����������������������������������������������������������������������������������

 

 

La ra�z cuadrada de una matriz de adyacencia para analizar conexiones en una red

 

The square root of an adjacency matrix for analyzing connections in a network

 

A raiz quadrada de uma matriz de adjac�ncia para analisar liga��es numa rede

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: jpfreire@unach.edu.ec

Ciencias de la Educaci�n

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 22 de octubre de 2024 *Aceptado: 18 de noviembre de 2024 * Publicado: �31 de diciembre de 2024

 

        I.            Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

      II.            Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Per�.

   III.            Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Per�.

   IV.            Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

     V.            Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

 

Resumen

La ra�z cuadrada de una matriz de adyacencia es una herramienta que permite analizar conexiones en redes complejas. Este m�todo permite descubrir relaciones indirectas y patrones de conectividad que no son evidentes al examinar solo las conexiones directas. Al calcular la ra�z cuadrada de la matriz de adyacencia, es posible obtener informaci�n sobre el grado de influencia o conexi�n entre nodos, lo que facilita la identificaci�n de estructuras subyacentes y agrupaciones. El prop�sito de este trabajo es abordar de forma sencilla los conceptos de matriz de adyacencia y su aplicaci�n dentro del an�lisis de relaciones entre puntos o usuarios de una red.

Palabras Clave: Ra�z Cuadrada; Matriz de Adyacencia; Redes.

 

Abstract

The square root of an adjacency matrix is ​​a tool that allows the analysis of connections in complex networks. This method allows the discovery of indirect relationships and connectivity patterns that are not evident when examining only direct connections. By calculating the square root of the adjacency matrix, it is possible to obtain information about the degree of influence or connection between nodes, which facilitates the identification of underlying structures and clusters. The purpose of this work is to address in a simple way the concepts of adjacency matrix and its application within the analysis of relationships between points or users of a network.

Keywords: Square Root; Adjacency Matrix; Networks.

 

Resumo

A raiz quadrada de uma matriz de adjac�ncia � uma ferramenta que permite analisar liga��es em redes complexas. Este m�todo permite-nos descobrir rela��es indiretas e padr�es de conectividade que n�o s�o aparentes quando examinamos apenas as liga��es diretas. Atrav�s do c�lculo da raiz quadrada da matriz de adjac�ncia, � poss�vel obter informa��o sobre o grau de influ�ncia ou liga��o entre os n�s, o que facilita a identifica��o das estruturas e clusters subjacentes. O objetivo deste trabalho � abordar de forma simples os conceitos de matriz de adjac�ncia e a sua aplica��o dentro da an�lise de rela��es entre pontos ou utilizadores de uma rede.

Palavras-chave: Raiz quadrada; Matriz de Adjac�ncia; Redes.

 

Introducci�n

La ra�z cuadrada de una matriz tiene diversas aplicaciones en matem�ticas y campos relacionados. La ra�z cuadrada de matrices se utiliza en el dise�o de sistemas de control (Aguado, 2006), y en la resoluci�n de ecuaciones diferenciales para simplificar el proceso al permitir la diagonalizaci�n de matrices, facilitando as� la resoluci�n de sistemas complejos. Los algoritmos que utilizan ra�ces cuadradas de matrices son fundamentales en m�todos num�ricos para resolver problemas de optimizaci�n, como el m�todo de Newton-Raphson (Pho, 2022; Sereeter, Vuik, & Witteveen, 2019; Syafii, Ridhallah, & Nur, 2023), aplicado a sistemas no lineales. En procesamiento digital de se�ales, la ra�z cuadrada de matrices se utiliza en t�cnicas como la descomposici�n en valores singulares (SVD), que es esencial para la compresi�n y an�lisis de datos (Funez, 2021; Pernice, 2024). Es importante mencionar que el c�lculo de la ra�z cuadrada de una matriz no es un tema trivial, siendo necesario en el caso de matrices de alto orden el uso de programas y algoritmos computacionales.

Una definici�n de la ra�z cuadrada de una matriz es que, si tenemos que A y B son matrices cuadradas del mismo orden, podemos decir que B es la ra�z cuadrada de A, escrito como �, si � .

En (Rubiales Camino, 2005), se muestra con ejemplos la aplicaci�n de esta definici�n, as� como el an�lisis de ciertos casos particulares. Si 𝐴 es una matriz sim�trica o normal, la ra�z cuadrada podr�a ser calculada usando una descomposici�n espectral o la t�cnica de descomposici�n en valores singulares o SVD (por sus siglas en ingl�s: Singular Value Decomposition), que se describe detalladamente en (Pernice, 2024); algunas consideraciones sobre la ra�z cuadrada de una matriz y m�todos para su obtenci�n de forma manual se encuentran en (Asmar Charris & Menco  Mendoza Jos� T., 1995; Nazari, Fereydooni, & Bayat, 2013) .

