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Modelo de optimizaci�n dual y an�lisis de sensibilidad en programaci�n de recursos en las pymes

 

Dual optimization model and sensitivity analysis in resource scheduling in SMEs

 

Modelo de otimiza��o dupla e an�lise de sensibilidade no escalonamento de recursos em PMEs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: jsalas@espam.edu.ec

 

Ciencias Econ�micas y Empresariales

Art�culo de Investigaci�n

 

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* Recibido: 30 de octubre de 2023 *Aceptado: 20 de noviembre de 2023 * Publicado: �06 de diciembre de 2023

 

        I.            Escuela Superior Polit�cnica Agropecuaria de Manab� Manuel F�lix L�pez Manab�, Ecuador.

      II.            Escuela Superior Polit�cnica Agropecuaria de Manab� Manuel F�lix L�pez Manab�, Ecuador.

Resumen

El objetivo de este art�culo fue analizar las teor�as referente a los modelo de optimizaci�n dual y an�lisis de sensibilidad para lo cual se realizar� un an�lisis, de las principales teor�as del modelo matem�tico y la importancia de la sensibilidad, para la soluci�n �ptima en la programaci�n de recursos en las peque�as y medianas empresas (pymes).Este an�lisis se realiz� en base a la revisi�n de fuentes bibliogr�ficas inherentes a la tem�tica, en su mayor�a actualizadas. Se ha encontrado que la optimizaci�n dual y el an�lisis de sensibilidad ayudan a identificar� las variables de decisi�n, la funci�n objetivo y las restricciones, para as� lograr formular el modelo de Programaci�n Lineal, cuya ejecuci�n se realiza en un software computacional. Se concluye que un� modelo es la abstracci�n de un problema real; al cual se le aplican ciertas consideraciones matem�ticas, permitiendo obtener resultados �ptimos. Se comprende que la optimizaci�n consiste en buscar la soluci�n �ptima y eficiente frente a una situaci�n problema mediante la formulaci�n de un modelo matem�tico, en este modelo se puede inclinar a una maximizaci�n o minimizaci�n del resultado final, sujeto a una serie de restricciones.

Palabras Clave: Optimizaci�n; Modelo;Programaci�n lineal.

 

Abstract

The objective of this article was to analyze the theories regarding the dual optimization models and sensitivity analysis, for which an analysis will be carried out of the main theories of the mathematical model and the importance of sensitivity, for the optimal solution in the programming of resources in small and medium-sized enterprises (SMEs). This analysis was carried out based on the review of bibliographic sources inherent to the subject, most of them updated. It has been found that dual optimization and sensitivity analysis help to identify the decision variables, the objective function and the restrictions, in order to formulate the Linear Programming model, whose execution is carried out in computer software. It is concluded that a model is the abstraction of a real problem; to which certain mathematical considerations are applied, allowing optimal results to be obtained. It is understood that optimization consists of seeking the optimal and efficient solution to a problem situation through the formulation of a mathematical model, in which this model can be inclined to maximize or minimize the final result, subject to a series of restrictions.

Keywords: Optimization; Model; Linear programming.

 

Resumo

O objetivo deste artigo foi analisar as teorias a respeito dos modelos de otimiza��o dual e an�lise de sensibilidade, para o qual ser� realizada uma an�lise das principais teorias do modelo matem�tico e da import�ncia da sensibilidade, para a solu��o �tima na programa��o de recursos. nas pequenas e m�dias empresas (PME).Esta an�lise foi realizada com base na revis�o de fontes bibliogr�ficas inerentes ao tema, a maior parte delas atualizadas. Verificou-se que a otimiza��o dupla e a an�lise de sensibilidade auxiliam na identifica��o das vari�veis ​​de decis�o, da fun��o objetivo e das restri��es, para a formula��o do modelo de Programa��o Linear, cuja execu��o � realizada em software de computador. Conclui-se que um modelo � a abstra��o de um problema real; ao qual certas considera��es matem�ticas s�o aplicadas, permitindo a obten��o de resultados �timos. Entende-se que a otimiza��o consiste em buscar a solu��o �tima e eficiente para uma situa��o problema por meio da formula��o de um modelo matem�tico, no qual esse modelo pode ser inclinado a maximizar ou minimizar o resultado final, sujeito a uma s�rie de restri��es.

