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An�lisis estructural de un p�rtico aplicando el m�todo de rigidez

 

Structural analysis of a frame applying the rigidity method

 

An�lise estrutural de um p�rtico aplicando o m�todo da rigidez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: mrupay@uniscjsa.edu.pe

 

 

Ciencias T�cnica y Aplicadas ���

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 23 de octubre de 2023 *Aceptado: 22 de noviembre de 2023 * Publicado: �27 de diciembre de 2023

 

1. Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Per�.
2. Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Per�.�������
3. Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Per�.

Resumen

Con esta investigaci�n se ha desarrollado el an�lisis y la resoluci�n a trav�s del m�todo de la rigidez sistematizado de una estructura con secci�n constante. Para su ejecuci�n hemos empleado el m�todo de la rigidez sistematizado y los procedimientos propios vistos en el curso de An�lisis Estructural II en la UNISCJSA, siendo propios del sistema lo siguiente: Determinaci�n del Sistema Q-D [Q], Determinaci�n del sistema q-d (Local) Determinaci�n de los coeficientes de Rigidez [K], Ensamblaje de la Matriz de Rigidez, Vector de Deformaci�n [D] y fuerza de cada q-d, Respecto a la estructura desarrollada, tiene como caracter�sticas lo siguiente; es un p�rtico con secci�n variable ABCDE. En la barra AB presenta una carga distribuida de 3 ton/m, Se considera el EA = ∞ en toda la estructura. Entonces se ha empleado un Sistema Q � D con cuatro grados de libertad posteriormente se ha calculado los valores correspondientes para cada elemento con la ayuda de la tabla de coeficientes de rigidez con secci�n constante y/o variable, asimismo se realiz� el sistema complementario que consta en liberar a cada grado de libertad local para finalmente determinar la matriz de rigidez global y seguir con el proceso de encontrar la deformaci�n y por �ltimo el valor de cada grado de libertad.

Palabras Clave: Deformaci�n; fuerzas internas; m�todo de la rigidez; secci�n constante.

 

Abstract

With this research, the analysis and resolution have been developed through the systematized rigidity method of a structure with a constant section. For its execution we have used the systematized rigidity method and the procedures seen in the Structural Analysis II course at UNISCJSA, the following being typical of the system: Determination of the Q-D System [Q], Determination of the q-d system (Local) Determination of the Rigidity coefficients [K], Assembly of the Rigidity Matrix, Deformation Vector [D] and force of each q-d. Regarding the developed structure, it has the following characteristics; It is a portico with variable section ABCDE. The bar AB has a distributed load of 3 ton/m. The EA = ∞ is considered throughout the structure. Then a Q � D System with four degrees of freedom has been used, subsequently the corresponding values have been calculated for each element with the help of the table of stiffness coefficients with constant and/or variable section, the complementary system that consists in releasing each local degree of freedom to finally determine the global stiffness matrix and continue with the process of finding the deformation and finally the value of each degree of freedom.

Keywords: Deformation; internal forces; rigidity method; constant section.

 

Resumo

Com esta pesquisa, a an�lise e resolu��o foram desenvolvidas atrav�s do m�todo sistematizado de rigidez de uma estrutura com se��o constante. Para sua execu��o utilizamos o m�todo de rigidez sistematizado e os procedimentos vistos no curso de An�lise Estrutural II da UNISCJSA, sendo t�picos do sistema: Determina��o do Sistema Q-D [Q], Determina��o do sistema q-d (Local) Determina��o de os coeficientes de rigidez [K], montagem da matriz de rigidez, vetor de deforma��o [D] e for�a de cada qd. Quanto � estrutura desenvolvida, ela possui as seguintes caracter�sticas; � um p�rtico de sec��o vari�vel ABCDE. A barra AB tem uma carga distribu�da de 3 ton/m. O EA = ∞ � considerado em toda a estrutura. Em seguida foi utilizado um Sistema Q � D com quatro graus de liberdade, posteriormente foram calculados os valores correspondentes para cada elemento com o aux�lio da tabela de coeficientes de rigidez com se��o constante e/ou vari�vel, o sistema complementar que consiste em liberando cada grau de liberdade local para finalmente determinar a matriz de rigidez global e continuar com o processo de encontrar a deforma��o e finalmente o valor de cada grau de liberdade.