Se estudian en (Castillo Garcia & Huerta Rivera, 2015) algoritmos para el c�lculo de la ra�z cuadrada de una matriz no singular, motivados por encontrar procesos eficientes desde el punto de vista computacional. Con la misma motivaci�n por parte de (Iannazzo, 2003; Mendoza Mex�a, Rub�n, & Aldama, 2010) se analiza el m�todo simplificado de Newton, uno de los m�s utilizados.

Para analizar la matriz ra�z cuadrada en la detecci�n de comunidades, se puede usar el m�todo de Louvain (Carnivali, Vieira, Esquef, & Ziviani, 2020; Paletta & Moreiro-Gonz�lez, 2021) o el algoritmo de Girvan-Newman (Castillo, Palma Garc�a, & G�mez Jacinto, 2017) para agrupar a los actores en comunidades basadas en sus conexiones directas e indirectas. Esto permite a los analistas identificar subgrupos dentro de la red que tienen interacciones m�s fuertes entre ellos, lo ������� que es �til para entender din�micas sociales complejas y para realizar an�lisis m�s profundos sobre c�mo se forman y evolucionan las comunidades dentro de las redes sociales.

El prop�sito de este trabajo es abordar de forma sencilla los conceptos de matriz de adyacencia y su aplicaci�n dentro del an�lisis de relaciones entre puntos o usuarios de una red. La representaci�n de redes sociales mediante matrices y las operaciones b�sicas entre matrices en este contexto se encuentran en forma detallada en (Hanneman, 2001).

 

Metodolog�a

Para demostrar c�mo la ra�z cuadrada de una matriz de adyacencia puede ayudar a identificar conexiones indirectas en una red (Rodr�guez et al., 2022), se debe entender c�mo se organiza la red y qu� representa la matriz de adyacencia. Para esto, utilizaremos ejemplos sencillos tanto de una red simple y del c�lculo num�rico de la ra�z de una matriz.

Supongamos que se tiene una red simple con tres usuarios (A, B y C). La matriz de adyacencia de 3x3 describe las conexiones directas entre estos usuarios, donde cada elemento en la matriz �si el usuario i est� directamente conectado con el usuario j, y 0 si no lo est�.

�                    El usuario A est� conectado directamente con los usuarios B y C.

�                    El usuario B est� conectado directamente con el usuario A.

�                    El usuario C est� conectado directamente con el usuario A.

 

Figura 1: Representaci�n de una red simple con tres usuarios

 

Entonces, la matriz de adyacencia 𝐴 del ejemplo es la siguiente:

Se propone el an�lisis de esta red en 2 pasos.

 

Ra�z cuadrada de la matriz de adyacencia

La ra�z cuadrada de la matriz de adyacencia 𝐴 es una operaci�n m�s abstracta que puede comprenderse en t�rminos de conexiones indirectas o c�mo la influencia se propaga entre usuarios a trav�s de los caminos en la red.

A continuaci�n, se obtuvo � de forma anal�tica utilizando la descomposici�n espectral (tambi�n conocida como diagonalizaci�n), m�todo es aplicable cuando la matriz es diagonalizable, siguiendo los procesos detallados en (Asmar Charris & Menco  Mendoza Jos� T., 1995; Nazari et al., 2013; Rubiales Camino, 2005). Cabe anotar que se puede calcular tambi�n a trav�s de softwares matem�ticos tales como Matlab u Octave.

 

Paso 1: Encontrar los Valores Propios y los Vectores Propios de A

Primero, debemos encontrar los valores propios (λ) y los vectores propios (v) de A resolviendo la ecuaci�n caracter�stica:

det(A−λI) = 0

Para la matriz A:

Calculando el determinante:

−λ(−λ²) +2λ=−λ³+2λ=0

⇒λ(λ²−2) =0

Por lo tanto, los valores propios son:

 

Vectores Propios Correspondientes:

Para	Av=0
Para	)v=0
Para	)v=0

 

Paso 2: Formar la Matriz de Diagonalizaci�n P y su Inversa P⁻¹

La matriz P est� compuesta por los vectores propios como columnas:

Calculamos la inversa de P, P⁻¹, utilizando m�todos est�ndar (como la regla de Sarrus o cofactores). El c�lculo detallado de P⁻¹ es extenso, pero el resultado es:

 

Paso 3: Construir la Matriz Diagonal de las Ra�ces Cuadradas de los Valores Propios D^1/2

Aplicamos la ra�z cuadrada a los valores propios de A:

 

 

Donde i es la unidad imaginaria, ya que se ha obtenido la ra�z cuadrada de un n�mero negativo

Paso 4: Calcular la Ra�z Cuadrada de la Matriz A^1/2

Utilizamos la f�rmula de la ra�z cuadrada de una matriz diagonalizable:

A^1/2=PD^1/2P⁻¹

Multiplicando las matrices:

1.                 Multiplicaci�n PD^1/2:

 

2.                 Multiplicaci�n (PD^1/2) P⁻¹:

Al realizar esta multiplicaci�n, obtenemos:

Para redes peque�as, podemos decir que los valores en �mostrar�an una influencia moderada entre usuarios que no est�n directamente conectados, pero que tienen intermediarios.

