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Simulaci�n Num�rica del Modelo de Lighthill-Whitham-Richards mediante el M�todo de Diferencias Finitas

 

Numerical Simulation of the Lighthill-Whitham-Richards Model using the Finite Difference Method

 

Simula��o Num�rica do Modelo Lighthill-Whitham-Richards utilizando o M�todo das Diferen�as Finitas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: eduardo.pozo@espoch.edu.ec

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 19 de abril de 2024 *Aceptado: 03 de mayo de 2024 * Publicado: �09 de junio de 2024

 

        I.            Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo (ESPOCH), Ecuador.

      II.            Investigador Independiente, Ecuador.

Resumen

La congesti�n del tr�fico vehicular representa un problema cr�tico en �reas urbanas. Este estudio se enfoca en la ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar el flujo de tr�fico vehicular, implementando dos esquemas de diferencias finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para la simulaci�n y an�lisis del tr�fico. Los resultados indican que el esquema FTBS es m�s adecuado para la ecuaci�n LWR debido a su convergencia y capacidad de aproximar correctamente la soluci�n. El an�lisis de consistencia, estabilidad y convergencia confirm� que el esquema FTBS ofrece una soluci�n precisa y estable, haci�ndolo ideal para aplicaciones pr�cticas en la modelaci�n del tr�fico vehicular. En contraste, el esquema DuFort-Frankel, aunque consistente con la ecuaci�n de difusi�n, no es adecuado para la ecuaci�n LWR debido a su naturaleza hiperb�lica. Este trabajo proporciona una herramienta eficaz para abordar la congesti�n del tr�fico vehicular a trav�s de simulaciones num�ricas.

Palabras clave: Tr�fico vehicular; Congesti�n del tr�fico; Ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards; Diferencias finitas; Esquema Forward-Time Backward-Space; Esquema DuFort-Frankel.

 

Abstract

La congesti�n del tr�fico de veh�culos representa un problema cr�tico en las zonas urbanas. Este estudio se centra en el sistema Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar el flujo de tr�fico de veh�culos, implementando esquemas de diferencias finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para simulaci�n y an�lisis de tr�fico. Los resultados indican que el esquema FTBS es m�s adecuado para la ecuaci�n LWR debido a su convergencia y capacidad para aproximar correctamente la soluci�n. El an�lisis de coherencia, estabilidad y convergencia confirm� que el esquema FTBS ofrece una soluci�n precisa y estable, lo que lo hace ideal para aplicaciones pr�cticas en el modelado del tr�fico de veh�culos. Por el contrario, el esquema de DuFort-Frankel, aunque consistente con la ecuaci�n de difusi�n, no es adecuado para la ecuaci�n LWR debido a su naturaleza hiperb�lica. Este trabajo proporciona una herramienta eficaz para abordar la congesti�n del tr�fico de veh�culos mediante simulaciones num�ricas.

Palabras clave: Tr�fico de veh�culos; La congesti�n del tr�fico; Ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards; Diferencias finitas; Esquema de avance-tiempo-retroespacio; Esquema DuFort-Frankel.

 

Resumo

O congestionamento do tr�fego autom�vel representa um problema cr�tico nas �reas urbanas. Este estudo foca-se na equa��o de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar o fluxo de tr�fego de ve�culos, implementando dois esquemas de diferen�as finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) e DuFort-Frankel, utilizando o Python para simula��o e an�lise de tr�fego. Os resultados indicam que o esquema FTBS � mais adequado para a equa��o LWR devido � sua converg�ncia e capacidade de aproximar corretamente a solu��o. A an�lise de consist�ncia, estabilidade e converg�ncia confirmou que o esquema FTBS oferece uma solu��o precisa e est�vel, tornando-o ideal para aplica��es pr�ticas na modela��o de tr�fego de ve�culos. Em contraste, o esquema DuFort-Frankel, embora consistente com a equa��o de difus�o, n�o � adequado para a equa��o LWR devido � sua natureza hiperb�lica. Este trabalho fornece uma ferramenta eficaz para lidar com o congestionamento do tr�fego de ve�culos atrav�s de simula��es num�ricas.

Palavras-chave: Tr�fego de ve�culos; tr�fego congestionado; Equa��o de Lighthill-Whitham-Richards; Diferen�as finitas; Esquema do espa�o retroativo no futuro; Esquema DuFort-Frankel.

