido

(25)

Las condiciones necesarias de primer orden pueden resumirse en:

�                    Ecuaci�n de estado (impl�cita en la admisibilidad):

�p.c.t. en .

�                    Ecuaciones adjuntas:

(26)

 

�                    Condici�n de m�ximo del Hamiltoniano:

(27)

�                    Condiciones de transversalidad en los extremos:

(28)

donde �es el cono normal de .

�          Condiciones de complementariedad para las restricciones mixtas, p.c.t. :

(29)

Las restricciones de igualdad �no tienen condici�n de signo y sus multiplicadores �toman valores arbitrarios en . En conjunto, (21)�(29) constituyen la versi�n en tiempo continuo de un sistema KKT para un problema de Bolza con restricciones mixtas y extremos variables, que servir� de base para el an�lisis de segundo orden.

Para enlazar estas condiciones con hip�tesis de rango y condiciones tipo Legendre�Clebsch, se introduce una descripci�n geom�trica de las restricciones. En los extremos, el conjunto admisible es ; en el punto �ptimo

el cono tangente �describe las direcciones �que pueden aproximarse mediante pares extremos factibles, y su cono dual �es el que aparece en (28).

Para cada , definimos el conjunto de pares estado�control admisibles

Los conos tangente y normal a �en , denotados por

�y , capturan la geometr�a local de las restricciones mixtas. Bajo regularidad adecuada, las variaciones admisibles �pertenecen a , mientras que los multiplicadores �pueden interpretarse como elementos de .

Esta formulaci�n geom�trica cumple dos funciones: (i) permite expresar hip�tesis de rango y normalidad en t�rminos de conos normales, en l�nea con enfoques recientes en control �ptimo con restricciones de estado y mixtas; y (ii) proporciona el marco natural para definir direcciones cr�ticas y evaluar sobre ellas las formas cuadr�ticas de segundo orden asociadas al Hessiano del Hamiltoniano. Sobre esta base se construir�n, en secciones posteriores, hip�tesis de rango debilitadas y una condici�n de Legendre�Clebsch generalizada para problemas de Bolza con restricciones mixtas y extremos variables.

 

Formulaci�n de hip�tesis de rango y normalidad

Relaci�n entre (A), (B) y normalidad relativa

Retomamos el problema de control �ptimo de tipo Bolza formulado en la Secci�n 2.4, con restricciones en los extremos y restricciones mixtas

,��������

Denotamos por �el conjunto de �ndices de restricciones de igualdad en los extremos, por �el conjunto de restricciones de desigualdad en los extremos, y por

�el conjunto de desigualdades de extremos activas en el proceso �ptimo . Asimismo,

�                    : �ndices de restricciones mixtas de igualdad ,

�                    : �ndices de restricciones mixtas de desigualdad ,

�                    : desigualdades mixtas activas en .

En los extremos se considera la familia de gradientes activos en

y, para cada , la familia de gradientes activos en �asociada a las restricciones mixtas

Agrupamos estas familias en operadores lineales (matrices �altas�)

�y , cuyas filas son precisamente dichos gradientes. La hip�tesis de rango est�ndar (A) se formula como independencia lineal de los gradientes activos:

(30)

Es decir, en los extremos y para casi todo , los gradientes de las restricciones activas son linealmente independientes. Esta es la versi�n infinito�dimensional de LICQ en programaci�n no lineal finito�dimensional. Bajo (30), las condiciones de primer orden (ecuaciones adjuntas, maximizaci�n del Hamiltoniano y condiciones de transversalidad) admiten multiplicadores de Lagrange �nicos y el proceso �ptimo �es normal en el sentido cl�sico ().

Este tipo de hip�tesis de rango es est�ndar en la teor�a contempor�nea de programaci�n no lineal y en las condiciones de segundo orden, donde LICQ y sus variantes garantizan unicidad de multiplicadores y buena definici�n de los conos cr�ticos sobre los que se eval�an las formas cuadr�ticas de segundo orden (Andreani, G�mez, et al., 2022; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020; Luenberger & Ye, 2021).

Hip�tesis de rango d�bil (B) y normalidad relativa

Retomamos el problema de control �ptimo de tipo Bolza formulado en la Secci�n 2.4, con restricciones en los extremos y restricciones mixtas

La hip�tesis (A), aunque natural, puede resultar demasiado exigente cuando existen restricciones redundantes o fuertemente correlacionadas: los gradientes activos pueden ser linealmente dependientes sin que ello invalide las condiciones de segundo orden. Para tratar estos casos introducimos una hip�tesis m�s d�bil, basada en normalidad relativa de los multiplicadores.

Sea �el operador que agrupa todas las restricciones de (P) (condiciones en los extremos y restricciones mixtas en el intervalo). Su derivada de Fr�chet en el proceso �ptimo �se denota por , y el sistema linealizado de restricciones se escribe de forma compacta como

para variaciones �pertenecientes al cono tangente introducido en la secci�n de geometr�a de restricciones (Secci�n 2.4).

El conjunto de multiplicadores �que aparecen en el principio del m�ximo de Pontryagin (ecuaciones (21)�(29)) define un �espacio dual� de restricciones. Fijado un cu�druple �ptimo , definimos el cono de multiplicadores admisibles

(31)

Diremos que �satisface la hip�tesis de rango d�bil (B) si se cumple la siguiente propiedad de normalidad relativa:

(32)

Es decir, la �nica combinaci�n de gradientes de restricciones (en los extremos y a lo largo de la trayectoria) con coeficientes compatibles con los signos y el patr�n de actividad de un multiplicador �ptimo, que produce el vector nulo, es la combinaci�n trivial. Esta propiedad excluye extremales anormales dentro de �sin exigir independencia lineal de todos los gradientes activos.

La formulaci�n (32) es el an�logo, en control �ptimo, de las calificaciones de restricci�n d�biles de segunda orden (Abadie modificado, condiciones de Ben-Tal de segunda orden o variantes de rango constante relajado) propuestas en programaci�n no lineal para garantizar la validez de condiciones de segundo orden sin requerir LICQ (Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020).

Relaci�n entre (A), (B) y programaci�n no lineal

La relaci�n l�gica entre las hip�tesis (A) y (B) puede resumirse as�:

 

�                    (A) implica (B).

