Predicción de series temporales de humedad relativa mediante bootstrap y modelos de regresión funcional no paramétrica

Jorge David Zúñiga Lema; Lourdes del Carmen Zúñiga Lema; Stephani Belén Ruiz Zambrano; Estalin Fabián Mejía Hidalgo

��

Predicci�n de series temporales de humedad relativa mediante bootstrap y modelos de regresi�n funcional no param�trica

Relative humidity time series prediction using bootstrap and nonparametric functional regression models

Previs�o de s�ries temporais de humidade relativa usando modelos de regress�o funcional bootstrap e n�o param�tricos

Correspondencia: jorged.zuniga@unach.edu.ec

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

* Recibido: 12 de agosto de 2024 *Aceptado: 24 de septiembre de 2024 * Publicado: �04 de octubre de 2024

I. Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

II. Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

III. Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

IV. Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

Resumen

La investigaci�n tuvo como objetivo, desarrollar intervalos de predicci�n para series temporales de humedad relativa utilizando la metodolog�a bootstrap combinada con modelos de regresi�n funcional no param�trica. Para ello, se registraron los valores de humedad relativa en porcentaje, cada segundo, durante el a�o 2023 en la estaci�n meteorol�gica de la Facultad de Ingenier�a de la Universidad Nacional de Chimborazo. La investigaci�n incluy� la limpieza de valores at�picos, la interpolaci�n de datos faltantes y el c�lculo de la media horaria mensual. Los modelos de regresi�n funcional se ajustaron mediante B-splines, los cuales capturaron de manera efectiva las caracter�sticas esenciales de cada serie mensual. Se generaron 5000 r�plicas de las series temporales usando la metodolog�a bootstrap para predecir la humedad relativa de diciembre de 2023. La predicci�n fue contrastada con los datos reales obtenidos, mostrando una alta consistencia. Para mejorar la precisi�n, las predicciones fueron suavizadas con bases de Fourier y se calcularon intervalos de confianza al 95%. Los resultados demuestran que la metodolog�a empleada es s�lida, proporcionando intervalos de predicci�n robustos. Este enfoque no solo facilita una comprensi�n m�s profunda de los patrones de humedad relativa a lo largo del a�o, sino que tambi�n ofrece una herramienta valiosa para futuras investigaciones. La metodolog�a implementada puede ser aplicada en la predicci�n y an�lisis de series temporales en variables meteorol�gicas.

Palabras clave: humedad relativa; series temporales; bootstrap; regresi�n funcional; modelo no param�trico; Fourier.

Abstract

The objective of the research was to develop prediction intervals for relative humidity time series using the bootstrap methodology combined with non-parametric functional regression models. To do this, relative humidity values were recorded in percentage, every second, during the year 2023 at the meteorological station of the Faculty of Engineering of the National University of Chimborazo. The research included cleaning outliers, interpolation of missing data and calculation of the monthly hourly average. The functional regression models were adjusted using B-splines, which effectively captured the essential characteristics of each monthly series. 5000 replicas of the time series were generated using the bootstrap methodology to predict the relative humidity for December 2023. The prediction was contrasted with the real data obtained, showing high consistency. To improve accuracy, the predictions were smoothed with Fourier bases and 95% confidence intervals were calculated. The results demonstrate that the methodology used is solid, providing robust prediction intervals. This approach not only facilitates a deeper understanding of relative humidity patterns throughout the year, but also offers a valuable tool for future research. The implemented methodology can be applied in the prediction and analysis of time series of meteorological variables.

Keywords: relative humidity; time series; bootstrap; functional regression; nonparametric model; Fourier.