 

Introducci�n

La congesti�n del tr�fico vehicular es un problema cr�tico que afecta a numerosas �reas urbanas a nivel mundial, generando p�rdidas econ�micas, contaminaci�n ambiental y deterioro en la calidad de vida de los ciudadanos. Este estudio se enfoca en modelar el flujo de tr�fico vehicular mediante la ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards (LWR), una ecuaci�n diferencial parcial hiperb�lica que describe la conservaci�n del n�mero de veh�culos en una carretera.

El objetivo de esta investigaci�n es implementar y analizar dos esquemas de diferencias finitas, Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para la simulaci�n y an�lisis del tr�fico vehicular. Este estudio busca determinar cu�l de estos esquemas proporciona una soluci�n m�s precisa y estable para la ecuaci�n LWR.

La relevancia de este estudio radica en la necesidad de encontrar m�todos eficientes y precisos para modelar el tr�fico vehicular, lo que puede contribuir significativamente a la planificaci�n urbana y a la implementaci�n de medidas para mitigar la congesti�n del tr�fico. La utilidad de estos modelos matem�ticos se extiende a la optimizaci�n de sistemas de transporte y la mejora en la gesti�n del tr�fico.

La fundamentaci�n te�rica de este estudio se basa en la revisi�n de la literatura existente sobre modelos matem�ticos de tr�fico vehicular. La ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards, propuesta por Lighthill y Whitham (1955) y Richards (1956), es uno de los modelos m�s utilizados para describir el flujo de tr�fico.� Los m�todos num�ricos, como los esquemas de diferencias finitas, son herramientas fundamentales en la resoluci�n de ecuaciones diferenciales parciales. El esquema FTBS, conocido por su simplicidad y eficiencia en problemas hiperb�licos, y el esquema DuFort-Frankel, utilizado frecuentemente en ecuaciones de difusi�n, fueron seleccionados para este estudio debido a sus caracter�sticas espec�ficas y su potencial aplicaci�n en la modelaci�n del tr�fico.

 

Materiales y M�todos

Materiales

En esta investigaci�n se utilizaron los siguientes materiales:

�                    Lenguaje de programaci�n Python.

�                    Ordenador y equipos de oficina.

 

Metodolog�a

La presente investigaci�n se centr� en la aplicaci�n del m�todo de diferencias finitas para la simulaci�n del modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR), el cual describe el flujo vehicular y as� obtener una visualizaci�n de los perfiles de densidad del tr�fico en una v�a espec�fica. Mediante el uso de este m�todo num�rico, se busc� proporcionar una representaci�n detallada y precisa de c�mo var�a la densidad vehicular a lo largo del tiempo y el espacio, permitiendo as� una mejor comprensi�n de los patrones de tr�fico y facilitando la toma de decisiones informadas en la gesti�n y planificaci�n del transporte.

La formalizaci�n del problema se puede describir de la siguiente manera: el modelo LWR se basa en una ecuaci�n diferencial parcial hiperb�lica que representa la conservaci�n del n�mero de veh�culos (Omkar & Kumar, 2018). Este modelo se resuelve utilizando esquemas de diferencias finitas, que permiten discretizar tanto el tiempo como el espacio, transformando as� las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas de manera iterativa (Treiber & Kesting, 2013).

La implementaci�n de estos esquemas se realiz� en Python, utilizando bibliotecas como NumPy para el manejo eficiente de matrices y operaciones num�ricas. La precisi�n y estabilidad de los esquemas de diferencias finitas fueron evaluadas para asegurar que los resultados obtenidos sean fiables y representativos del comportamiento real del tr�fico vehicular.

En resumen, la metodolog�a adoptada en esta investigaci�n no solo permiti� simular el modelo LWR de manera efectiva, sino que tambi�n proporcion� herramientas anal�ticas para la visualizaci�n y comprensi�n de los perfiles de densidad de tr�fico, contribuyendo significativamente a la literatura existente sobre la gesti�n del flujo vehicular y la optimizaci�n del transporte.

 

Modelo Matem�tico

La ecuaci�n Lighthill-Whitham-Richards se utiliza para modelar el flujo de tr�fico vehicular. Esta ecuaci�n se describe mediante una ecuaci�n diferencial parcial hiperb�lica que representa la conservaci�n del n�mero de veh�culos.