Si se verifica (A), los gradientes activos en los extremos y a lo largo de la trayectoria son linealmente independientes; los operadores y tienen rango m�ximo, y en t�rminos del operador global

se tiene

Como el cono �definido en (31) es un subconjunto del espacio de multiplicadores, la intersecci�n �es tambi�n , de modo que se cumple la normalidad relativa (32). En este sentido, (B) es consecuencia inmediata de (A).

(B) es estrictamente m�s d�bil que (A).

La hip�tesis (B) no exige independencia lineal de todo el conjunto de restricciones activas: algunos gradientes pueden ser linealmente dependientes, siempre que exista un subconjunto modificado de restricciones activas �(an�logo al introducido en la Secci�n 2.3 para el problema de programaci�n no lineal) que genere el mismo cono tangente relevante para la segunda variaci�n y satisfaga una condici�n de rango constante o un Abadie modificado de segunda orden.

Este patr�n es bien conocido en programaci�n no lineal: diversos trabajos muestran que condiciones de tipo �rango constante relajado� o �nuevas calificaciones de restricci�n con propiedades de segundo orden� permiten derivar condiciones necesarias y suficientes de segundo orden incluso cuando LICQ falla (Andreani, G�mez, et al., 2022; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020). En un contexto af�n, Ma et al. (2023) combinan condiciones de segundo orden y calificaciones de restricci�n en problemas de bilevel programming, destacando el papel de la normalidad relativa y de los conos cr�ticos en la obtenci�n de condiciones de optimalidad robustas.

Al trasladar estas ideas al control �ptimo, las hip�tesis (A) y (B) act�an como puente conceptual entre la teor�a de programaci�n no lineal y la generalizaci�n de la condici�n de Legendre�Clebsch:

• (A) reproduce el escenario cl�sico: LICQ (o rango constante) en cada punto de la trayectoria, normalidad global del extremal y condiciones de segundo orden formuladas sobre un cono cr�tico bien definido.
• (B) extiende este marco a situaciones con restricciones redundantes o dependencias lineales, siempre que pueda identificarse un conjunto modificado de restricciones y un cono de multiplicadores �que verifiquen (32).

En las secciones posteriores, estas hip�tesis de rango se utilizar�n para formular y demostrar una versi�n generalizada de la condici�n de Legendre�Clebsch para problemas de Bolza con restricciones mixtas y extremos variables, empleando como herramienta central la estructura geom�trica de los conos tangentes y normales introducidos en la Secci�n 2.4.

Derivaci�n de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo (B)

Trabajamos a lo largo del proceso �ptimo �del problema de Bolza , con multiplicadores �que satisfacen el principio del m�ximo de Pontryagin y las condiciones de complementariedad. Definimos las matrices linealizadas

de modo que, para una variaci�n del control , la variaci�n de estado �verifica la ecuaci�n linealizada

(33)

Las restricciones mixtas , �se linealizan como

(34)

 

(35)

y las restricciones de extremos imponen

(36)

donde �es el cono tangente al conjunto admisible de extremos .

En cada �definimos el conjunto de direcciones tangenciales del control

(37)

y el conjunto global de direcciones admisibles

(38)

Para , llamamos �una direcci�n tangencial si �resuelve (33) y cumple (34)�(36). El conjunto de direcciones cr�ticas primarias se define por

(39)

donde �es la primera variaci�n del funcional de costo. Fijado el cu�druple , el conjunto de direcciones cr�ticas relativas al multiplicador se define como

(40)

Recordemos el Hamiltoniano extendido (definido en la secci�n previa):

(41)

A lo largo del extremal y del cu�druple , definimos

Usando las ecuaciones adjuntas, la condici�n de estacionariedad respecto al control y las condiciones de contorno, la segunda variaci�n de en la direcci�n �puede escribirse como

(42)

donde �agrupa t�rminos de segundo orden asociados a las restricciones en los extremos. La condici�n necesaria de segundo orden para m�nimo d�bil exige

(43)

Bajo la hip�tesis de rango d�bil (B), no existen combinaciones no triviales de gradientes de restricciones con coeficientes en el cono de multiplicadores �que produzcan el vector nulo, lo que asegura una normalidad relativa del cu�druple . Esto permite construir variaciones localizadas del control (tipo �aguja�) apoyadas en peque�os intervalos alrededor de un tiempo fijo , de manera que las direcciones �se concentran en torno a �y satisfacen . Al insertar tales variaciones en (42)�(43) y hacer tender el soporte a cero, se obtiene que, para casi todo �y toda direcci�n �compatible con ,

(44)

De aqu� se deduce el siguiente resultado.

Teorema 2.1 (Condici�n de Legendre�Clebsch bajo (B)).

Sea �un m�nimo d�bil local de �que satisface las condiciones de primer orden y la hip�tesis de rango d�bil (B). Entonces, para casi todo �y toda direcci�n �asociada a una direcci�n cr�tica , se cumple

(45)

Es decir, �es negativa semidefinida en las direcciones cr�ticas del control a lo largo de la trayectoria �ptima: esta es la versi�n generalizada de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo (B), donde la negatividad se exige s�lo sobre el cono de direcciones cr�ticas determinado por las restricciones activas y el patr�n de multiplicadores normales, no sobre todo .

Bajo la hip�tesis de rango est�ndar (A), los gradientes de todas las restricciones activas son linealmente independientes y el cono cr�tico puede describirse sin recurrir al cono . En el caso de controles interiores, la condici�n cl�sica de Legendre�Clebsch toma la forma

(46)

es decir, �debe ser negativa semidefinida en todas las direcciones admisibles del control. En s�ntesis, (A) implica (B) y la condici�n cl�sica (46) se recupera como caso particular, mientras que bajo (B) basta exigir que �sea negativa semidefinida s�lo sobre las direcciones cr�ticas relevantes para el m�nimo, lo que permite tratar problemas con restricciones redundantes o altamente correlacionadas sin perder la capacidad de obtener condiciones de segundo orden �tiles.