Palavras-chave: Deforma��o; for�as internas; m�todo de rigidez; se��o constante.

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Introducci�n

El presente art�culo titulado "M�todo de la rigidez sistematizado aplicado en un p�rtico simple", tiene como objetivo analizar y resolver mediante el m�todo de la rigidez sistematizado, para el primer caso el resultado es la obtenci�n del Vector de Deformaci�n [D], por ello se efectuaron un Sistema Q � D [Q] y un sistema q-d (Local).

El m�todo de rigidez sistematizado se logra dividiendo al p�rtico inicial en barras individuales, considerando a los grados de libertad global aplicado en la barra, el cual se le denomina grados de libertad local directa�(2018).

Es importante destacar que una estructura el r�gida ante cargas axiales lo cual hace que las barras sean completamente inmunes a las deformaciones axiales. Sin embargo, en la realidad las barras de este tipo si presentan deformaci�n axial, pero por idealizaci�n de los p�rticos no se considera.

M�todo Sistematizado de la Rigidez

El an�lisis de estructuras es una disciplina fundamental en ingenier�a civil y arquitectura, que permite comprender el comportamiento de diferentes tipos de estructuras ante cargas y solicitaciones diversas�(2020). Durante d�cadas, los ingenieros han buscado m�todos eficientes y precisos para llevar a cabo este an�lisis, con el objetivo de garantizar la seguridad y funcionalidad de las construcciones.

En este contexto, el m�todo de rigidez sistematizado ha surgido como una herramienta prometedora en el campo del an�lisis estructural. Este m�todo se basa en el principio de la rigidez�(Vargas, 2022), que establece que la respuesta de una estructura est� directamente relacionada con la distribuci�n de sus rigideces y las cargas aplicadas sobre ella. La aplicaci�n sistem�tica de este principio permite obtener soluciones r�pidas y confiables para el an�lisis de estructuras de diversa complejidad.

El m�todo de rigidez sistematizado se caracteriza por su enfoque matricial�(2009), en el cual se representa la estructura mediante una matriz de rigidez global, que considera las caracter�sticas geom�tricas y mec�nicas de los elementos que la componen. A partir de esta matriz, se establecen las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, que se resuelven mediante m�todos num�ricos como la eliminaci�n de Gauss o la descomposici�n LU, para determinar las fuerzas y desplazamientos en cada nodo de la estructura.

Una de las ventajas principales del m�todo de rigidez sistematizado es su capacidad para analizar estructuras con elementos de distintos materiales y geometr�as complejas, lo que lo convierte en una herramienta vers�til y adaptable a diferentes escenarios. Adem�s, su formulaci�n matricial permite la automatizaci�n del an�lisis, lo que agiliza el proceso y reduce la posibilidad de errores humanos.

En este art�culo, se presenta una revisi�n detallada del m�todo de rigidez sistematizado, enfoc�ndose en su fundamentaci�n te�rica, su aplicaci�n pr�ctica y los beneficios que ofrece en comparaci�n con otros m�todos de an�lisis estructural�(Guerdouh & Khalfallah, 2019). Se explorar�n ejemplos y casos de estudio que ilustran su eficacia y se discutir�n las �reas de investigaci�n futuras que podr�an potenciar a�n m�s su desarrollo y aplicaci�n.

M�todo Directo de la Rigidez

El autor (Ottazzi Pasino, 2014) refiere que el m�todo directo de la rigidez tiene como finalidad un conjunto de ecuaciones donde se aprecia las cargas nodales para el Sistema Q � D determinado, en tal caso se pueden expresar como combinaciones lineales de los desplazamientos y en cierto modo dependen de los grados de libertad efectuados.

Adem�s, menciona que este m�todo est� basado en la Superposici�n de Desplazamientos, en donde las inc�gnitas son los grados de libertad, adem�s que se debe considerar el equilibrio en el nudo evaluado, cabe mencionar que la compatibilidad est� garantizada con este m�todo pues se correlacionan los desplazamientos nodales y las deformaciones del extremo de la barra que conducen al nudo.

