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Exploraci�n de funciones trigonom�tricas mediante aplicaciones m�viles con realidad aumentada en estudiantes de B�sica Superior y Bachillerato en entornos f�sicos reales

 

Exploring trigonometric functions using mobile applications with augmented reality in upper elementary and high school students in real physical environments

 

Explorando fun��es trigonom�tricas usando aplica��es m�veis com realidade aumentada em alunos do ensino b�sico II e secund�rio em ambientes f�sicos reais

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: orgel.acaro@educacion.gob.ec

 

Ciencias de la Educaci�n

Art�culo de Investigaci�n

 

* Recibido: 26 de julio de 2025 *Aceptado: 24 de agosto de 2025 * Publicado: �06 de septiembre de 2025

 

       I.          Unidad Educativa Mar�a Ang�lica Idrobo, Quito-Ecuador.

     II.          Unidad Educativa Cazadores de los R�os, Cuenca-Ecuador.

   III.          Unidad Educativa Mar�a Ang�lica Idrobo, Quito-Ecuador.

   IV.          Unidad Educativa Gonzol, Chunchi-Ecuador.

 

Resumen

Este estudio tiene como objetivo verificar el uso de aplicaciones m�viles con realidad mejorada, especialmente Geogebra 3D, para ense�ar funciones trigonom�tricas en los estudiantes de educaci�n superior b�sica y bachillerato. Gracias al m�todo cualitativo, de descripci�n y directorio, se han analizado ejemplos interactivos, como la animaci�n de la nave y la monta�a, modelando las funciones de seno, coseno y tangente en el contexto. Estos recursos permiten flexibilidad e intuitivo para mostrar conceptos matem�ticos, facilitando la comprensi�n de los fen�menos peri�dicos y las relaciones trigonom�tricas. An�lisis basado en el modelo te�rico de MTSK, enfatizando las paletas KOT y KMT, que muestra el potencial de estas herramientas para mejorar el conocimiento de la ense�anza y las matem�ticas de los maestros. Los resultados muestran que la realidad de la mejora puede contribuir significativamente al contexto, la capacitaci�n m�s interesante y de la construcci�n, contribuyendo a los beneficios activos de capacitaci�n y matem�ticas.

Palabras Clave: trigonometr�a; realidad aumentada; GeoGebra; TIC; MTSK.

 

Abstract

This study aims to verify the use of mobile applications with enhanced reality, specifically Geogebra 3D, to teach trigonometric functions to students in basic and high school higher education. Using a qualitative, descriptive, and directory approach, interactive examples were analyzed, such as the animation of the ship and the mountain, modeling the sine, cosine, and tangent functions in context. These resources allow for flexibility and intuitiveness in displaying mathematical concepts, facilitating the understanding of periodic phenomena and trigonometric relationships. The analysis is based on the theoretical model of MTSK, emphasizing the KOT and KMT palettes, demonstrating the potential of these tools to improve teachers' teaching and mathematical knowledge. The results show that augmented reality can significantly contribute to the context, making training more interesting and constructive, contributing to the active benefits of teaching and mathematics.

Keywords: trigonometry; augmented reality; GeoGebra; ICT; MTSK.

 

Resumo

Este estudo tem como objetivo verificar a utiliza��o de aplica��es m�veis com realidade aumentada, especificamente o Geogebra 3D, para o ensino de fun��es trigonom�tricas a alunos do ensino b�sico e secund�rio. Utilizando uma abordagem qualitativa, descritiva e de diret�rio, foram analisados ​​exemplos interativos, como a anima��o do navio e da montanha, modelando as fun��es seno, coseno e tangente em contexto. Estes recursos permitem flexibilidade e intuitividade na exibi��o de conceitos matem�ticos, facilitando a compreens�o de fen�menos peri�dicos e rela��es trigonom�tricas. A an�lise baseia-se no modelo te�rico do MTSK, com �nfase nas paletas KOT e KMT, demonstrando o potencial destas ferramentas para melhorar o ensino e o conhecimento matem�tico dos professores. Os resultados mostram que a realidade aumentada pode contribuir significativamente para o contexto, tornando a forma��o mais interessante e construtiva, contribuindo para os benef�cios ativos do ensino e da matem�tica.

Palavras-chave: trigonometria; realidade aumentada; GeoGebra; TIC; MTSK.