El resultado anterior puede interpretarse como una versi�n generalizada de la condici�n de Legendre�Clebsch en el esp�ritu de los trabajos cl�sicos sobre extremales singulares, en los que la semidefinici�n de �se interpreta como condici�n de segundo orden necesaria para m�nimos locales, y donde las direcciones relevantes del control quedan determinadas por la estructura de multiplicadores y restricciones activas. Al mismo tiempo, la formulaci�n sobre el cono cr�tico conecta con el enfoque moderno de condiciones de segundo orden en programaci�n no lineal y control �ptimo, en el que la hessiana de la Lagrangiana o del hamiltoniano se eval�a �nicamente sobre el subconjunto de direcciones factibles que capturan la geometr�a local del problema (v�anse, por ejemplo, Kelley, 1964; Goh, 1966; Robbins, 1967, para las formulaciones cl�sicas de Legendre�Clebsch generalizada, y trabajos m�s recientes sobre condiciones de segundo orden basadas en conos cr�ticos y formulaciones tipo Pontryagin, como Andreani et al., 2010, 2017; Bonnans et al., 2014; Byrd et al., 2019; Hager, 2025).

Estrategia de construcci�n de ejemplos ilustrativos

La finalidad de los ejemplos es mostrar situaciones en las que (i) la hip�tesis de rango est�ndar (A) falla por dependencia lineal de los gradientes de las restricciones activas, (ii) la hip�tesis de rango d�bil (B) sigue siendo v�lida y asegura normalidad relativa, y (iii) el c�lculo de la matriz �y del cono de direcciones cr�ticas del control es completamente expl�cito. De este modo se evidencia que las condiciones de segundo orden contin�an siendo informativas m�s all� del marco cl�sico de independencia lineal, en l�nea con desarrollos recientes en programaci�n no lineal y control �ptimo con restricciones (Andreani, G�mez, et al., 2022; Arutyunov et al., 2022b; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020, 2021; Karamzin, 2023; Ma et al., 2023).

La selecci�n de ejemplos responde a tres criterios b�sicos. Primero, se fuerza el fallo de (A): se construyen problemas donde la matriz formada por los gradientes de las restricciones activas (en los extremos, en las restricciones mixtas o en el control) tiene rango estrictamente menor que el n�mero de restricciones activas, reproduciendo degeneraciones t�picas del fallo de LICQ en programaci�n no lineal (Andreani, G�mez, et al., 2022; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020). Segundo, se garantiza la validez de (B): pese a la degeneraci�n, la geometr�a del problema se ajusta de modo que cualquier combinaci�n de gradientes de restricciones, con coeficientes compatibles con el patr�n de signos de los multiplicadores, que da lugar al vector nulo sea necesariamente trivial, preservando as� la normalidad relativa y el contenido de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo (B). Tercero, se prioriza el c�lculo expl�cito de �y de las direcciones cr�ticas: se consideran din�micas lineales y costos cuadr�ticos (o casi cuadr�ticos), con restricciones simples (intervalos de saturaci�n o conos poli�dricos), de manera que , el cono de direcciones cr�ticas del control y la condici�n de Legendre�Clebsch puedan analizarse sin recurrir a c�lculos simb�licos complejos (Arutyunov et al., 2022b; Bourdin & Ferreira, 2021; Karamzin, 2023).

El primer ejemplo se basa en un problema lineal�cuadr�tico con un �nico control escalar y saturaci�n. La din�mica viene dada por

(47)

con �y , y el control se restringe a

(48)

lo que modela una saturaci�n escalar. El funcional de Bolza se elige de tipo cuadr�tico,

(49)

y los par�metros �y las condiciones de contorno se escogen de modo que (i) el control �ptimo sin saturaci�n salga del intervalo permitido en una regi�n de tiempo, activando una de las desigualdades en ; (ii) el conjunto de gradientes de las restricciones activas (incluidas, en su caso, restricciones terminales) presente dependencia lineal, de manera que (A) falle; y (iii) la estructura de multiplicadores del extremal siga siendo normal y satisfaga (B). En estas condiciones, �asociado al Hamiltoniano extendido toma una expresi�n particularmente simple (en el caso LQ est�ndar, proporcional a ), y la verificaci�n de la condici�n de Legendre�Clebsch sobre las direcciones cr�ticas del control se reduce al an�lisis del signo de una forma cuadr�tica unidimensional, ilustrando que la degeneraci�n en la matriz de gradientes de restricciones no impide la validez de la condici�n de Legendre�Clebsch en el cono de direcciones cr�ticas relevante (Arutyunov et al., 2022a; Bourdin & Ferreira, 2021).

El segundo ejemplo utiliza un sistema bidimensional con controles restringidos a un cono poli�drico en . La din�mica se plantea como

,�� ,��

(50)

con , y el conjunto de controles admisibles tiene la forma

(51)

onde , . El funcional de Bolza incluye un t�rmino terminal y un integrando cuadr�tico , con y . Se construye una trayectoria �ptima �tal que: (i) varias filas de �se activan simult�neamente en intervalos de tiempo no triviales, de modo que varias desigualdades �se satisfacen como igualdades; (ii) la matriz formada por las filas activas de �es degenerada, por lo que (A) no se verifica; y (iii) la din�mica, los pesos del costo y las condiciones de contorno permiten un multiplicador normal que verifica (B). En este contexto, la estructura del cono de controles hace posible describir el conjunto de direcciones cr�ticas del control �como vectores tangentes a las caras activas de , compatibles con la linealizaci�n de la din�mica; la condici�n de Legendre�Clebsch se traduce entonces en la semidefinici�n negativa de �sobre , conectando directamente la geometr�a del cono de controles con las condiciones de segundo orden (Arutyunov et al., 2022b; Karamzin, 2023).

En ambos ejemplos, la verificaci�n expl�cita de las propiedades clave (falla de (A), validez de (B) y condici�n de Legendre�Clebsch) sigue la misma pauta. Primero, se calculan los gradientes de las restricciones activas (terminales, mixtas y de control) y se organizan en las matrices relevantes (por ejemplo, matrices tipo �o submatrices de ), identificando as� el rango de la matriz de gradientes de restricciones activas y constatando que es menor que el n�mero de restricciones activas, lo que muestra el fallo de (A), en paralelo con los ejemplos de programaci�n no lineal donde LICQ no se cumple pero se mantienen condiciones de segundo orden mediante calificaciones m�s d�biles (Andreani, G�mez, et al., 2022; Giorgi, 2019; Haeser & Ramos, 2020). Segundo, se construye el operador lineal global �asociado a las restricciones y se define el cono de multiplicadores admisibles ; se comprueba que la �nica soluci�n de

es , confirmando la hip�tesis (B) y la normalidad relativa del extremal, en concordancia con las calificaciones de restricci�n d�biles con propiedades de segundo orden (Haeser & Ramos, 2020, 2021; Ma et al., 2023). Finalmente, se calcula , se describe el conjunto de direcciones cr�ticas del control �y se verifica que

conectando expl�citamente la estructura del problema con la conclusi�n del Teorema 2.1 y proporcionando una validaci�n constructiva de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo hip�tesis de rango d�bil. En conjunto, estos ejemplos permiten comprobar, paso a paso, cada uno de los elementos te�ricos de la metodolog�a �hip�tesis de rango, normalidad relativa, cono de direcciones cr�ticas y semidefinici�n de � de forma coherente con las recomendaciones actuales en programaci�n no lineal y control �ptimo.