Ahora bien, en su libro determina una serie de pasos a seguir para lograr obtener un resultado:

Primer paso: Determinar y seleccionar el Sistema Q � D, puesto a que se han presentado casos en donde hay dos sistemas Q � D, y se ha comprobado que el resultado es el mismo, as� como los grados de libertad considerados indistintamente de la ubicaci�n. Como consejo propone a que es posible utilizar la simetr�a de la estructura si la hubiera as� se reduce el trabajo aplicativo.

Segundo paso: Realizar el c�lculo de las Cargas Nodales y ensamblar el Vector [Q], esto se efect�a pues para el vector de deformaci�n se emplea de dicho valor.

Tercer paso: Ensamblar la Matriz de Rigidez [K]. Esto viene determinado al desarrollar la liberaci�n de los grados de libertad empleados, donde se hace la evaluaci�n para cada nodo y si este es afectado o no a alguna deformaci�n, la matriz de rigidez puede ser desde 1 x 1 hasta n x n.

Cuarto paso: Se efect�a el sistema de ecuaci�n lineal, {Q} = [K] {D}, es usual tener el valor de K y de Q por lo tanto se libera el vector D y se tiene la siguiente resultante {D} = [Kr' {Q}, con dicha ecuaci�n se obtiene el Vector de Desplazamiento.

Quinto paso: Se desarrolla el c�lculo de las fuerzas en el extremo de la barra.

Coeficiente de Rigidez Secci�n Variable

Los coeficientes de rigidez son magnitudes f�sicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la raz�n entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicaci�n de esa fuerza.

La rigidez lateral se logra mediante el dise�o y la selecci�n adecuada de los materiales, la geometr�a y la conexi�n de los elementos estructurales. El uso de elementos estructurales m�s gruesos, refuerzos adicionales, rigidizadores, trabes, diafragmas y sistemas de contravientos son algunas de las t�cnicas utilizadas para aumentar la rigidez lateral de una estructura.

Sistema Complementario

En el contexto del m�todo de rigidez en el an�lisis estructural, el sistema complementario se refiere a un conjunto de elementos o componentes adicionales que se agregan a la estructura principal para tener en cuenta las restricciones y las condiciones de apoyo reales.

El m�todo de rigidez es una t�cnica de an�lisis que se utiliza para determinar las deformaciones y las fuerzas en una estructura. Se basa en la descomposici�n de la estructura en elementos r�gidos conectados mediante articulaciones o uniones. Cada elemento r�gido se modela utilizando una matriz de rigidez que relaciona las fuerzas y los desplazamientos en ese elemento.

 

Material y m�todos

Metodolog�a (PROCEDIMIENTO)

En el presente art�culo, se estim� un ejercicio donde se determina el An�lisis Estructural para el p�rtico de secci�n constante , que presenta una carga distribuida , el nudo D y E tienen un apoyo empotrado.

Considerar .

a)     Definir el sistema Q-D.

b)     Hallar la matriz de rigidez.

c)     Determinar el vector deformaci�n.

d)     Calcular las fuerzas en el q-d definido.

Figura 1. Estructura a analizar.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

 

APLICANDO EL M�TODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

1er. Paso: SISTEMA Q-D

Se plantea el sistema Q-D basado en los grados de libertad de rigidez: En primer lugar, se deben identificar los grados de libertad de rigidez en el sistema. Estos grados de libertad representan los desplazamientos o rotaciones que se pueden aplicar a la estructura sin generar fuerzas internas. Asignaci�n de grados de libertad: Una vez que se han identificado los grados de libertad de rigidez, se les asignan etiquetas o n�meros para facilitar su representaci�n matricial. Cada grado de libertad se representa por una letra o un n�mero que lo identifica de manera �nica.

Figura 2. Sistema Q-D.

Nota. Elaboraci�n propia

 

Figura 3. Sistema q-d.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

2so. Paso: MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA�

Figura 4. Matriz de rigidez de la barra AB.