 

Introducci�n

La trigonometr�a contin�a siendo, hasta el presente, una de las asignaturas que m�s dificultades presenta a los estudiantes de educaci�n superior b�sica y bachillerato. Y no se debe tanto a las matem�ticas, que se dominan con ejercicio, sino a que sus conceptos son muy te�ricos y es dif�cil entender su utilidad en la vida cotidiana. Por esa raz�n, es necesario encontrar otras maneras de ense�arla, m�s relacionadas con la vida del estudiante.

En este sentido, la realidad aumentada parece ser muy alentadora. Incluso m�s si se utiliza con el tel�fono m�vil, puesto que es un objeto que todos tienen en la mano. Un caso es GeoGebra 3D, que al combinarse con RA facilita ver y relacionarse con las gr�ficas trigonom�tricas en tiempo real, como si fueran reales en el aula o en la casa del ni�o. De este modo, elementos que parecen complejos, como la periodicidad del seno y del coseno, as� como la relaci�n con el c�rculo unitario, se vuelven m�s simples de comprender. Y lo maravilloso es que el alumno ya no se queda quieto mirando, sino que se involucra activamente en la plataforma para aprender m�s.

Autores como Caro y C�rdoba, (2020) o Farf�n (2022) dicen que la RA tiene un gran potencial para mejorar la ense�anza porque ayuda a entender cosas abstractas. Aunque tambi�n aclaran que no basta con tener la app sino tambi�n se necesita que el docente cambie c�mo ense�a, que se prepare bien y que haya un seguimiento.

Si vemos evaluaciones como PISA (Olaya, 2023), es evidente que numerosos pa�ses de Am�rica Latina tienen un bajo rendimiento en matem�ticas. Esto hace necesario considerar nuevas estrategias. En cambio, Corea del Sur, por ejemplo, ha invertido completamente en tecnolog�a educativa y los resultados son evidentes. Estos ejemplos pueden funcionar como referencia para explorar otras alternativas que entusiasmen a los alumnos y, a la vez, optimicen su aprendizaje.

Con lo mencionado, este estudio sugiere examinar la utilizaci�n de apps m�viles con realidad aumentada para ense�ar funciones trigonom�tricas en la preparatoria. La intenci�n es vincularlas a situaciones m�s aut�nticas, que resulten pr�cticas. Se piensa que con esta estrategia se pueden abandonar los m�todos tradicionales, mon�tonos y memor�sticos, optando por un aprendizaje m�s visual, pr�ctico y relacionado con la soluci�n de problemas reales. La idea de trabajar con una propuesta tecnol�gica basada en realidad aumentada (RA) no se queda solo en que los alumnos entiendan mejor las funciones trigonom�tricas. Tambi�n busca que se sientan m�s motivados, que usen su creatividad y que aprendan a pensar de manera cr�tica. Lo interesante es que al usar la RA, las matem�ticas ya no se ven como algo lejano, sino que se pueden relacionar directamente con lo que viven en su d�a a d�a. En el fondo, lo que se pretende es una educaci�n m�s din�mica, m�s conectada con la realidad y con lo que pide el siglo XXI�(L�pez, 2022).

Cuando se habla de incluir tecnolog�as nuevas en matem�ticas, como la RA en el celular, estamos frente a un cambio fuerte. Los estudiantes no solo consumen contenidos, tambi�n los manipulan e interact�an con ellos�(Guamushing, 2024). Y, claro, el papel del profesor cambia bastante. Para que esta incorporaci�n sea �til de verdad, los docentes necesitan dominar tanto el contenido matem�tico como el uso de estas herramientas y, adem�s, conocer bien c�mo aprenden sus alumnos.

Aqu� es donde entra el modelo MTSK (Mathematics Teacher�s Specialized Knowledge), que da un marco te�rico para entender qu� tipo de conocimiento requiere un profesor de matem�ticas al trabajar con tecnolog�a como GeoGebra en RA. Seg�n Carrillo y colegas (2018), este modelo divide el conocimiento en dos partes: el matem�tico (MK) y el did�ctico-pedag�gico (PCK).

El MK incluye los saberes propios de la disciplina, y se divide en tres subdominios: KoT (conocimiento de los temas), KSM (conocimiento de las estructuras matem�ticas) y KPM (conocimiento de las pr�cticas matem�ticas). Por ejemplo, con el KoT se espera que el profesor domine las definiciones y propiedades de las funciones trigonom�tricas, y que pueda explicarlas m�s all� de �solo resolver ejercicios� (Garc�a y Camacho, 2024).