Reproducibilidad y posibles extensiones

Con el fin de facilitar la replicaci�n de las pruebas y la adaptaci�n de la metodolog�a a variantes del problema, se fijan expl�citamente el intervalo temporal , el espacio de trayectorias de estado �y el espacio de controles , o bien el subconjunto de funciones esencialmente acotadas con valores en un conjunto compacto y convexo . Estas elecciones son coherentes con el problema de Bolza (21)�(24) y la din�mica (22), y, bajo hip�tesis est�ndar de Lipschitz sobre , garantizan existencia y unicidad de soluciones en . Las funciones de datos �se suponen medibles en �y de clase (o ) en , con derivadas continuas y localmente acotadas en subconjuntos acotados de ; ello permite formular rigurosamente las ecuaciones adjuntas (26), la condici�n de m�ximo (27), las condiciones de complementariedad (29) y la segunda variaci�n (42) a lo largo del extremal , en l�nea con trabajos recientes en control �ptimo con restricciones mixtas y de estado (Andreani, G�mez, et al., 2022; Bourdin & Ferreira, 2021; Haeser & Ramos, 2020; Karamzin, 2023).

Las restricciones en los extremos se codifican mediante el conjunto cerrado �que aparece en (23), mientras que las restricciones mixtas tiempo�estado�control se describen por , �como en (24), lo que induce, para cada , el conjunto admisible

con sus conos tangente y normal �y , introducidos en la Secci�n 2.4. Los conjuntos de �ndices de desigualdades activas en los extremos y a lo largo de la trayectoria se denotan por �y , respectivamente, en coherencia con la Secci�n 2.5. Los multiplicadores �satisfacen las condiciones de Pontryagin (26)�(29) y las reglas de signo para las desigualdades, a saber, , �y , como en (29). Esta convenci�n permite definir el cono de multiplicadores admisibles �en (31) y formular la hip�tesis de rango d�bil (B) en (32) de manera compacta, en consonancia con las calificaciones de restricci�n d�biles con propiedades de segundo orden (Andreani, Haeser, et al., 2022; Haeser & Ramos, 2020).

Desde el punto de vista geom�trico, en los extremos se emplean el cono tangente �y el cono normal asociado , introducidos en la condici�n de transversalidad (28). A lo largo de la trayectoria, los conos �y �recogen la informaci�n local de las restricciones mixtas (Secci�n 2.4). A partir de la linealizaci�n de la din�mica y de las restricciones (33)�(36), se construyen las direcciones tangenciales del control �y el conjunto global �en (37)�(38); imponiendo la anulaci�n de la primera variaci�n se obtiene el conjunto de direcciones cr�ticas primarias �en (39), y, fijado un cu�druple de multiplicadores, el conjunto de direcciones cr�ticas relativas �en (40), sobre el cual se formula la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada (45).

La arquitectura te�rica se apoya en un n�cleo reducido de expresiones, cuya numeraci�n se mantiene estable en toda la secci�n: el problema de Bolza y sus restricciones (21)�(24), el Hamiltoniano extendido (25), las condiciones de primer orden (26)�(29), las hip�tesis de rango est�ndar y d�bil (30)�(32), la din�mica y restricciones linealizadas (33)�(36), la definici�n de direcciones cr�ticas y la segunda variaci�n (37)�(43), la condici�n de Legendre�Clebsch bajo (B) (45) y los ejemplos lineal�cuadr�tico y con cono de controles (47)�(51). Las referencias cruzadas a estos n�meros de ecuaci�n aseguran que la reconstrucci�n de las demostraciones y la comparaci�n con trabajos recientes (Bourdin & Ferreira, 2021; Hager, 2025; Nda�rou & Torres, 2023) puedan hacerse sin ambig�edades ni cambios de notaci�n. En conjunto, la fijaci�n de dominios, espacios funcionales, notaci�n y referencias cruzadas proporciona un entorno reproducible en el que cada paso de la derivaci�n puede verificarse localmente y contrastarse con modelos de la literatura contempor�nea en programaci�n no lineal y control �ptimo.

La metodolog�a desarrollada en las Secciones 2.1�2.7 es deliberadamente modular: separa el paso variacional�discreto, el retorno al problema de Bolza, la formulaci�n de las hip�tesis de rango (A) y (B) y la obtenci�n de la condici�n de Legendre�Clebsch sobre direcciones cr�ticas. Esta estructura facilita extensiones en varias direcciones. En problemas no suaves, donde el funcional o las restricciones incluyen t�rminos no diferenciables (normas , funciones max�min, penalizaciones tipo �hinge�, etc.), la derivada de Fr�chet empleada en (32) debe reemplazarse por subderivadas generalizadas; la hip�tesis (B) se reformula exigiendo que la �nica combinaci�n de subgradientes de las restricciones con multiplicadores en �que produzca el vector nulo sea la trivial, y la segunda variaci�n (42)�(45) se interpreta en t�rminos de formas cuadr�ticas generalizadas, siguiendo la filosof�a de la optimizaci�n no suave de segundo orden (Andreani, G�mez, et al., 2022; Haeser & Ramos, 2020).

