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Ejemplo real del equilibrio de un cuerpo r�gido bidimensional en la asignatura de Est�tica

 

Real example of the equilibrium of a two-dimensional rigid body in the subject of Statics

 

Exemplo real de equil�brio de um corpo r�gido bidimensional na atribui��o de Est�tica

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: hugo.pillajo@utelvt.edu.ec

 

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 29 de mayo de 2024 *Aceptado: 01 de junio de 2024 * Publicado: �03 de julio de 2024

 

        I.            Ingeniero Mec�nico, Mag�ster en Estructuras, Carrera de Ingenier�a Mec�nica, Universidad T�cnica Luis Vargas Torres de Esmeraldas, Ecuador.

 

Resumen

Como docente de la carrera de Ingenier�a Mec�nica he observado que los conocimientos que se imparten en la asignatura de Est�tica son de un nivel medio de complejidad, algunos de los conceptos b�sicos que se revisan son equilibrio, fuerza, momento, apoyos, reacciones. En el presente trabajo se desarrolla un ejemplo de una aplicaci�n real del equilibrio de un cuerpo r�gido bidimensional, representado en un modelo idealizado para obtener las reacciones en los apoyos, indicar la funci�n de los apoyos y el uso de sus reacciones, tambi�n se verifica la resoluci�n utilizando el software SAP2000, con el objetivo de que los estudiantes observen la aplicaci�n de la teor�a de una manera sencilla, despejen sus dudas, incentivar su estudio y sirva de base para las dem�s asignaturas posteriores que recibir�n en la malla de la carrera.

Palabras clave: Equilibrio; Fuerza; Momento; Cuerpo r�gido; Reacciones.

 

Abstract

As a professor of the Mechanical Engineering career he observed that the knowledge that is imparted in the Statics assignment is of a medium level of complexity, some of the basic concepts that are revised are balance, strength, momentum, support, reactions. In this work, an example of a real application of the balance of a two-dimensional rigid body, represented in an idealized model to obtain reactions in support, indicates the function of support and the use of its reactions, is being developed. resolution using SAP2000 software, with the objective of having students observe the application of the theory in a simple way, clear their doubts, encourage their study and serve as a basis for the other subsequent assignments that they receive in the main career path.

Keywords: Balance; Strength; Time; Rigid body; Reactions.

 

Resumo

Como professor da carreira de Engenharia Mec�nica, observou que os conhecimentos que s�o transmitidos na atribui��o de Est�tica s�o de um n�vel m�dio de complexidade, alguns dos conceitos b�sicos que s�o revistos s�o equil�brio, for�a, momento, apoio, rea��es. No presente trabalho desenvolve-se um exemplo de uma aplica��o real do equil�brio de um corpo r�gido bidimensional, representado num modelo idealizado para obter as rea��es nos apoios, indicar a fun��o dos apoios e a utiliza��o das suas rea��es, verifica-se tamb�m a resolu��o utilizando o software SAP2000, com o objetivo de que os estudantes observem a aplica��o da teoria de uma maneira sencilla, gastem os seus dudas, promovam o seu est�dio e sirvam de base para as demais atribui��es posteriores que receber�o no centro da carreira.

Palavras-chave: Equil�brio; For�a; Momento; Corpo r�gido; Rea��es.

 

Introducci�n

La correcta aplicaci�n de los conocimientos b�sicos de la asignatura de Est�tica dentro de la carrera de Ingenier�a Mec�nica, es fundamental para que los estudiantes puedan continuar con las dem�s asignaturas de la malla en niveles superiores, entre estas se mencionan: Din�mica, Resistencia de Materiales I y II, Estructuras Met�licas.

Un cuerpo r�gido se considera un modelo donde la forma del cuerpo no cambia al aplicar una fuerza o carga, las dimensiones de sus elementos no cambian, no se considera el tipo de material. Cuando la masa del cuerpo r�gido es importante, se considera su peso y se ubica en su centro geom�trico, siempre que el cuerpo r�gido sea uniforme (Hibbeler, 2016). En las figuras 1a, 1b se observan la representaci�n de un ejemplo de un cuerpo r�gido idealizado en dos dimensiones correspondiente a una plataforma sin carga suspendida en una torre de perforaci�n.

 

Figura 1: Cuerpo r�gido.

a) Representaci�n real. ��� b) Modelo idealizado.

Fuente: (Hibbeler, 2016).

 

Las reacciones en los apoyos, se producen ya que un soporte evita la traslaci�n de un cuerpo r�gido en una direcci�n, al ejercer una fuerza en el cuerpo r�gido en la direcci�n opuesta. Por ejemplo, un pasador sin fricci�n puede evitar la traslaci�n de la viga en cualquier direcci�n, se puede representar la fuerza F sobre la viga mediante sus componentes rectangulares F_x y F_y (Hibbeler, 2016). En la Figura 2 se observan las reacciones en un apoyo tipo pasador sin fricci�n, articulaci�n o perno sin fricci�n.