El KSM se enfoca en la habilidad de conectar distintos conceptos, ya sea dentro de la trigonometr�a o con otras �reas como geometr�a anal�tica o c�lculo. Aqu� la RA resulta muy �til porque esas conexiones se pueden mostrar de manera visual y din�mica. El KPM, por �ltimo, se refiere a c�mo se construye el conocimiento matem�tico: modelar, comprobar, usar notaci�n y demostrar. En este punto, GeoGebra con RA permite al estudiante experimentar, mover gr�ficas y comprobar resultados por s� mismo, lo que vuelve su aprendizaje m�s activo y cercano.

Para el segundo dominio, el conocimiento educativo pedag�gico sobre el contenido (PCK), centr�ndose en c�mo los maestros convierten el conocimiento matem�tico en t�cticas de aprendizaje efectivas. Se divide en KFML (conocimiento de las caracter�sticas del aprendizaje matem�tico), KMT (conocimiento del aprendizaje matem�tico) y KML (conocimiento de los est�ndares educativos). KFML requiere que los maestros establezcan dificultades comunes que los estudiantes encuentren mientras estudian funciones trigonom�tricas, como la falta de visual o desconectados de la realidad. Cuando se usan, estas limitaciones se pueden superar a trav�s de actuaciones interactivas y experimentadas (Mart�ez, 2024).

KMT est� relacionado con la selecci�n de estrategias, tareas y recursos apropiados para la capacitaci�n. En este contexto, la selecci�n de geogebra de fuera como un recurso pedag�gico brinda a los maestros la oportunidad de crear actividades interactivas y colocar m�s para alentar la participaci�n activa de los estudiantes en su educaci�n.

Finalmente, el KMLS se relaciona con el entendimiento del docente acerca del nivel de desarrollo cognitivo que se anticipa para sus alumnos, junto con la conexi�n de sus m�todos con los est�ndares de evaluaci�n tanto nacionales como internacionales, como las evaluaciones PISA o SABER�(D�az, 2022).

Como indica Prieto (2020), el uso de herramientas como GeoGebra 3D con realidad aumentada en la ense�anza de las funciones trigonom�tricas debe considerarse no solo como una novedad tecnol�gica, sino como una intervenci�n educativa compleja que demanda un conocimiento profundo del docente. El modelo MTSK facilita la identificaci�n y el fortalecimiento de las competencias necesarias, asegurando que la tecnolog�a se utilice de manera efectiva para enriquecer el aprendizaje y no solo como un recurso adicional

 

Metodolog�a
Este trabajo se desarrolla con un enfoque cualitativo, de car�cter descriptivo, bajo la modalidad de estudio de caso instrumental (Stake, 2005), complementado con una revisi�n bibliogr�fica. No busca intervenir de manera directa con estudiantes o profesores, sino revisar y analizar ejemplos did�cticos donde se modelan funciones trigonom�tricas usando realidad aumentada en aplicaciones m�viles, sobre todo con GeoGebra 3D, adem�s de apoyarse en literatura sobre did�ctica de las matem�ticas, TIC y modelaci�n.

Un estudio descriptivo porque la intenci�n es mostrar el valor educativo de experiencias interactivas que representan funciones trigonom�tricas en escenarios que imitan lo real. Tambi�n es un caso instrumental, ya que, a partir de ejemplos concretos creados en GeoGebra como la animaci�n de un barco o una monta�a se busca obtener aprendizajes generales sobre el papel de la RA en la ense�anza de matem�ticas en bachillerato.

Al mismo tiempo, se trata de una investigaci�n bibliogr�fica, pues incluye la consulta de art�culos, informes, libros y recursos digitales. Estas fuentes sirven de apoyo para relacionar las experiencias pr�cticas con marcos te�ricos como el modelo MTSK.

El an�lisis se centra en modelos interactivos elaborados con GeoGebra y disponibles en repositorios educativos. Estos permiten trabajar con funciones seno, coseno y tangente en situaciones concretas, por ejemplo, el movimiento de un barco en el mar o la pendiente de una monta�a.

Algunos ejemplos son:

• La animaci�n del barco
• El modelo de la monta�a, que facilita analizar inclinaci�n, altura y distancia usando funciones trigonom�tricas en un entorno gr�fico. Este tipo de recurso ayuda a conectar las funciones con contextos cercanos a la vida diaria.

El an�lisis de estos casos se llev� a cabo mediante revisi�n documental y an�lisis de contenido. Se busc� identificar los elementos matem�ticos implicados (funciones, �ngulos y relaciones trigonom�tricas) y valorar su potencial pedag�gico para fomentar un aprendizaje m�s activo, visual y contextualizado.