Cuando las restricciones dominantes afectan solo al estado, del tipo , , el conjunto �se reduce a un subconjunto de �y el cono de direcciones cr�ticas combina la din�mica linealizada

con la geometr�a local de la frontera de �en los puntos visitados por . En este contexto, las hip�tesis (A) y (B) se formulan sobre los gradientes de las funciones que describen �y la estructura de , de acuerdo con resultados recientes para problemas con restricciones de estado (Karamzin, 2023). Si en lugar de (22) se consideran din�micas fraccionarias (por ejemplo, con derivadas de Caputo de orden �u operadores de orden distribuido), el esquema de la Secci�n 2 se mantiene siempre que exista una f�rmula de integraci�n por partes adaptada al operador fraccionario y se reformulen las ecuaciones adjuntas y las condiciones de contorno asociadas (an�logas a (26) y (28)). El Hamiltoniano extendido conserva la forma (25) y la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada mantiene la estructura de (45), pero las direcciones cr�ticas deben respetar la din�mica fraccionaria linealizada, como se ilustra en problemas de Bolza fraccionarios (Bergounioux & Bourdin, 2020; Bourdin & Ferreira, 2021; Nda�rou & Torres, 2023).

En marcos estoc�sticos (ecuaciones diferenciales estoc�sticas, ruidos multiplicativos, costos en esperanza), el an�lisis puede adaptarse trabajando con procesos �definidos en un espacio de probabilidad, ecuaciones adjuntas estoc�sticas y una segunda variaci�n expresada en t�rminos de esperanzas condicionales. La condici�n de Legendre�Clebsch se reformula entonces como

para direcciones cr�ticas aleatorias , y las hip�tesis de rango (30)�(32) se verifican, casi seguramente, en analog�a con las extensiones estoc�sticas de la programaci�n matem�tica de segundo orden. De forma an�loga, la misma estructura puede servir de base para problemas multiobjetivo, en los que (21) se reemplaza por un vector de objetivos y las direcciones cr�ticas se definen en t�rminos de eficiencia de Pareto, as� como para problemas bilevel o jer�rquicos, donde parte de las restricciones de �codifican condiciones de optimalidad de un problema de nivel inferior: en ambos casos, el n�cleo consiste en identificar un conjunto adecuado de direcciones cr�ticas (an�logo a ) y un conjunto de multiplicadores con normalidad relativa (an�logo a , Ma et al., 2023).

El enfoque presenta, no obstante, varias limitaciones. La derivaci�n de la segunda variaci�n (42) y de la condici�n de Legendre�Clebsch (45) descansa en la existencia de derivadas de segundo orden de �respecto de ; en aplicaciones donde los datos son solo Lipschitz o presentan discontinuidades, este requisito puede ser demasiado restrictivo y obliga a recurrir a an�lisis no suave, modificando sustancialmente (42)�(45). Adem�s, la teor�a se ha desarrollado en dimensi�n finita, con �y ; la extensi�n a din�micas gobernadas por EDP o ecuaciones integrales en espacios de Hilbert requiere herramientas adicionales de an�lisis funcional y una reformulaci�n de , �y de la segunda variaci�n (42) en un entorno infinitodimensional. La verificaci�n expl�cita de la hip�tesis de rango d�bil (B) en (32) tambi�n puede ser costosa en alta dimensi�n: establecer que la �nica soluci�n de

es la trivial requiere analizar en detalle la estructura de los gradientes de las restricciones y del cono ; los ejemplos de la Secci�n 2.7 muestran casos manejables, pero no agotan las situaciones realistas.

Por otra parte, la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada (45) sigue siendo esencialmente necesaria: afina la condici�n cl�sica al restringirse a direcciones realmente cr�ticas, pero no proporciona por s� sola condici�n suficiente de segundo orden para m�nimos fuertes o globales; para ello se requieren hip�tesis adicionales de convexidad, coercividad o estructura especial, como discuten, por ejemplo, Byrd et al. (2019) y Hager (2024). La filosof�a de la hip�tesis (B) se apoya, adem�s, en la posibilidad de reemplazar el conjunto completo de restricciones activas por un subconjunto modificado que preserve el cono cr�tico relevante para la segunda variaci�n; en la pr�ctica, la identificaci�n de dicho subconjunto no es �nica y diferentes elecciones pueden inducir condiciones de segundo orden con distinto grado de precisi�n o conservadurismo, lo que convierte en problema abierto el dise�o de criterios sistem�ticos para seleccionar restricciones modificadas en control �ptimo (Andreani, G�mez, et al., 2022; Andreani, Haeser, et al., 2022; Haeser & Ramos, 2020). Finalmente, la metodolog�a se centra en el an�lisis te�rico de segundo orden y en la estructura geom�trica de las hip�tesis de rango, sin entrar en el dise�o detallado de algoritmos num�ricos que exploten directamente la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada (45); aunque cabe esperar que estos resultados informen m�todos tipo SQP, de disparo u homotop�a para problemas de control �ptimo con restricciones mixtas, el desarrollo de esquemas concretos se deja para trabajos futuros.

En s�ntesis, el enfoque ofrece una generalizaci�n robusta de la condici�n de Legendre�Clebsch basada en hip�tesis de rango d�biles y en el an�lisis de direcciones cr�ticas, pero su aplicaci�n actual se restringe a problemas suaves, de dimensi�n finita y formulados en el marco de Bolza; su extensi�n a contextos no suaves, infinitodimensionales o estoc�sticos y su integraci�n en algoritmos num�ricos espec�ficos constituyen l�neas naturales de investigaci�n futura.

 

Resultados y discusi�n

Resultados te�ricos principales

Sea �un par admisible que satisface las condiciones de primer orden de la Metodolog�a. Para estudiar su optimalidad local basta analizar el desarrollo de segundo orden del funcional reducido en direcciones que respetan las restricciones linealizadas (direcciones cr�ticas). Si �es una variaci�n admisible del estado y del control (por ejemplo, , , con las condiciones de frontera linealizadas incorporadas), la expansi�n de Taylor de �alrededor de �es

(52)

donde �es la forma cuadr�tica de segundo orden asociada a , obtenida en la Metodolog�a en t�rminos de las derivadas segundas del Hamiltoniano (o de la Lagrangiana), de las funciones de restricci�n y de los multiplicadores. Recordamos �nicamente que: �es sim�trica y continua en el espacio de direcciones admisibles; la parte puramente en �contiene �(t�rmino ligado a la condici�n de Legendre�Clebsch); y los t�rminos restantes agrupan derivadas mixtas y de estado, as� como segundas derivadas de las restricciones activas. El efecto de las restricciones de segundo orden se concentra en el cono cr�tico de direcciones, definido como