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Figura 5. Matriz de rigidez de la barra EB.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

Figura 6. Matriz de rigidez de la barra BC.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

Figura 7. Matriz de rigidez de la barra DC.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

3er. Paso: MATRIZ DEL SISTEMA

 

BARRA 1

 

BARRA 2

 

BARRA 3

 

BARRA 4

 

4to. Paso: MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA�

 

 

Figura 8. Matriz de rigidez de carga.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

5to. Paso: VECTOR DE CARGA

 

BARRA 1

 

BARRA 2

 

BARRA 3

 

BARRA 4

+

6to. Paso: VECTOR DE DEFORMACI�N

El vector de deformaci�n es una representaci�n matem�tica que describe las deformaciones experimentadas por un material o una estructura cuando se somete a fuerzas o cargas externas. En t�rminos generales, el vector de deformaci�n es una medida de c�mo los puntos individuales de un cuerpo se desplazan y deforman en relaci�n con su estado original.�(Rupay Vargas, Hinostroza Enrique, Garamende Bautista, Loayza P�rez, & Buend�a Ramos, 2023)

 

Se calcula las deformaciones en los nodos mediante la siguiente f�rmula:

 

Despejamos el vector , y se obtiene:

 

 

7mo.Paso: FUERZAS INTERNAS�

Para hallar las fuerzas que se aplican a las barras, a tensi�n o a compresi�n se emplea lo siguiente:

 

BARRA 1

 

 

BARRA 2

 

 

BARRA 3

 

BARRA 4

 

8vo. Paso: COMPROBACI�N EN EL SOFTWARE FTOOL

Se grafic� la armadura propuesta en el ejercicio, en el software FTOOL y se obtuvo el siguiente diagrama.�(Rupay Vargas, y otros, 2023)

Figura 9. Estructura en FTOOL.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

Figura 10. Diagrama de fuerza cortante.

Nota. Elaboraci�n propia

Figura 11. Diagrama de Fuerza Normal.

Nota. Elaboraci�n propia

 

Figura 12. Diagrama de Momento Flector.

Nota. Elaboraci�n propia

9vo. Paso: COMPROBACI�N EN EL SAP2000

Se grafic� la armadura propuesta en el ejercicio, en el software FTOOL y se obtuvo el siguiente diagrama.�(Rupay Vargas, Tucto Santiago, Tito Crispin, Ramos Carhuancho, & Uquiche Molina, 2023)

Figura 13: Diagrama de momento flector en SAP2000

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

Figura 14: Diagrama de fuerza cortante en SAP 2000.

Nota. Elaboraci�n propia

 

Figura 15: Diagrama de fuerza normal en SAP 2000.

Nota. Elaboraci�n propia

 

 

Resultados

En las siguientes tablas se muestran el resumen de los resultados para desplazamientos, fuerzas internas y asentamiento, hallados manualmente y con el uso de software.

Tabla 1

Desplazamientos de los GDL (Grados de libertad) de la Armadura

*D(mm) Desplazamiento en mil�metros 0-15-1520D3D4D6D7

Fuente:� Elaboraci�n propia

Se observa en la tabla 1 que los desplazamientos obtenidos manualmente y con los softwares Ftool y SAP2000 para los grados de libertad 3, 4, 6 y 7 presentan resultados parecidos y similares

Tabla 2

Fuerzas internas en las barras del p�rtico.

	Fuerzas Internas
GDL (local)	C�lculo manual		Software Ftool		Software SAP2000 D(mm)
	Nudo Inicial (tn.m)	Nudo Final (tn.m)	Nudo Inicial (tn.m)	Nudo Final (tn.m)	Nudo Inicial (tn.m)	Nudo Final (tn.m)
1-2 4-3 5-6 7-8	0 0.687813 -4.268807 -0.687813	6.741659 -2.472851 0.240189 -0.240189	0 0.688 -4.269 -0.688	6.742 -2.473 0.240 -0.240	0 0.6878 -4.26881 -0.6878	6.74166 -2.47285 0.2401 -0.24019