 

Propagaci�n de influencia

Para analizar c�mo la influencia de un usuario (por ejemplo, A) se propaga indirectamente, se puede ver que aunque B y C no est�n directamente conectados, A puede actuar como un intermediario. En una matriz , podr�amos ver valores peque�os en las entradas (𝐵,𝐶) y (𝐶,𝐵) que reflejan que, aunque no est�n directamente conectados, hay una ruta indirecta (a trav�s de A) que permite la influencia. Los valores m�s altos indican una mayor influencia potencial a trav�s de conexiones indirectas. Esto ayuda a identificar nodos que tienen un impacto significativo en la red debido a su posici�n estrat�gica.

En esencia, lo que la ra�z cuadrada de la matriz de adyacencia podr�a representar es una forma de calcular la "fuerza" de las conexiones indirectas, que no son inmediatas, pero que afectan a los usuarios conectados a trav�s de otros nodos. En redes sociales, esto puede ser clave para comprender c�mo se propaga la informaci�n o la influencia a trav�s de la red, incluso si dos usuarios no est�n directamente conectados entre s�. Los valores no cero en posiciones que originalmente eran cero indican posibles caminos de influencia indirecta.

 

Resultados y discusi�n

Se realiza a continuaci�n la interpretaci�n de los valores de algunos elementos de

1.         Entrada

Esto representa una conexi�n indirecta o la auto-conexi�n del nodo 1 (Usuario A).

Parte real: 0.59460 indica una conexi�n indirecta moderada o un grado de influencia de A sobre s� mismo.

Parte imaginaria: 0.5946i puede representar alg�n tipo de desplazamiento de fase o retraso en la influencia. Esto podr�a interpretarse como la influencia interna del nodo A, pero con cierta "complicaci�n" o retraso en c�mo esa influencia se refleja de nuevo en s� mismo.

2.         Entrada

Esta entrada describe la conexi�n entre los nodos 1 (A) y 2 (B).

Parte real: 0.4204 indica una influencia indirecta entre A y B, que es menor que la auto-conexi�n de A.

Parte imaginaria: −0.4204 𝑖 implica un retraso o diferencia de fase en la influencia entre A y B. Esto sugiere que, aunque est�n conectados indirectamente, el impacto no es inmediato o puede haber alguna demora en c�mo se propaga la influencia.

3.         Entrada

Esta entrada describe la conexi�n indirecta entre los nodos 2 (B) y 3 (C).

Parte real: 0.29730 indica una influencia indirecta bastante d�bil entre B y C. No hay una conexi�n directa entre estos dos nodos, pero existe una v�a indirecta.

Parte imaginaria: +0.2973i podr�a representar un ligero desfasaje positivo en la propagaci�n de la influencia entre B y C. Esto podr�a ocurrir porque su conexi�n indirecta pasa a trav�s de otro nodo (en este caso, A), lo que introduce una ligera complejidad en la influencia mutua.

Como se ha mencionado, en el presente trabajo se muestra un ejemplo sencillo tanto de la red como del an�lisis a trav�s de la ra�z cuadrada de su matriz de adyacencia, existen trabajos de an�lisis de redes sociales m�s complejas, como el realizado por (De la Rosa Troyano, Mart�nez Gasca, Gonz�lez Abril, & Velasco Morente, 2005), donde se muestra el estudio de una red de autores y co-autores de la comunidad cient�fica de las Jornadas de Ingenier�a del Software y Bases de Datos (JISBD), usando un marco te�rico que detalla la din�mica de los sistemas modelados en forma de redes.

Conclusiones

La matriz ra�z cuadrada de una matriz de adyacencia proporciona informaci�n sobre conexiones que no son visibles directamente en la matriz de adyacencia original. La parte real de los elementos de la ra�z cuadrada de la matriz de adyacencia indica la magnitud de la conexi�n indirecta. Las entradas complejas (con parte imaginaria) indican que la propagaci�n de la influencia no es simple y directa, con interacciones indirectas no triviales, sugiriendo que hay una din�mica m�s compleja en la propagaci�n de influencias, lo que podr�a representar retrasos o cambios en la forma en que los usuarios de la red se influyen entre s�, lo que implica que estamos tratando con una matriz que puede estar describiendo relaciones m�s profundas y din�micas en la red, tal como influencias indirectas complejas o probabilidades de conexiones no evidentes a simple vista.