Palavras-chave: Otimiza��o; Modelo; Programa��o Linear.

 

Introducci�n

A d�a de hoy, la programaci�n lineal constituye un importante campo dentro de la optimizaci�n; muchos problemas pr�cticos de la investigaci�n operativa pueden plantearse como problemas de programaci�n lineal. Algunos casos especiales, tales como los problemas de flujo de redes y de flujo de mercanc�as, se consideraron en el desarrollo de las matem�ticas lo suficientemente importantes como para generar por s� mismos mucha investigaci�n sobre algoritmos especializados en su soluci�n. Del mismo modo, la programaci�n lineal es usada en la microeconom�a y la administraci�n de empresas, tanto para aumentar al m�ximo los ingresos o reducir al m�nimo los costos de un sistema de producci�n. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gesti�n de inventarios, la cartera y gesti�n de finanzas, asignaci�n de recursos humanos y recursos de m�quinas, soluci�n a problemas de transporte y planificaci�n de campa�as de publicidad, entre otros (Havas,� Olsson,� Persson , Schierscher, 2013)�

Ahora bien, para� Mokhtar� (2012) la optimizaci�n es la parte m�s importante de la Investigaci�n de Operaciones, el cual tuvo sus inicios durante la segunda guerra mundial en Inglaterra, nace con la finalidad de poder darle soluci�n a los problemas de optimizaci�n para una mejora en las operaciones militares de ese entonces. La optimizaci�n consiste en la elecci�n de la mejor alternativa de soluci�n, dentro de todas las alternativas posibles y aceptables

El concepto de optimizaci�n ha ido adquiriendo importancia a lo largo del tiempo,� seg�n Salda�a, Oliva, Pradenas,� ( 2007) por ser una herramienta que ayuda a la toma de decisiones con el objetivo de satisfacer las necesidades que presentan las empresas. La optimizaci�n consiste en buscar la soluci�n �ptima y eficiente frente a una situaci�n problema mediante la formulaci�n de un modelo matem�tico, en este modelo se puede inclinar a una maximizaci�n o minimizaci�n del resultado final, sujeto a una serie de restricciones. Los diferentes modelos de optimizaci�n que plantea la investigaci�n operativa son clave fundamental para la toma de decisiones, ya que ayuda a darle soluci�n a los diversos problemas que se presentan dentro de una empresa y/o organizaci�n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dentro de los modelos de optimizaci�n, el modelo de Programaci�n Lineal, es� una t�cnica de optimizaci�n que consiste en la maximizaci�n o minimizaci�n de una funci�n lineal, llamada funci�n objetivo, sujeta a restricciones tambi�n lineales. El criterio de optimizaci�n es por lo general un objetivo econ�mico, por ejemplo, maximizar un beneficio o minimizar un costo y por esta raz�n recibe el nombre de funci�n econ�mica o funci�n objetiva (�lvarez, 2014, p.37). Es una herramienta para resolver problemas de optimizaci�n.

El modelo de programaci�n lineal es la m�s utilizada dentro de la investigaci�n operativa, esto debido a que todas las funciones incluidas dentro de este modelo ser�n del tipo lineal y la cantidad de restricciones ser� finitas.

En este sentido, el uso de modelos matem�ticos para la toma de decisiones no es una pr�ctica novedosa. Desde 1970 John Little, al discutir la relaci�n entre los administradores y los n�meros, sugiere que un modelo matem�tico dise�ado para un administrador, nunca ser� adoptado a no ser que el administrador conf�e en �l, por lo tanto, debe poder comprender el modelo. Esto implica que sea capaz de interrogarlo, y que la informaci�n de salida le proporcione una mayor comprensi�n del problema, mejorando as� la claridad del proceso de la toma de decisiones. (Borgonovo, 2017)

En la actualidad, los tomadores de decisiones se apoyan de una computadora para llevar a cabo su tarea. Sin embargo, los modelos generados por ellas poseen una complejidad que en ocasiones dificulta el trabajo, y aunque el ordenador provee un resultado puntual, este resultado puede no satisfacer en su

El problema que motiva� este art�culo� es el modelo de optimizaci�n dual y an�lisis de sensibilidad para lo cual se realizar� un an�lisis , de las principales teor�as del modelo matem�tico y la importancia de la sensibilidad , para la soluci�n �ptima en la programaci�n de recursos en las peque�as y medianas empresas (pymes).