Resumo

O objetivo da investiga��o foi desenvolver intervalos de previs�o para s�ries temporais de humidade relativa utilizando a metodologia bootstrap combinada com modelos de regress�o funcional n�o param�tricos. Para tal, foram registados valores de humidade relativa em percentagem, a cada segundo, durante o ano de 2023 na esta��o meteorol�gica da Faculdade de Engenharia da Universidade Nacional de Chimborazo. A investiga��o incluiu a limpeza de valores discrepantes, a interpola��o de dados em falta e o c�lculo da m�dia hor�ria mensal. Os modelos de regress�o funcional foram ajustados atrav�s de B-splines, que capturaram eficazmente as caracter�sticas essenciais de cada s�rie mensal. Foram geradas 5000 r�plicas da s�rie temporal utilizando a metodologia bootstrap para a previs�o da humidade relativa de dezembro de 2023. A previs�o foi contrastada com os dados reais obtidos, apresentando uma elevada consist�ncia. Para melhorar a precis�o, as previs�es foram suavizadas com bases de Fourier e foram calculados intervalos de confian�a de 95%. Os resultados demonstram que a metodologia utilizada � s�lida, fornecendo intervalos de previs�o robustos. Esta abordagem n�o s� facilita uma compreens�o mais profunda dos padr�es de humidade relativa ao longo do ano, como tamb�m oferece uma ferramenta valiosa para futuras pesquisas. A metodologia implementada pode ser aplicada na previs�o e an�lise de s�ries temporais em vari�veis meteorol�gicas.

Palavras-chave: humidade relativa; s�ries temporais; inicializa��o; regress�o funcional; modelo n�o param�trico; Fourier.

Introducci�n

El an�lisis del comportamiento de las variables meteorol�gicas es crucial debido a la variabilidad de los datos, la cual est� influenciada por diversos factores externos. Aunque los modelos de regresi�n de series temporales han sido utilizados tradicionalmente con �xito para predicciones a corto y mediano plazo, la extensi�n del per�odo de an�lisis a menudo resulta en predicciones menos precisas (Chariguam�n Maurisaca & Meneses Freire, 2024). En este contexto, el presente estudio se enfoc� en aplicar un modelo funcional no param�trico para series temporales de humedad relativa, a fin de mejorar la precisi�n en las predicciones.

Se utiliz� la metodolog�a bootstrap junto con modelos B-Spline, a fin de generar intervalos de predicci�n m�s fiables y representativos (Z��iga & Meneses, 2024). Este enfoque no param�trico adaptado a datos funcionales ofrece una herramienta s�lida para el an�lisis y la predicci�n de series temporales de humedad relativa. A continuaci�n, se consideran algunos conceptos relevantes para la presente investigaci�n.

Modelos de regresi�n no param�trico B-Spline

Los modelos de regresi�n no param�tricos permiten estimar efectos no lineales de manera flexible sin la necesidad de imponer una forma funcional predeterminada. Esto es especialmente �til cuando se analiza una sola covariable continua, como �x�(Toalombo et al., 2022), el modelo est�ndar para la regresi�n no param�trica se define de la siguiente manera:

En cuanto a la variable de error , se considera que la funci�n f tiene ciertas propiedades de suavidad, como la continuidad o la diferenciabilidad, sin especificar una forma param�trica concreta (Horv�th & Kokoszka, 2012). Un spline es una funci�n construida en segmentos utilizando funciones polinomiales, y su nombre proviene del concepto de �list�n el�stico� (Racine, 2023). Los splines �son curvas polin�micas por secciones que son continuamente diferenciables hasta un cierto orden� (Paluszny et al., 2005). Ejemplos comunes incluyen �, un spline lineal por tramos, y , un spline c�bico.

Funci�n base B-spline

Una funci�n B-spline es una funci�n base interpolativa con alta diferenciabilidad, que extiende la curva de B�zier. Los B-splines se definen por su orden m y el n�mero de nodos interiores N (incluyendo dos nodos extremos, sumando un total de ( N + 2 ) nodos) (Pe�a, 2015). El grado del polinomio B-spline es m-1 (Racine, 2022). Una B-spline de grado n (con un orden de spline m = n+1) es una curva param�trica compuesta por una combinaci�n lineal de B-splines base �de grado n (Boor, 2001). Se define de la siguiente manera:

f(x) tiene la siguiente estructura:

Donde:

K: cantidad de bases

�par�metros desconocidos

�funciones polinomiales

�puntos de control o puntos de Boor

La secuencia t es la secuencia de nodos, donde cada t�rmino individual de la secuencia se conoce como un nodo (Racine, 2022). La regresi�n que utiliza B-splines de orden p se estructura como:

Donde:

�coeficientes a encontrar.