El an�lisis y modelado del tr�fico vehicular comenz� en los a�os 30 con Bruce Douglas Greenshields, quien fue pionero en el uso de m�todos fotogr�ficos y matem�ticos para medir diferentes variables relacionadas con el flujo de tr�fico y describir su comportamiento (Greenshields et al., 1934). Greenshields propuso una relaci�n lineal entre la velocidad y la densidad del tr�fico, expresada como , donde �es la velocidad de flujo y �es la densidad del tr�fico.

En 1955, James Lighthill y Gerald Whitham formularon una ecuaci�n diferencial que describe el flujo de tr�fico utilizando la din�mica de fluidos (Lighthill & Whitham, 1955). Este modelo, conocido como el modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR), considera que ning�n veh�culo entra o sale de la v�a, conserv�ndose as� el n�mero total de veh�culos. Al aplicar la ecuaci�n de conservaci�n de masa para cualquier problema de flujo en un dominio acotado y fijo, se tiene que la densidad del tr�fico en el punto �y en el tiempo , denotada por , satisface la siguiente ecuaci�n:

donde �es el flujo de tr�fico, que est� relacionado con la densidad �y la velocidad �por la relaci�n fundamental:

La ecuaci�n de Lighthill-Whitham-Richards es una ecuaci�n diferencial parcial hiperb�lica que captura la din�mica del flujo de tr�fico vehicular, proporcionando una herramienta esencial para el an�lisis y predicci�n del comportamiento del tr�fico (Richards, 1956).

A continuaci�n, se considera el problema de valor inicial dependiente del tiempo, definido en un dominio acotado , donde se busca �tal que:

Adicionalmente, la densidad de tr�fico de los veh�culos est� relacionada con el flujo �y la velocidad uu seg�n la siguiente relaci�n:

El modelo de Greenshields conecta la densidad de tr�fico �y la velocidad del tr�fico �mediante una relaci�n lineal expresada como:

donde �representa la velocidad del tr�fico en una densidad de tr�fico dada; �es la velocidad de flujo libre, que representa la velocidad m�xima cuando la densidad del tr�fico es baja, y �es la densidad m�xima de tr�fico que la carretera puede manejar sin congesti�n.

Es crucial que el modelo LWR est� bien formulado, asegurando que sus soluciones garanticen existencia, unicidad y estabilidad. Estas propiedades son fundamentales para que el problema tenga soluciones significativas, estables y predecibles. En el art�culo "Coupling of Lighthill�Whitham�Richards and Phase Transition Models" se demuestra la existencia de soluciones al problema de Cauchy con datos iniciales arbitrarios de variaci�n acotada, utilizando la t�cnica de seguimiento del frente de onda. Adicionalmente, el art�culo "The Entropy Solutions for the Lighthill-Whitham-Richards Traffic Flow Model with a Discontinuous Flow-Density Relationship" ofrece una perspectiva detallada sobre las soluciones de entrop�a en el contexto del modelo LWR con una relaci�n flujo-densidad discontinua. Estos estudios son esenciales para entender las condiciones bajo las cuales el modelo LWR proporciona resultados confiables y aplicables en la gesti�n y optimizaci�n del tr�fico vehicular.

 

 

Discretizaci�n del modelo mediante diferencias finitas

La discretizaci�n del modelo LWR mediante esquemas de diferencias finitas es un enfoque efectivo para transformar las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales en sistemas de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas num�ricamente. Este m�todo permite aproximar las soluciones de la ecuaci�n LWR utilizando un conjunto finito de puntos en el tiempo y el espacio, facilitando su implementaci�n en programas de simulaci�n computacional. En este contexto, los esquemas de diferencias finitas, como el esquema Forward-Time Backward-Space (FTBS) y el esquema DuFort-Frankel, se emplean para discretizar la ecuaci�n LWR. Estos esquemas ofrecen propiedades �nicas en t�rminos de estabilidad, consistencia y convergencia, y su correcta implementaci�n es esencial para garantizar la validez de los resultados obtenidos.

 

Discretizaci�n del dominio

Para discretizar el dominio �con , utilizamos una malla que divide tanto el espacio �como el intervalo de tiempo �en partes finitas.� En primer lugar, la discretizaci�n del espacio se realiza considerando , un intervalo en el espacio. Este intervalo se divide en �subintervalos iguales, cada uno de longitud . Los puntos discretos en el espacio se denotan por �para . En cuanto a la discretizaci�n del tiempo, consideramos el intervalo. Este intervalo se divide en �subintervalos iguales, cada uno de longitud . Los puntos discretos en el tiempo se denotan por �para .