*D(mm) Desplazamiento enmil�metros0-15-1520D3D4D6D7

Fuente:� Elaboraci�n propia

Se observa en la tabla 2 que las fuerzas internas obtenidos manualmente y con los softwares Ftool y SAP2000 para los grados de libertad 3, 4, 6 y 7 presentan resultados parecidos y similares

 

Discusi�n

La discusi�n sobre el m�todo de rigidez sistematizado implica abordar sus ventajas, limitaciones y aplicaciones, as� como destacar su relevancia en el an�lisis estructural�(2014). Aqu� hay algunos puntos clave para incluir en una discusi�n sobre este m�todo:

(Lopez & Music, 2016), indica que, al calcular la matriz de rigidez para cualquier elemento, es esencial que est� completamente alineada con sus coordenadas globales. Esto implica considerar los desplazamientos en las coordenadas "X" y "Y" y tener en cuenta el n�mero de grados de libertad por cada nodo, que en este caso son dos�(2020), dando como resultado una matriz de rigidez cuadrada de dimensiones 4x4. Este concepto se alinea con la informaci�n encontrada en el libro revisado. En resumen, se ha generado una matriz de rigidez para cada elemento, basada en sus coordenadas globales, y todas estas matrices son cuadradas con igual n�mero de filas y columnas.

(Blanco, Cervera , & Su�rez, 2015) menciona que lo que se puede justificarse mediante los grados de libertad es su capacidad para determinar los desplazamientos y rotaciones en una estructura, especialmente al iniciar desde un punto nodal, aplic�ndose a cualquier armadura plana en 2D. La cantidad de grados de libertad se vincula directamente con el n�mero de nodos; para apoyos simples, se asigna un grado de libertad, mientras que para apoyos fijos no se considera ning�n grado de libertad. Este enfoque se ha aplicado de manera coherente en nuestro trabajo, donde se ha tenido en cuenta el n�mero adecuado de grados de libertad, dependiendo de si se trata de apoyos fijos o simples.

 

Conclusi�n

Al concluir un trabajo sobre el m�todo de rigidez aplicado a una estructura con secci�n variable, se pueden destacar las siguientes conclusiones:

• Precisi�n y eficiencia: El m�todo de rigidez es una t�cnica precisa y eficiente para analizar estructuras con elementos de s�lido r�gido�(2002). Permite obtener resultados r�pidamente y con una buena aproximaci�n a las deformaciones y fuerzas internas reales.
• Simplificaci�n del an�lisis: La consideraci�n de los elementos como s�lidos r�gidos simplifica el an�lisis estructural, ya que se eliminan las consideraciones de deformaci�n de los elementos. Esto facilita el modelado y la resoluci�n del sistema de ecuaciones.
• Flexibilidad en la modelizaci�n: El m�todo de rigidez permite modelar diferentes tipos de estructuras y aplicar diferentes tipos de condiciones de contorno, lo que brinda flexibilidad para analizar una amplia gama de situaciones estructurales�(2002).
• Limitaciones: El m�todo de rigidez asume que los elementos son s�lidos r�gidos y no considera efectos como la flexibilidad o la deformaci�n localizada. Por lo tanto, puede no ser adecuado para estructuras con componentes altamente flexibles o que experimenten grandes deformaciones.
• Aplicaciones: El m�todo de rigidez es ampliamente utilizado en ingenier�a civil y estructural para analizar y dise�ar estructuras simples y complejas, como puentes, edificios, sistemas mec�nicos, entre otros.

 

Contribuci�n de los autores

MJRV, contribuci�n, Revisi�n Final del art�culo.

JSLY, contribuci�n, Revisi�n Final del art�culo.

YABA, contribuci�n, An�lisis de Resultados y redacci�n del art�culo.

AYFZ, contribuci�n, An�lisis de Resultados y redacci�n del art�culo.

ALMQ, contribuci�n, recolecci�n de datos procesamiento de datos.

AJRL, contribuci�n, modelamiento en Ftool, SAP2000.

 

Conflictos de inter�s

Los autores declaran que no existe conflicto de inter�s

 

Referencias

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� 2023 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).