Para orientar la investigaci�n se retomaron aspectos del modelo MTSK (Mathematics Teacher�s Specialized Knowledge), especialmente los subdominios KoT (conocimiento de los temas) y KMT (conocimiento de la ense�anza). Aunque no se trabaja con un profesor en espec�fico, este marco sirve de gu�a para pensar c�mo un docente podr�a aprovechar los modelos digitales en su pr�ctica.

 

 

 

 

Resultados
Ejemplo 1: Funci�n animada del barco

Este modelo simula el movimiento de un barco sobre una onda senoidal, utilizando funciones trigonom�tricas para representar el vaiv�n del barco en el eje vertical como se observa en la siguiente figura.

Figura1.
Barco animado en GeoGebra

Fuente: (Nolivos y Moreira, 2023)

Elementos trigonom�tricos identificados:

• Funciones seno y coseno como representaci�n de fen�menos peri�dicos.
• �ngulos formados con el eje horizontal.
• Longitudes determinadas por razones trigonom�tricas.

Potencial pedag�gico:

• Visualizaci�n din�mica de c�mo una funci�n trigonom�trica modela un fen�meno f�sico.
• Exploraci�n de conceptos de amplitud, periodo y desplazamiento.
• Contextualizaci�n que facilita el aprendizaje significativo.

Desde el modelo MTSK, este ejemplo puede relacionarse con:

• KoT: Por el conocimiento de definiciones, propiedades y representaciones de funciones trigonom�tricas.
• KMT: Por la identificaci�n de una estrategia did�ctica que permite representar matem�ticamente una situaci�n real mediante herramientas tecnol�gicas.

 

Ejemplo 2: Modelo de monta�a animada

Este recurso simula una monta�a cuya pendiente puede ser analizada mediante funciones trigonom�tricas. Se permite modificar �ngulos, alturas y distancias, promoviendo la comprensi�n de:

• La relaci�n entre la altura de la monta�a, su inclinaci�n y la distancia horizontal.
• El uso de tangente para calcular pendientes.
• La visualizaci�n de tri�ngulos en el espacio y su descomposici�n.

Figura 2.
�Monta�a Rusa

Fuente: (Nolivos y Moreira, 2023)

Elementos trigonom�tricos identificados:

• �ngulos de inclinaci�n como entrada para el c�lculo trigonom�trico.
• Aplicaci�n de tangente, seno y coseno en contextos de altura y distancia.
• Tri�ngulos rect�ngulos aplicados a contextos reales.

Potencial pedag�gico:

• Exploraci�n libre y manipulativa de conceptos abstractos.
• Interpretaci�n visual inmediata de resultados num�ricos.
• Aumento del inter�s y motivaci�n del estudiante al conectar matem�ticas con situaciones del mundo real.

Desde el modelo MTSK, este ejemplo refleja:

• KoT: Comprensi�n profunda de procedimientos y representaciones.
• KMT: Uso de recursos virtuales con potencial para guiar la ense�anza de conceptos geom�tricos y trigonom�tricos.

S�ntesis de los hallazgos

Ambos modelos comparten un enfoque basado en la representaci�n gr�fica y contextualizada de funciones trigonom�tricas, lo que favorece una ense�anza m�s significativa y visual. Adem�s, permiten al docente incorporar recursos interactivos que promueven el aprendizaje activo.

El an�lisis desde el modelo MTSK sugiere que estos recursos pueden potenciar el conocimiento del profesor en los siguientes aspectos:

• KoT: Ampl�an la forma en que se representan y ense�an las funciones seno, coseno y tangente.
• KMT: Ofrecen estrategias did�cticas efectivas para integrar las TIC y la realidad aumentada en el aula.

Estos resultados permiten inferir que la incorporaci�n de aplicaciones m�viles con realidad aumentada como GeoGebra 3D, tiene un alto potencial para transformar la ense�anza tradicional de la trigonometr�a en la educaci�n media.

Ejemplo3: Rueda La Noria

Fuente: (Prieto, 2020)

Elementos trigonom�tricos identificados:

• Movimiento circular uniforme representado como funci�n peri�dica (altura en funci�n del tiempo).
• Aplicaci�n del seno y coseno para modelar la altura de un punto en una circunferencia giratoria.
• Uso de �ngulos en radianes o grados para representar posiciones angulares en la rueda.
• Asociaci�n entre posici�n angular, tiempo y altura sobre el suelo.
• Modelaci�n matem�tica de un fen�meno c�clico usando funciones trigonom�tricas.