La malla en el dominio �se define por los pares , donde �es un punto en el espacio y �es un punto en el tiempo. Esta malla crea una cuadr�cula de puntos en la cual se evaluar�n las aproximaciones num�ricas, permitiendo la implementaci�n de m�todos num�ricos para la simulaci�n del modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR).

 

Esquema FTBS

Para llevar a cabo la formulaci�n en diferencias finitas de la ecuaci�n LWR mediante el esquema FTBS, se emplea una aproximaci�n hacia adelante para la derivada temporal y una aproximaci�n hacia atr�s para la derivada espacial. La ecuaci�n diferencial parcial se discretiza de la siguiente manera:

�                    Modelo LWR

�                    Relaci�n fundamental de flujo de tr�fico:

�                    Relaci�n entre velocidad y densidad:

Combinando estas ecuaciones, se obtiene la siguiente formulaci�n en diferencias finitas:

donde �y .

 

Esquema DuFort-Frankel

El esquema DuFort-Frankel utiliza una aproximaci�n central de primer orden para la derivada temporal y una aproximaci�n central de segundo orden para la derivada espacial. La ecuaci�n de conservaci�n (1) se discretiza de la siguiente manera:

�                    Modelo LWR:

y

Reemplazando el t�rmino �por �en (11), se obtiene:

De modo que (2.23) quedar� discretizada c�mo sigue:

 

�                    Relaci�n fundamental de flujo de tr�fico:

�                    Relaci�n entre velocidad y densidad:

Por ende, la formulaci�n en diferencias finitas del esquema DuFort-Frankel se expresa como:

 

Estabilidad, Consistencia y Convergencia de los esquemas

El an�lisis de las propiedades de estabilidad, consistencia y convergencia de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel es crucial para garantizar la precisi�n y la validez de las soluciones num�ricas obtenidas.

La consistencia de un esquema num�rico indica su capacidad para aproximarse a la ecuaci�n diferencial original a medida que los pasos de discretizaci�n tienden a cero, lo cual se verifica mediante el desarrollo de Taylor para los esquemas FTBS y DuFort-Frankel en el modelo LWR. La estabilidad implica que los errores no se amplifiquen significativamente a lo largo del tiempo, evaluada mediante el an�lisis de Von Neumann, que demuestra la estabilidad de ambos esquemas bajo ciertas condiciones (Smith, 1985). La convergencia asegura que, al refinar la discretizaci�n, la soluci�n num�rica se aproxima a la soluci�n exacta, cumpliendo los esquemas FTBS y DuFort-Frankel con este criterio seg�n el Teorema de Lax.

 

Consistencia de los Esquemas

Teorema: El esquema FTBS (9) de la ecuaci�n LWR es un esquema consistente.

Demostraci�n. Para probar que el esquema FTBS es consistente, se usa el desarrollo de Taylor de �y �con el fin de hallar el error de truncamiento. Para el caso de , se utilizan los cuatro primeros t�rminos del desarrollo de Taylor al igual que en el caso de , con el fin de aproximar la ecuaci�n (6), es decir:

 

A continuaci�n, se reescribe la ecuaci�n (18) como sigue:

Seg�n el modelo LWR, la ecuaci�n (6) se expresa como:

Por tanto, la ecuaci�n (19) quedar� como sigue:

Por ende, el error de consistencia para este esquema viene dado por:

Y si �como �tienden a cero, se tiene como resultado que:

 

Esta expresi�n indica que conforme los intervalos de espacio y tiempo se hacen infinitesimalmente peque�os, el error de consistencia tiende a cero. Por lo tanto, se puede concluir que el esquema FTBS es consistente y presenta un error cuadr�tico tanto en tiempo como en espacio.

Teorema: El esquema DuFort-Frankel (16) de la ecuaci�n LWR es un esquema consistente.