 

Referencias

      1.            Aguado, A. (2006). Algoritmo de control predictivo-adaptable en el espacio de pseudo-estados (Vol. 3).

      2.            Asmar Charris, A., & Menco� Mendoza Jos� T. (1995). Acerca de la ra�z cuadrada de una matriz. Revista de La Facultad de Ciencias Universidad de Colombia, 5(1), 89�95.

      3.            Carnivali, G. S., Vieira, A. B., Esquef, P. A. A., & Ziviani, A. (2020). M�todo R�pido de Agrupamento de V�rtices para Detec��o de Comunidades em Redes Complexas de Larga-escala. https://doi.org/10.5753/wperformance.2018.3332

      4.            Castillo Garcia, L. J., & Huerta Rivera, C. A. (2015). Algoritmos para el c�lculo de la ra�z cuadrada de una matriz no singular. Universidad de Sonora, Navojoa,Sonora.

      5.            Castillo, J., Palma Garc�a, M. de las O., & G�mez Jacinto, L. (2017). Abordando el reto de la transformaci�n digital desde el Trabajo Social. Documentos de Trabajo Social: Revista de Trabajo Social y Acci�n Social, 60.

      6.            De la Rosa Troyano, F. F., Mart�nez Gasca, R., Gonz�lez Abril, L., & Velasco Morente, F. (2005). An�lisis de Redes Sociales mediante Diagramas Estrat�gicos y Diagramas Estructurales. REDES- Revista Hispana Para El An�lisis de Redes Sociales, 8(2), 1�33. Retrieved from http://revista-redes.rediris.es

      7.            Funez, W. (2021). Identificaci�n aproximada de se�ales en reconocimiento de patrones mediante la descomposici�n en modo din�mico (DMD) y la teor�a de Koopman. Revista de La Escuela de F�sica, 9(2). https://doi.org/10.5377/ref.v9i2.13902

      8.            Hanneman, R. A. (2001). Introducci�n a los m�todos del an�lisis de redes sociales (M. �. Petrizzo, Trans.). Retrieved from http://revista-redes.rediris.es/webredes/textos/cap4.pdf

      9.            Iannazzo, B. (2003). A note on computing the matrix square root. Calcolo, 40(4), 273�283. https://doi.org/10.1007/s10092-003-0079-9

  10.            Mendoza Mex�a, A., Rub�n, O., & Aldama, G. (2010). Un m�todo simplificado de Newton para calcular la ra�z de una matriz real sim�trica definida positiva. In Rev. Int. M�t. Num. C�lc. Dis. Ing (Vol. 26, pp. 47�53).

  11.            Nazari, A., Fereydooni, H., & Bayat, M. (2013). A manual approach for calculating the root of square matrix of dimension ≤. In Mathematical Sciences (Vol. 7). Retrieved from http://www.iaumath.com/content/7/1/xx

  12.            Paletta, F. C., & Moreiro-Gonz�lez, J.-A. (2021). La transformaci�n digital en los m�todos y temas de la investigaci�n brasile�a de Informaci�n y Documentaci�n 2010-2019. Revista Espa�ola de Documentaci�n Cient�fica, 44(2). https://doi.org/10.3989/redc.2021.2.1763

  13.            Pernice, S. A. (2024). Descomposici�n en valores singulares y an�lisis de factores en ciencias humanas y sociales. Revista de M�todos Cuantitativos Para La Econom�a y La Empresa. https://doi.org/10.46661/rev.metodoscuant.econ.empresa.8004

  14.            Pho, K. H. (2022). Improvements of the Newton�Raphson method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 408. https://doi.org/10.1016/j.cam.2022.114106

  15.            Rodr�guez, J. R. G., Arechiga, R. S., Troncoso, J. F., Delgado, S. I., Abdal�, V. I. R., Flores, J. L. A., � D�az, J. M. P. (2022). Optimizaci�n discreta basada en algoritmos gen�ticos para generaci�n de topolog�a de redes de comunicaciones interconectadas por medios guiados. South Florida Journal of Development, 3(2). https://doi.org/10.46932/sfjdv3n2-029

  16.            Rubiales Camino, E. (2005). Ra�z cuadrada de una matriz. Bolet�n de La Sociedad Puig Adam de Profesores de Matem�ticas, (71), 31�46. Retrieved from https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-89521/Boletin%2071%20de%20Soc%20PUIG%20ADAM.pdf

  17.            Sereeter, B., Vuik, C., & Witteveen, C. (2019). On a comparison of Newton�Raphson solvers for power flow problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 360. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.04.007

  18.            Syafii, M., Ridhallah, R., & Nur, R. A. (2023). Penerapan Metode Newton Raphson untuk Pencarian Akar pada Fungsi Kompleks. JOSTECH Journal of Science and Technology, 3(1). https://doi.org/10.15548/jostech.v3i1.5685

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

� 2024 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).