El spline f(x) se puede expresar como una combinaci�n lineal en la siguiente forma:

Las funciones siguientes conforman una base de funciones polin�micas para el spline:

Metodolog�a Bootstrap

La metodolog�a Bootstrap es una t�cnica empleada para aproximar la distribuci�n de un muestreo estad�stico. Este m�todo se fundamenta en el remuestreo de datos, lo que significa generar nuevas muestras aleatorias a partir del original (Meneses et al., 2018). Utilizando los principios generales de este m�todo y manteniendo la hip�tesis nula, se puede calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos muestras pareadas.

Modelo no param�trico de series temporales funcionales

Uno de los m�todos m�s comunes en el an�lisis de series temporales es el modelo de regresi�n no param�trico. Este modelo puede aplicarse a series de tiempo funcionales de la siguiente manera:

Xi(t) es el i-�simo dato funcional, con t variando dentro de un intervalo de tiempo. La ecuaci�n (8) modela una serie temporal para cada instante t, ajustada mediante un modelo no param�trico y un t�rmino de error, �(Melo Mart�nez et al., 2020).

En este estudio, se emple� el estimador de Nadaraya-Watson para m(X), siguiendo las ideas de (Aneiros-P�rez et al., 2011), como se ilustra en la ecuaci�n (9):

Donde:

h: apertura de suavizado

N: tama�o de muestra

K: funci�n de n�cleo

d: distancia entre curvas

El estudio se enfoc� en el espacio L² de funciones cuadr�ticamente integrables, siguiendo las recomendaciones de (Beyaztas & Shang, 2020). Para ajustar el modelo, se minimiz� el error cuadr�tico medio descrito en la ecuaci�n (11), utilizando una ventana de suavizado estimada �obtenida mediante validaci�n cruzada (CV), como se indica en la ecuaci�n (12).

donde,

Siendo �el estimador de Nadaraya-Watson calculado excluyendo la observaci�n i-�sima de los datos (Meneses Freire et al., 2022).

Metodolog�a

La investigaci�n es cuantitativa con un dise�o experimental, utilizando la metodolog�a bootstrap para calcular intervalos de predicci�n mediante modelos no param�tricos de regresi�n funcional aplicados a series temporales de humedad relativa.

Los datos utilizados corresponden al registro de la humedad relativa por segundo, obtenidos en la estaci�n meteorol�gica de la Facultad de Ingenier�a de la UNACH durante el a�o 2023. Se realiz� una limpieza de valores at�picos en Excel y una interpolaci�n de datos faltantes. Luego, se calcul� la media horaria de la humedad relativa para cada mes del a�o 2023.

El procedimiento en el software estad�stico R fue el siguiente:

- Exploraci�n gr�fica: Se llevaron a cabo gr�ficos exploratorios usando la librer�a ggplot2 de los datos de humedad relativa para identificar patrones, tendencias y posibles anomal�as.

- Ajuste de modelos: Se utilizaron B-splines para ajustar los modelos de regresi�n, que permiten la adaptaci�n flexible de curvas en los datos observados, asegurando que los modelos capturen adecuadamente las caracter�sticas esenciales de cada serie temporal mensual de humedad relativa.

- Generaci�n de r�plicas: Se aplic� la metodolog�a bootstrap, generando 5000 r�plicas de las series temporales mensuales de humedad relativa. Cada r�plica fue modelada usando los B-splines ajustados previamente, estableciendo una base s�lida para la predicci�n.

- Predicci�n: Se utiliz� el modelo no param�trico funcional para predecir la serie temporal del mes de diciembre de 2023. Se generaron 5000 predicciones bootstrap, y se incluy� una predicci�n basada en los datos reales para comparar y evaluar la precisi�n y variabilidad de las predicciones obtenidas.

- Suavizaci�n y precisi�n: Se suavizaron las 5000 predicciones mediante bases de Fourier para mejorar la precisi�n.

- C�lculo de intervalos: Finalmente, se calcularon intervalos de confianza del 95% para las predicciones, proporcionando un rango en el que se espera que se encuentren los valores de humedad relativa para diciembre de 2023.

Resultados y discusi�n

Gr�fico exploratorio de los datos:

En la figura 2, se observa las doce series temporales de humedad relativa en porcentaje, representa la media horaria en cada mes del a�o 2023. Cada serie temporal presenta dos picos m�ximos en el trascurso del d�a. Este patr�n es consistente a lo largo de todos los meses.