Demostraci�n. Para probar que el esquema DuFort-Frankel es consistente, se usa el desarrollo de Taylor de , con el fin de hallar el error de truncamiento. Para el caso de , se utilizan los tres primeros t�rminos del desarrollo de Taylor al igual que en el caso de , mientras que en el caso de �se utilizar�n los cinco primeros t�rminos del desarrollo de Taylor, para aproximar la ecuaci�n (13), es decir:

 

De donde se ve que,

 

Al simplificar se tiene:

 

y a su vez,

 

Ahora resta hallar el error de consistencia, denotado por :

 

y as� se ve que

 

Ahora se halla el l�mite del error de consistencia cuando �y �tienden a cero:

 

 

Por tanto, podemos afirmar que el esquema de DuFort-Frankel es consistente y posee un error cuadr�tico tanto en tiempo como en espacio. La presencia de �sugiere que el error tambi�n depende de la relaci�n entre �y . Esta relaci�n es importante en esquemas num�ricos, ya que afecta la estabilidad y la precisi�n del m�todo. Cuando la relaci�n �es grande, se puede esperar que este t�rmino contribuya significativamente al error de consistencia.

 

Estabilidad de los Esquemas

Teorema: El esquema FTBS (9) es condicionalmente estable en la norma , siempre y cuando se cumpla la condici�n CFL .

Demostraci�n. Se parte de (6), es decir:

De donde,

 

Multiplicamos (29) por , obteniendo as�:

Dividimos para :

Arribando a:

 

Por propiedades del m�dulo, se tiene:

De donde:

As�:

Donde:

 

Adem�s, se tiene que:

Recordemos que , con lo cual:

Por tanto, se sigue qu� (30) cumple la siguiente desigualdad:

Entonces �si, y solo si,

Para que se cumpla la desigualdad , dado el hecho de que , es necesario que . Por lo tanto,

Por consiguiente, concluimos que el esquema FTBS es condicionalmente estable, siempre que .

 

Teorema: El esquema DuFort-Frankel (16) es condicionalmente estable para la norma �siempre y cuando se cumpla la condici�n CFL .

Demostraci�n. Se parte de (13)

 

Se reescribe, teniendo en cuenta que , obteniendo as�:

 

Multiplicamos por �y a continuaci�n dividimos para

 

 

Dividimos para

de donde

 

Recordemos que , de donde se sigue que �y as�

 

Simplificando t�rminos, se arriba

De manera an�loga a la demostraci�n de la estabilidad del esquema FTBS, llegamos a la condici�n CFL para el esquema de DuFort-Frankel, la cual est� dada por .

 

Convergencia de los Esquemas

Para determinar la consistencia de ambos esquemas, recurrimos al Teorema de Lax, el cual establece que un m�todo num�rico es convergente si y solo si es consistente y estable (Allaire, 2007). Por lo tanto, dado que tanto el esquema FTBS como el esquema de DuFort-Frankel son consistentes y estables, tambi�n son m�todos convergentes. Esto significa que, en los resultados obtenidos, los niveles de error disminuir�n de la manera m�s r�pida posible.

 

Resultados

Para comprender el comportamiento del flujo de tr�fico vehicular, se realizaron simulaciones num�ricas de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel. Se consideraron par�metros como una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad m�xima de 120 veh�culos/km, una discretizaci�n espacial de 0.1 km, una discretizaci�n temporal de 0.0002 h, una longitud de prueba de 10 km y un tiempo total de simulaci�n de 4 segundos. Los resultados de estas simulaciones mostraron que el esquema FTBS presenta una mejor descripci�n del modelo LWR en comparaci�n con el esquema DuFort-Frankel. Las gr�ficas obtenidas revelan los perfiles de densidad del tr�fico vehicular a lo largo del tiempo y el espacio, proporcionando una visi�n detallada del comportamiento del modelo LWR discretizado.

 

Gr�fico 1: Densidad de tr�fico vehicular.

Fuente: Realizaci�n propia.

 

El Gr�fico 1 muestra las curvas de nivel, destacando su utilidad para identificar regiones de alta y baja densidad a lo largo de la v�a y en distintos momentos del tiempo. Las �reas con curvas m�s juntas indican cambios r�pidos en la densidad, mientras que las �reas con curvas m�s espaciadas representan cambios m�s graduales. Por otro lado, la visualizaci�n 3D de la densidad de tr�fico permite una comprensi�n m�s profunda de la din�mica del tr�fico, mostrando claramente las variaciones de densidad en relaci�n con el tiempo y la ubicaci�n. Las regiones elevadas en el eje z corresponden a �reas de alta densidad de tr�fico.

 

Gr�fico 2: Perfil de densidad de tr�fico vehicular.

Fuente: Realizaci�n propia.