(53)

de modo que �coincide con el conjunto de direcciones cr�ticas en el sentido de la programaci�n no lineal. Sobre este cono, las condiciones de optimalidad de segundo orden se expresan de forma natural mediante el signo de : una condici�n necesaria para un m�nimo local d�bil normal es

mientras que, bajo las hip�tesis de rango de la Metodolog�a y una condici�n de Legendre�Clebsch (cl�sica o generalizada) sobre �en las direcciones cr�ticas, una condici�n suficiente fuerte viene dada por

donde �es un cono cr�tico �radial� adecuado y . Esta coercividad de �en �implica crecimiento cuadr�tico del funcional y, por consiguiente, optimalidad local estricta de . Este enfoque es coherente con formulaciones modernas de condiciones de segundo orden en control �ptimo y programaci�n infinidimensional, donde se estudia la no negatividad (o positividad estricta) de una forma cuadr�tica sobre el cono cr�tico de direcciones factibles; v�anse, por ejemplo, resultados recientes en problemas gobernados por ecuaciones de Fokker�Planck, restricciones mixtas y restricciones de estado (Soledad Aronna & Tr�ltzsch, 2021). En s�ntesis, el objeto central del an�lisis es la forma cuadr�tica �y su comportamiento sobre ; en lo que sigue se descompone �en sus componentes �mixtas� y �puras en el control� y se muestra c�mo las hip�tesis de rango permiten controlar su signo, incluso cuando la condici�n de rango est�ndar falla.

Para el resultado principal, sea ahora �un m�nimo local d�bil normal de (P) y �el cono cr�tico radial definido en la Secci�n 2. Para cada direcci�n cr�tica , la forma cuadr�tica puede escribirse como

 

(54)

donde �es la derivada segunda del Hamiltoniano respecto del control, evaluada a lo largo del extremal , y �agrupa los t�rminos que involucran al estado y los t�rminos mixtos estado�control. Para casi todo �definimos el subespacio de direcciones cr�ticas de control como

(55)

de manera que �recoge exactamente las variaciones de control compatibles con las restricciones linealizadas (din�mica, extremos y restricciones mixtas) en el sentido del cono cr�tico radial.

Teorema 3.1 (Condici�n de Legendre�Clebsch bajo rango d�bil).

Supongamos que se verifican las siguientes hip�tesis:

�          �es un m�nimo local d�bil normal del problema (P);

�          la hip�tesis de rango d�bil (B) se cumple a lo largo de la trayectoria ;

�          La forma cuadr�tica �asociada a la segunda variaci�n del funcional de coste y de las restricciones es no negativa sobre el cono cr�tico radial, es decir,

(56)

Entonces existe un conjunto �de medida nula tal que, para todo �y toda direcci�n cr�tica �asociada a alguna direcci�n cr�tica , se verifica la desigualdad de Legendre�Clebsch generalizada

(57)

En particular, la hessiana del hamiltoniano respecto del control es positiva semidefinida sobre las direcciones cr�ticas del control a lo largo de la trayectoria �ptima.

Adem�s, si �es coerciva en , es decir, si existe �tal que

(58)

entonces existe �para la cual se cumple la versi�n reforzada de la condici�n de Legendre�Clebsch

(59)

Este resultado se inscribe en la tradici�n cl�sica que relaciona la no negatividad (o la coercividad) de la segunda variaci�n con condiciones de tipo Legendre�Clebsch para extremales singulares, tal como se establece en los trabajos pioneros de Kelley (1964), Goh (1966), Robbins (1967), Jacobson (1970) y Molinari (1975). En desarrollos m�s recientes, la misma filosof�a se ha formulado de manera sistem�tica mediante formas cuadr�ticas definidas sobre conos cr�ticos en problemas de control �ptimo y programaci�n no lineal (Andreani et al., 2010, 2017; M. Aronna et al., 2012; M. S. Aronna et al., 2013; Bonnans et al., 2014; Osmolovskii, 2012; Osmolovskii & Maurer, 2012; �imon Hilscher & Zeidan, 2018). Bajo la hip�tesis de rango d�bil , el Teorema 3.1 extiende este esquema al cono cr�tico radial , mostrando que la no negatividad de la segunda variaci�n implica la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada en las direcciones cr�ticas del control, mientras que la coercividad de refuerza dicha condici�n hasta obtener una desigualdad estricta en norma sobre .

Marco de programaci�n no lineal

Los resultados de la Secci�n 3.1 se interpretan en el marco de la programaci�n no lineal (PNL) viendo el problema de control (P) como un problema de optimizaci�n con restricciones en dimensi�n infinita, cuya estructura local alrededor de �est� codificada por la forma cuadr�tica �y el cono cr�tico radial . Mediante una proyecci�n adecuada de las variaciones �que satisfacen las ecuaciones linealizadas y las restricciones de extremo, se construye un vector reducido �que parametriza las direcciones �radiales� de estado y control, y sobre �l un problema de PNL finito-dimensional con funci�n objetivo reducida , restricciones de igualdad �y restricciones de desigualdad activas . El cono cr�tico del problema reducido se define como

(60)

donde �es el conjunto de restricciones activas en . La forma cuadr�tica de segundo orden asociada al lagrangiano reducido

(61)

es, por construcci�n, el an�logo finito�dimensional de �cuando las variaciones �se proyectan sobre el espacio de par�metros . La hip�tesis de rango d�bil (B) garantiza que esta proyecci�n respeta la estructura linealizada del problema de control: toda direcci�n cr�tica radial �genera una direcci�n cr�tica reducida �y, rec�procamente, las direcciones de �se levantan a trayectorias �en el cono cr�tico radial. En consecuencia, la desigualdad de segundo orden

(62)

es equivalente, en el problema reducido, a la no negatividad de �sobre ; de modo an�logo, la coercividad de �en �se traduce en crecimiento cuadr�tico de �en . Esta reformulaci�n permite leer el Teorema 2.1 como un resultado de segundo orden para un problema de PNL con un cono cr�tico �no est�ndar�, inducido por la din�mica y por la hip�tesis de rango d�bil (B). En este marco, la condici�n de Legendre�Clebsch generalizada sobre el subespacio �aparece como la versi�n puntual, en la variable de control, del hecho de que �es no negativa (o coerciva) en el cono cr�tico reducido.