 

Figura 2: Articulaci�n.

a) Apoyo���������������� ����������� b) Reacciones

Fuente: (Hibbeler, 2016)

 

En la Figura 3 se observan otros tipos de apoyos y reacciones, estos impiden el movimiento �nicamente en una sola direcci�n con l�nea de acci�n conocida (Beer & Johnston, 2010).

 

Figura 3: Apoyos y reacciones.

Fuente: (Beer & Johnston, 2010).

 

El equilibrio de un cuerpo r�gido en dos dimensiones, considera que el cuerpo r�gido y las fuerzas, las reacciones aplicas sobre este, se encuentran actuando en el mismo plano. Al seleccionar los ejes x, y (bidimensional) en el plano del cuerpo r�gido, se pueden escribir las condiciones de equilibrio en forma general.

���������������������������������������������� ���������������������������������������������� (1)

����������������������������������������������� ��������������������������������������������� (2)

���������������������������������������������� �������������������������������������������� (3)

donde A es cualquier punto del cuerpo r�gido, las ecuaciones anteriores se pueden resolver para un m�ximo de tres inc�gnitas y se emplean para determinar las fuerzas desconocidas que est�n aplicadas sobre el cuerpo r�gido o reacciones que generalmente son desconocidas en los apoyos (Beer & Johnston, 2010).

Para resolver problemas de equilibrio de un cuerpo r�gido, es necesario realizar el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL), d�nde se consideran todas las fuerzas externas y momentos de fuerza (momentos) que act�an sobre este, se a�sla el cuerpo r�gido de su entorno, se dibuja un bosquejo de este, se ubican los ejes x, y, se representan las reacciones en sus apoyos, se considera las dimensiones del cuerpo r�gido para obtener los momentos (Beer & Johnston, 2010). En la Figura 4 se observa el DCL en dos dimensiones de la Figura 1.

 

Figura 4: DCL

Fuente: (Hibbeler, 2016).

 

En la Figura 5 se observa el concepto de momento que corresponde al efecto de aplicar una fuerza perpendicular al mango de la llave con el objeto de girar el tubo alrededor de su eje vertical, la magnitud de este giro depende de la fuerza F y de la longitud d, que es la distancia perpendicular desde el eje a la l�nea de acci�n de la fuerza (Meriam, 2015), se expresa como:

����������������������������������������������� �������������������������������������������� (4)

 

Figura 5: Tendencia al giro.

Fuente: (Meriam, 2015).

 

Cuando se trata de fuerzas bidimensionales, se considera momento alrededor de un punto. En la Figura 6 se observa el momento M de la fuerza F alrededor del punto A, tiene magnitud M = Fd, sentido antihorario representado por el semiarco en segmentos, las unidades en el Sistema Internacional son Newton*metro (N*m) (Meriam, 2015).

 

Figura 6: Momento en el plano.

Fuente: (Meriam, 2015).

 

Metodolog�a

El presente trabajo se realiza, con el objetivo de solventar dudas con respecto a los ejemplos desarrollados y propuestos en los textos de Est�tica, los estudiantes se preguntan en la realidad el empleo de las reacciones en los apoyos en un cuerpo r�gido bidimensional, en las figuras 7 y 8 se presentan ejemplos tipo.

 

Figura 7: Ejemplo propuesto.

Fuente: (Meriam, 2015).

 

Figura 8: Ejemplo propuesto.

Fuente: (Bedford, 2008).

 

Se plantea el siguiente ejemplo real, en el laboratorio se someter� una conexi�n viga-columna en estructura met�lica a la acci�n de una fuerza horizontal m�xima de 132.00 kN producida por un actuador hidr�ulico, el elemento horizontal tiene un apoyo articulado en el extremo izquierdo y un apoyo de rodillo en el extremo derecho. Determine las reacciones en los apoyos, no considere la masa del cuerpo r�gido. El arriostramiento lateral sirve para que el actuador hidr�ulico se mantenga en su plano. En la Figura 9 se observa el cuerpo r�gido bidimensional propuesto.

 

 

Figura 9: Ejemplo real propuesto.

Fuente: Elaboraci�n propia.

 

Resoluci�n

Se considera el cuerpo r�gido bidimensional, se a�sla de su entorno y se realiza el DCL, colocando las reacciones en los apoyos A y C, representado en la Figura 10.

 

Figura 10: DCL.

Fuente: Elaboraci�n propia.