 

El Gr�fico 2 muestra las curvas de nivel, destacando su utilidad para identificar regiones de alta y baja densidad a lo largo de la v�a y en distintos momentos del tiempo. Las �reas con curvas m�s juntas indican cambios r�pidos en la densidad, mientras que las �reas con curvas m�s espaciadas representan cambios m�s graduales. Por otro lado, la visualizaci�n 3D de la densidad de tr�fico permite una comprensi�n m�s profunda de la din�mica del tr�fico, mostrando claramente las variaciones de densidad en relaci�n con el tiempo y la ubicaci�n. Las regiones elevadas en el eje �corresponden a �reas de alta densidad de tr�fico.

 

Gr�fico 3: Perfil de densidad de tr�fico vehicular con los esquemas FTBS y DuFort-Frankel.

Fuente: Realizaci�n propia.

El Gr�fico 3 muestra una comparaci�n de la densidad del tr�fico vehicular en funci�n del espacio, en un instante de tiempo espec�fico (t = 1.44 segundos). En el gr�fico, el eje horizontal representa el espacio en kil�metros y el eje vertical muestra la densidad del tr�fico en veh�culos por kil�metro. La l�nea continua azul representa la soluci�n anal�tica del modelo LWR, mientras que los puntos rojos y las estrellas azules corresponden a los resultados obtenidos mediante los esquemas num�ricos FTBS y DuFort-Frankel, respectivamente.� La soluci�n anal�tica proporciona un perfil de densidad suave y continuo, que sirve como referencia para evaluar la precisi�n de los esquemas num�ricos. Los resultados del esquema FTBS (puntos rojos) siguen de cerca esta soluci�n, indicando una alta precisi�n en la aproximaci�n, aunque con ligeras desviaciones.

En contraste, los resultados del esquema DuFort-Frankel (estrellas azules) presentan mayores discrepancias, mostrando una mayor variabilidad y desviaciones m�s notables, especialmente en las zonas de alta densidad. Esta comparaci�n visual destaca que el esquema FTBS ofrece una aproximaci�n m�s precisa y consistente con la soluci�n anal�tica del modelo LWR en comparaci�n con el esquema DuFort-Frankel, sugiriendo que FTBS es m�s adecuado para aplicaciones que requieren alta precisi�n en la simulaci�n del flujo de tr�fico vehicular.

La comparaci�n de estos resultados es fundamental para evaluar la eficacia de los m�todos num�ricos en la simulaci�n del flujo de tr�fico vehicular, destacando las fortalezas y limitaciones de cada esquema en la aproximaci�n de la soluci�n del modelo LWR.

 

Validaci�n cruzada

Los resultados del RMSE indican que el esquema FTBS es significativamente m�s preciso que el esquema DuFort-Frankel al simular la densidad del tr�fico vehicular utilizando el modelo LWR. Con un RMSE de 0.027, el esquema FTBS proporciona una aproximaci�n muy cercana a la soluci�n anal�tica, mostrando peque�as desviaciones. Esto lo hace adecuado para aplicaciones que requieren alta precisi�n en la simulaci�n del flujo vehicular.

 

Tabla 1: Resultados del Error medio cuadr�tico residual.

Fuente: Realizaci�n propia.

 

Por otro lado, el esquema DuFort-Frankel, con un RMSE de 0.15, muestra mayores discrepancias en comparaci�n con la soluci�n anal�tica. Las densidades obtenidas por este esquema presentan una mayor variabilidad y desviaciones m�s notables, especialmente en las zonas de alta densidad. Esto sugiere que el esquema DuFort-Frankel es menos adecuado para aplicaciones que requieren alta precisi�n.

En ambos casos, los par�metros de simulaci�n incluyen una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad m�xima de 120 veh�culos/km, una discretizaci�n espacial de 0.1 km, una discretizaci�n temporal de 0.0002 h, una longitud del tramo de prueba de 10 km y un tiempo total de simulaci�n de 4 segundos. Con esta evaluaci�n detallada, se puede avanzar a las conclusiones sobre la eficacia y aplicabilidad de los m�todos num�ricos analizados.