La literatura reciente de PNL ha destacado el papel de las calificaciones de restricciones de segundo orden para obtener condiciones necesarias y suficientes robustas incluso en problemas degenerados. En particular, Haeser y Ramos (2020) proponen calificaciones que combinan informaci�n de primer y segundo orden, basadas en apareamiento polar y en la geometr�a de los conos cr�ticos, mientras que Fukuda, Haeser y Mito (2023) estudian condiciones de segundo orden d�biles para problemas c�nicos no lineales (por ejemplo, programaci�n semidefinida o de cono de segundo orden) apoy�ndose en versiones de rango constante d�bil menos exigentes que la no degeneraci�n cl�sica. Nuestro enfoque se sit�a en la misma l�nea conceptual, pero adaptado al control �ptimo: la hip�tesis de rango d�bil (B) cumple un papel an�logo a esas calificaciones de segundo orden, sin exigir independencia lineal completa de los gradientes activos, pero garantizando suficiente regularidad para definir un cono cr�tico reducido �estable y trasladar la informaci�n de �a una condici�n casi puntual sobre �en . Desde el punto de vista de la PNL, la formulaci�n en t�rminos de �aproxima este trabajo a propuestas que exploran la interacci�n entre geometr�a de conos cr�ticos y calificaciones de segundo orden; por ejemplo, Giorgi (2019) analiza variantes de la calificaci�n de Abadie formuladas directamente en t�rminos del cono cr�tico para obtener condiciones necesarias m�s fuertes con demostraciones simplificadas. Aqu�, el uso del cono cr�tico radial y de su imagen reducida puede verse como una versi�n adaptada a problemas con din�mica continua y restricciones de trayectoria. En �ltima instancia, aunque la formulaci�n se inspira en estos desarrollos finito�dimensionales, el resultado de la Secci�n 3.1 trasciende ese marco al estar dise�ado para problemas de control con din�mica continua y, eventualmente, restricciones no suaves en el tiempo, manteniendo la compatibilidad entre la lectura de PNL y la interpretaci�n en t�rminos de trayectorias.

Resultados para el problema de control �ptimo

Desde el punto de vista del problema de control �ptimo original, los resultados de segundo orden se organizan en torno a los multiplicadores adjuntos �y al cono cr�tico de trayectorias. En la Metodolog�a se mostr� que, para el extremal , existen multiplicadores no triviales que satisfacen ecuaciones adjuntas, complementariedad y maximalidad del hamiltoniano, codificando as� toda la informaci�n de primer orden en el sentido del principio del m�ximo. El cono cr�tico �se defini� como el conjunto de variaciones �que satisfacen el sistema linealizado de las ecuaciones de estado, las restricciones de extremo y las posibles restricciones mixtas en estado y control; el cono cr�tico radial �se obtiene imponiendo adicionalmente una condici�n de �radialidad� compatible con la estructura de la forma cuadr�tica . En este contexto, la desigualdad

(63)

representa la versi�n infinitesimal del requisito de m�nimo local d�bil en torno a . La hip�tesis de rango d�bil (B) describe c�mo se acoplan �y los multiplicadores adjuntos: las direcciones cr�ticas �no visibles� a primer orden, producidas por la degeneraci�n de las restricciones, quedan controladas mediante una descomposici�n adecuada del espacio de variaciones que permite identificar el subespacio �de direcciones cr�ticas de control relevantes en cada instante y proyectar coherentemente �sobre el cono cr�tico reducido de la PNL asociada, como en la Secci�n 3.2. De este modo, la informaci�n de segundo orden que en programaci�n no lineal se expresa como una forma cuadr�tica sobre un cono cr�tico reducido tiene una traducci�n directa en t�rminos de trayectorias, controles y multiplicadores, lo que justifica que la condici�n de Legendre�Clebsch reforzada (Teorema 2.1) pueda leerse enteramente en el espacio de controles. Reuniendo estos elementos, el Teorema 2.1 se interpreta, en el lenguaje del control �ptimo, como una versi�n reforzada de la condici�n de Legendre�Clebsch bajo rango d�bil: si �es un m�nimo local d�bil normal, (B) se cumple a lo largo de la trayectoria extremal y �es no negativa en , entonces la hessiana del hamiltoniano respecto al control satisface

(64)

es decir, �es semidefinida positiva sobre el subespacio de direcciones cr�ticas de control �para casi todo tiempo; en el caso coercivo se obtiene la cota m�s fuerte

(65)

para cierta constante , que proporciona un crecimiento cuadr�tico estricto en las direcciones cr�ticas relevantes. Frente a la condici�n cl�sica �que exige semidefinitud positiva de �en todo �, el resultado es m�s fino: se formula s�lo sobre , que refleja las restricciones efectivas impuestas por la din�mica y las restricciones mixtas, y se apoya en la hip�tesis de rango d�bil (B) en lugar de una calificaci�n de rango fuerte, ampliando as� la clase de problemas en los que se dispone de un criterio de segundo orden �til. Este esquema es consistente con desarrollos recientes en control �ptimo y optimizaci�n con restricciones, donde se han propuesto condiciones de segundo orden adaptadas a restricciones de estado o estructuras degeneradas: en control de sistemas parab�licos con restricciones de estado, por ejemplo, Casas, Mateos y R�sch (2024) formulan condiciones suficientes en t�rminos de un cono cr�tico que incorpora la activaci�n temporal de las restricciones; en problemas set-constrained m�s generales, Deng y Zhang (2020) proponen condiciones direccionales basadas en conos tangentes y conjuntos tangentes de segundo orden para capturar mejor la geometr�a local del conjunto factible. La contribuci�n espec�fica aqu� es integrar la estructura din�mica del problema en la definici�n del cono cr�tico radial y del subespacio , lo que produce una condici�n de Legendre�Clebsch suficientemente general para abarcar problemas degenerados y, al mismo tiempo, suficientemente concreta para verificarse directamente sobre . Ello sugiere extensiones naturales hacia problemas con restricciones de estado, sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales o estructuras c�nicas en el espacio de controles, donde las ideas de programaci�n no lineal de segundo orden y de control �ptimo deben combinarse de forma cuidadosa.