 

Se plantean las ecuaciones de equilibrio:

+�������� �������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������� ������������������

+�������� ����������������������������������������������������� �����

��������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������� (5)

+������ ���������������������� ������������������� (6)

Sustituir la ecuaci�n (5) en la ecuaci�n (6)����������� �����������������

�������������������������������������������������������������������������������

 

Verificaci�n mediante SAP2000

Para incentivar el uso de este software de an�lisis estructural, se realiza el ejemplo y los resultados se obtienen de forma r�pida, comparando los valores de las reacciones en los apoyos se verifica que son los mismos obtenidos anal�ticamente, en la Figura 11 se presentan capturas de pantalla del software (las fuerzas est�n en kN).

 

Figura 11: Modelo realizado en SAP2000.

Fuente: Elaboraci�n propia.

 

 

 

 

Uso de las reacciones en los apoyos

El objetivo de representar un cuerpo r�gido real mediante un modelo idealizado es fundamental en los trabajos de ingenier�a (Gere & Goodno, 2009). Determinar las reacciones de una manera correcta es el primer paso para resolver problemas de equilibrio.

La fuerza horizontal que ejerce el actuador hidr�ulico hacia la derecha se equilibra con la reacci�n A_x hacia la izquierda, se considera:

con esta carga se dise�ar�n a corte los pernos de anclaje entre el apoyo y el elemento horizontal, es decir dependiendo de esta carga, del material de los pernos, del di�metro de los pernos se pueden determinar la cantidad de pernos.

Debido a la fuerza horizontal que ejerce el actuador hidr�ulico hacia la derecha, el punto A del elemento horizontal se levantar�, para evitar esto la reacci�n A_y ejerce una fuerza hacia abajo, se considera:

con esta carga se dise�ar�n a tensi�n los pernos de anclaje entre el apoyo y el elemento horizontal, es decir dependiendo de esta carga, del material de los pernos, del di�metro de los pernos se pueden determinar la cantidad de pernos. Tambi�n se dise�ar�n las placas y el pasador del apoyo articulado.

Debido a la fuerza horizontal que ejerce el actuador hidr�ulico hacia la derecha, en el punto C del elemento horizontal se aplica una carga hacia abajo, para evitar esto la reacci�n C_y ejerce una fuerza hacia arriba, se considera:

con esta carga se dise�ar� a compresi�n la placa base o de asiento donde se aplicar� el rodillo. Tambi�n se dise�ar� el apoyo de rodillo. En la Figura 12 se observan ejemplos de apoyos reales.

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 12:� Tipos de apoyos.

Fuente: (Beer & Johnston, 2010).

 

En la pr�ctica de la ingenier�a se presentan diferentes situaciones reales, en la Figura 13 se observa el extremo de una viga tipo H sobre un muro de hormig�n, se considera como un apoyo de rodillo.

 

Figura 13:� Apoyo de rodillo.

Fuente: (Gere & Goodno, 2009).

 

En la Figura 14 se observa la conexi�n de una viga tipo H a una columna tipo H utilizada en las edificaciones de estructura met�lica, se considera un apoyo articulado ya que las alas de la viga est�n libres.

 

 

Figura 14:� Apoyo articulado.

Fuente: (Gere & Goodno, 2009).

 

Conclusiones

En la asignatura de Est�tica para resolver problemas del equilibrio de un cuerpo r�gido bidimensional se necesitan aplicar las tres ecuaciones de equilibrio y m�ximo tres reacciones en los apoyos como inc�gnitas, es fundamental realizar un correcto DCL colocando las reacciones en los apoyos.

Con el resultado de las reacciones en los apoyos y utilizando la teor�a de la Resistencia de Materiales, los estudiantes estar�n en condiciones de dise�ar los apoyos.

El futuro Ingeniero Mec�nico necesita s�lidos conocimientos de la Est�tica, aplicar la teor�a de asignaturas de niveles superiores y emplear alg�n software especializado para incursionar posteriormente en el Dise�o Estructural de elementos m�s complejos.

 

Referencias

1.      Bedford, A. (2008). Mec�nica para Ingenier�a Est�tica (Pearson Educaci�n, Ed.; 5ta ed.). www.FreeLibros.org

2.      Beer, F., & Johnston, R. (2010). Mec�nica vectorial para ingenieros Est�tica (McGraw-Hill, Ed.; 9na ed.).

3.      Gere, J., & Goodno, B. (2009). Mecánica de materiales (Cengage Learning, Ed.; 7ma ed.).

4.      Hibbeler, R. C. (2016). Ingenier�a Mec�nica Est�tica (Pearson, Ed.; 14ava ed.).

5.      Meriam, J. L. (2015). Engineering Mechanics Statics (I. Wiley & Sons, Ed.; 8va ed.).

 

� 2024 por el autor. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).