 

Conclusiones

El an�lisis y comparaci�n de los esquemas num�ricos FTBS y DuFort-Frankel para la simulaci�n del modelo LWR han demostrado diferencias significativas en t�rminos de precisi�n y aplicabilidad. El esquema FTBS, con un RMSE de 0.027, ha mostrado ser altamente preciso y consistente, lo que lo hace adecuado para aplicaciones que requieren simulaciones precisas del flujo vehicular. Por otro lado, el esquema DuFort-Frankel, con un RMSE de 0.15, presenta una mayor variabilidad y discrepancias, sugiriendo que es menos adecuado para escenarios que demandan alta precisi�n. Los par�metros de simulaci�n utilizados, que incluyen una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad m�xima de 120 veh�culos/km, y discretizaciones espaciales y temporales de 0.1 km y 0.0002 h, permitieron una comparaci�n equitativa entre los dos esquemas. Estos hallazgos subrayan la importancia de elegir el esquema num�rico adecuado para garantizar la precisi�n y fiabilidad de las simulaciones del tr�fico vehicular, destacando la superioridad del esquema FTBS en este contexto.

La comparaci�n de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel mediante el c�lculo del RMSE ha proporcionado una evaluaci�n clara de la precisi�n de cada m�todo, destacando la superioridad del esquema FTBS. Este an�lisis cumple con el objetivo de evaluar la precisi�n de los esquemas num�ricos en la simulaci�n del modelo LWR. Adem�s, los par�metros de simulaci�n utilizados (velocidad de flujo libre, densidad m�xima, discretizaci�n espacial y temporal) han permitido identificar las condiciones bajo las cuales el esquema FTBS proporciona resultados precisos. Esto establece una referencia para futuras simulaciones, cumpliendo con el objetivo de determinar las condiciones �ptimas de simulaci�n para el flujo vehicular.

Por �ltimo, la aplicaci�n de ambos esquemas bajo las mismas condiciones de simulaci�n ha permitido validar la eficacia de cada m�todo, destacando que el esquema FTBS es capaz de replicar con mayor precisi�n el comportamiento esperado del flujo vehicular. Este aspecto cumple con el objetivo de validar los resultados num�ricos obtenidos mediante los esquemas de diferencias finitas.

 

Discusi�n

Este estudio compar� los esquemas num�ricos FTBS y DuFort-Frankel en la simulaci�n del modelo LWR de flujo vehicular. Los resultados mostraron que el esquema FTBS, con un RMSE de 0.027, es m�s preciso que el esquema DuFort-Frankel, que obtuvo un RMSE de 0.15. Estos hallazgos destacan la importancia de seleccionar el esquema adecuado para asegurar la precisi�n en las simulaciones de tr�fico. Se utilizaron par�metros uniformes: velocidad de flujo libre de 50 km/h, densidad m�xima de 120 veh�culos/km, y discretizaciones espaciales y temporales de 0.1 km y 0.0002 h. La superioridad del FTBS indica su robustez para modelar el tr�fico con alta precisi�n.

A pesar de esto, el esquema DuFort-Frankel puede ser �til en contextos menos exigentes. Se recomienda probar el modelo LWR con otros esquemas, como Godunov y MacCormack (Smith, 1985), y utilizar datos reales para validar los resultados. Adem�s, los esquemas de vol�menes finitos, por su principio de conservaci�n, podr�an ofrecer mejores aproximaciones. En conclusi�n, el esquema FTBS es preferido para simulaciones precisas del flujo vehicular, mientras que DuFort-Frankel es adecuado para aplicaciones menos exigentes. Estos resultados aportan al conocimiento de la modelizaci�n del tr�fico y sirven como base para futuras investigaciones.

 

Referencias

      1.            Allaire, G. (2007). Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation. Oxford University Press.

      2.            Greenshields, B. D., Thompson, T., Dickinson, H. C., & Swinton, R. (1934). The photographic method of studying traffic behavior. Highway Research Board Proceedings, 13.

      3.            Lighthill, J., & Whitham, G. B. (1955). On kinematic waves II. A theory of traffic flow on long crowded roads. Royal Society, 229. https://doi.org/10.1098/rspa.1955.0089

      4.            Omkar, G., & Kumar, S. V. (2018). FINITE DIFFERENCE FORMULATION OF LIGHTHILL WHITHAM RICHARDS MACROSCOPIC MODEL FOR TRAFFIC FLOW PREDICTION. International Journal of Apllied Mathematics, 31(5). https://doi.org/10.12732/ijam.v31i5.6

      5.            Richards, P. I. (1956). Shock Waves on the Highway. Operations Research, 4(1), 42�51. https://doi.org/10.1287/opre.4.1.42

      6.            Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford University Press.

      7.            Treiber, M., & Kesting, A. (2013). Traffic Flow Dynamics: Data, Models and Simulation. Springer Berlin Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-32460-4

 

 

 

 

 

 

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