Potencial pedag�gico:

• Visualizaci�n clara y concreta del comportamiento de funciones peri�dicas como el seno y el coseno.
• Fomenta la relaci�n entre geometr�a y trigonometr�a en un contexto cotidiano y accesible.
• Posibilita una exploraci�n manipulativa mediante herramientas como comp�s y papel milimetrado.
• Favorece la formulaci�n y validaci�n de hip�tesis sobre el comportamiento del movimiento circular.
• Permite trabajar conceptos de periodicidad, fase, amplitud y desfase de forma natural.

Desde el modelo MTSK, este ejemplo refleja:

� KoT (Conocimiento del contenido matem�tico):

• Comprensi�n del v�nculo entre funciones trigonom�tricas y fen�menos c�clicos reales.
• Capacidad para representar la altura como una funci�n seno o coseno del tiempo, con par�metros ajustados a las condiciones iniciales del problema (amplitud, periodo, fase).
• Identificaci�n y uso de la periodicidad para predecir posiciones futuras.

� KMT (Conocimiento matem�tico para la ense�anza):

• Dise�o de una actividad contextualizada que facilita la comprensi�n de conceptos abstractos.
• Integraci�n de herramientas did�cticas (comp�s, papel milimetrado, simulaciones) para promover la visualizaci�n.
• Fomento del pensamiento algebraico y geom�trico a trav�s del an�lisis de gr�ficas y funciones.
• Posibilidad de comparar y analizar dos gr�ficas con diferente fase (Clara vs. Rodrigo), promoviendo discusi�n matem�tica significativa

Resumen de resultados

• En este trabajo se busc� llevar la trigonometr�a a un escenario m�s real y entendible. Para ello se tomaron los movimientos de Clary y Rodrigo, lo que permiti� mostrar con claridad conceptos como amplitud, tiempo, frecuencia y fase. Presentarlos de este modo ayud� a que los estudiantes encontraran una explicaci�n m�s cercana y menos abstracta.
• Con base en el modelo MTSK, los hallazgos se pueden resumir en dos aspectos:

• CAT: se vio fortalecido al usar las funciones seno y coseno para describir la altura en el c�rculo, lo que facilit� explicar cada par�metro sin caer en tecnicismos complicados.
• KMT: se destac� la utilidad de relacionar la trigonometr�a con ejemplos de la vida cotidiana y apoyarse en gr�ficos o materiales manipulables. Esto gener� una ense�anza m�s clara y adaptada a los estudiantes.

• Lo interesante de este tipo de actividades es que cambian la forma tradicional de ense�ar la trigonometr�a. En lugar de limitarse a f�rmulas, se convierten en experiencias m�s significativas. Adem�s, coinciden con los enfoques actuales que impulsan el uso de recursos din�micos, como GeoGebra, que no solo facilitan la comprensi�n, sino que tambi�n hacen m�s atractivo el aprendizaje.

 

Conclusi�n

Durante la investigaci�n pude darme cuenta de que las herramientas con realidad aumentada, como GeoGebra 3D, pueden hacer mucho m�s accesible la ense�anza de las funciones trigonom�tricas en el bachillerato. Al trabajar con ejemplos interactivos como la animaci�n de un barco o el modelo de una monta�a result� evidente que estos materiales ayudan a que los estudiantes entiendan mejor ideas que normalmente se sienten abstractas y dif�ciles.

Cuando las funciones seno, coseno y tangente se presentan en contextos cotidianos, el aprendizaje se vuelve m�s activo y significativo. Para los docentes tambi�n representa una oportunidad de enriquecer su pr�ctica. Desde la perspectiva del modelo MTSK, not� que estos recursos no solo refuerzan el conocimiento del contenido (CAT), sino que adem�s ofrecen herramientas para dise�ar estrategias m�s efectivas (KMT), integrando las TIC de forma pr�ctica y coherente.

Al ser un estudio descriptivo y bibliogr�fico, no fue necesario trabajar directamente en el aula. Aun as�, la revisi�n de experiencias y recursos digitales disponibles permiti� reflexionar y llegar a conclusiones �tiles. Lo que conlleva una incorporaci�n de tecnolog�as m�viles e interactivas con el fin de cambiar la manera en que se ense�a la trigonometr�a y abre la posibilidad de un aprendizaje m�s visual, din�mico y cercano a lo que buscan los estudiantes hoy en d�a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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� 2025 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).