Ejemplo ilustrativo

Consideremos un ejemplo sencillo en el que la hip�tesis de rango est�ndar (A) falla, mientras que la hip�tesis de rango d�bil (B) y la condici�n de Legendre�Clebsch se verifican sobre las direcciones cr�ticas. El estado es �y el control , con din�mica integradora

(66)

y condici�n inicial . El funcional de costo est� dado por

(67)

de modo que el uso de �se penaliza cuadr�ticamente, mientras que el de se �premia� a trav�s del t�rmino . Para evitar que el problema sea mal planteado, se introducen restricciones sobre el control:

(68)

Estas desigualdades imponen �y ; en particular,

(69)

un cono poli�drico con v�rtice en el origen. Para �se tiene , luego

(70)

por lo que el integrando de �es no negativo. El control nulo �es admisible y genera la trayectoria , con

(71)

En consecuencia, para cualquier control admisible �se cumple , y el par �es un m�nimo global (y, en particular, local) del problema.

El Hamiltoniano extendido, para �y multiplicadores �con , viene dado por

(72)

Como ni el integrando ni las restricciones dependen de , se obtiene , de modo que �es constante. El estado final es libre y no hay t�rmino terminal, por lo que la condici�n de transversalidad impone �y, por tanto, . En el caso normal , las condiciones de primer orden respecto del control, en los intervalos donde �es continuo, exigen

(73)

Las derivadas parciales son

(74)

y, al evaluar en , se obtiene el sistema

(75)

con �y condiciones de complementariedad . Dado que �para , todas las restricciones est�n activas en el v�rtice del cono, pero el sistema (75) s�lo admite la soluci�n

(76)

As�, �es un extremal normal con todos los multiplicadores asociados a restricciones activas iguales a cero, configuraci�n t�pica en la que la hip�tesis de rango est�ndar (A) puede fallar.

En efecto, los gradientes de las restricciones respecto al control son

(77)

y en �las tres desigualdades son activas. La matriz formada por estos gradientes es

(78)

cuyo rango es , mientras que el n�mero de restricciones activas es �y la dimensi�n del control es , con . La condici�n de rango est�ndar (A), basada en la independencia lineal de todos los gradientes activos, no se verifica.

Para la hip�tesis de rango d�bil (B), se requiere que el �nico vector �con �que satisface

(79)

sea el vector nulo. Esto equivale al sistema

(80)

De la primera ecuaci�n se deduce ; sustituyendo en la segunda,

(81)

La restricci�n �implica , y junto con �conduce a

(82)

Por tanto, (B) se cumple: no existe combinaci�n no trivial con coeficientes no negativos de los gradientes activos que se anule, a pesar de la dependencia lineal en .

Para analizar la condici�n de Legendre�Clebsch en las direcciones cr�ticas, las variaciones de control �deben satisfacer las restricciones linealizadas

(83)

es decir,

(84)

que equivalen a

(85)

As�, el conjunto de direcciones cr�ticas es el cono

(86)

que es la versi�n �en el espacio de direcciones� del mismo cono �de controles.

La �nica contribuci�n de segundo orden del costo al Hamiltoniano proviene del t�rmino cuadr�tico en . Como

(87)

la hessiana del Hamiltoniano respecto al control en el extremal es

(88)

Para cualquier direcci�n cr�tica , se cumple

(89)

Dado que , se tiene �y, por tanto,

(90)

Aunque �es indefinida en todo , su restricci�n al subespacio de direcciones cr�ticas �tiene el signo adecuado en el sentido de Legendre�Clebsch: la curvatura del Hamiltoniano es �correcta� precisamente en las direcciones relevantes impuestas por las restricciones. Este ejemplo muestra expl�citamente que la hip�tesis de rango d�bil (B) basta para garantizar una condici�n de Legendre�Clebsch formulada sobre , incluso cuando falla la calificaci�n de rango est�ndar (A), y confirma el marco te�rico desarrollado en la Secci�n 3 en un problema de control �ptimo simple con cono de controles degenerado.

 

 

 

Conclusiones

S�ntesis de los aportes te�ricos

Se ha desarrollado una formulaci�n de segundo orden para problemas de control �ptimo de tipo Bolza con restricciones de igualdad y desigualdad, basada en una hip�tesis de rango d�bil (B) que reemplaza a la calificaci�n est�ndar (A). A partir de la segunda variaci�n del funcional y de las restricciones se introducen el cono cr�tico radial �y el subespacio de direcciones cr�ticas del control , que concentran la informaci�n linealizada relevante. En este marco, el resultado principal establece una condici�n de Legendre�Clebsch formulada �nicamente sobre : la hessiana del hamiltoniano respecto del control �es semidefinida positiva en �para casi todo , y, cuando la forma cuadr�tica �es coerciva en , se obtiene adem�s una cota estricta que proporciona una versi�n reforzada de la condici�n de Legendre�Clebsch para problemas con rango degenerado.

Vinculaci�n con la programaci�n no lineal y la literatura reciente

La proyecci�n de �sobre un cono cr�tico reducido y la descomposici�n de �en parte mixta y parte puramente en el control conectan expl�citamente el an�lisis de segundo orden en control �ptimo con las calificaciones de restricciones de segundo orden de la programaci�n no lineal reciente. En particular, la hip�tesis (B) puede interpretarse como una calificaci�n de segundo orden que, sin exigir independencia lineal completa de los gradientes activos, garantiza un cono cr�tico reducido estable y permite traducir la informaci�n de �a una condici�n casi puntual sobre �en . As�, el trabajo aproxima el lenguaje de la programaci�n matem�tica de segundo orden al de la teor�a del m�ximo de Pontryagin.

Alcance pr�ctico y l�neas futuras

El ejemplo lineal�cuadr�tico con controles en un cono poli�drico muestra que la hip�tesis est�ndar (A) puede fallar mientras que la hip�tesis de rango d�bil (B) se verifica y preserva una condici�n de Legendre�Clebsch significativa sobre . En este caso, los multiplicadores, el cono cr�tico y las direcciones de control cr�ticas se describen de forma expl�cita, lo que ilustra que el enfoque es aplicable a problemas concretos de control con restricciones degeneradas. No obstante, el marco propuesto descansa en cierta suavidad de los datos, se ha planteado esencialmente en un contexto finito-dimensional y proporciona principalmente condiciones necesarias. Futuras extensiones naturales incluyen el tratamiento sistem�tico de datos no suaves, la adaptaci�n a problemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales o en espacios de Hilbert y el estudio de variantes estoc�sticas o jer�rquicas, donde los conjuntos de multiplicadores y los conos cr�ticos presenten estructuras m�s complejas. En conjunto, los resultados ofrecen una base para seguir integrando t�cnicas de segundo orden de la programaci�n no lineal en el an�lisis de problemas avanzados de control �ptimo.

 

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