 

Desarrollo

Los modelos matem�ticos como apoyo a la soluci�n de problemas existentes en las empresas� poseen una complejidad que en ocasiones dificulta el trabajo, y aunque el ordenador provee un resultado puntual, este resultado pueden no satisfacer en su totalidad al decisor. Cuando la decisi�n se realiza en un entorno incierto para el decisor, la complejidad aumenta debido a la presencia de entradas cuyo valor no se encuentra totalmente definido, lo que desencadena en la toma de una decisi�n informada por los datos de salida de los modelos y otras consideraciones adicionales como, por ejemplo, la legislaci�n relacionada con el fen�meno sobre el cual se decide. (Borgonovo, 2017)

Es por ello que el� desarrollo de un modelo para la toma de decisiones requiere la participaci�n de un equipo multidisciplinario, que proporcionen diferentes ideas, juicios y datos. Y el proceso de toma de decisiones se encuentra definido por la identificaci�n del problema, identificaci�n de las alternativas, implementaci�n del modelo, evaluaci�n de las alternativas, an�lisis de sensibilidad e implementaci�n de la mejor alternativa. En el caso de que se considere necesario mayor estudio despu�s de la aplicaci�n del an�lisis de sensibilidad, se puede volver a cualquiera de las primeras tres etapas del proceso seg�n se requiera ( Bradley,� 2014).

En la etapa de evaluaci�n de las alternativas, el decisor debe asegurarse de que los resultados del modelo tengan credibilidad dentro de las pol�ticas de decisi�n del entorno, de lo contrario, el modelo podr�a ser rechazado (Gass, 1983). Es en este momento que el an�lisis de sensibilidad toma importancia, pues puede ser utilizado para comprender de mejor forma el funcionamiento de un modelo (Borgonovo, 2017). Otras funciones del an�lisis de sensibilidad son las de proveer un criterio objetivo en el proceso de modelaje, identificar el modelo, discriminarlo, calibrarlo o corroborarlo. (Saltelli et. al. 2004)

Adem�s los an�lisis de sensibilidad aportan informaci�n sobre las consecuencias de una decisi�n de acuerdo a los valores de los par�metros involucrados en ella. Por lo tanto, el an�lisis de sensibilidad es considerado como una herramienta importante dentro de la toma de decisiones, ya que dirige la atenci�n a los aspectos fundamentales del problema, y muestra las consecuencias de un cambio o una variaci�n.(Borgonovo, 2017

La definici�n del t�rmino �an�lisis de sensibilidad�, var�a entre las comunidades t�cnicas y de acuerdo a la definici�n del problema en el que se utiliza, por lo tanto, una definici�n precisa requiere especificar la salida del an�lisis (Saltelli et al., 2004). Sin embargo, durante los �ltimos a�os, de manera general, se considera al an�lisis de sensibilidad como una �medida local del efecto de una variable de entrada sobre una variable de salida, que permite comprender mejor el funcionamiento de un modelo� (Borgonovo, 2017). En la pr�ctica, un an�lisis de sensibilidad significa �permitir la variaci�n de todo lo incierto (variables, relaciones matem�ticas, condiciones de frontera, etc.), a la vez que se corre el modelo, produciendo un rango de predicciones� (Saltelli et al., 2004, 2020)

De manera general, los an�lisis de sensibilidad pueden clasificarse en globales y locales. Estos pueden dise�arse para resolver un problema en espec�fico y actualmente existen muchos que se encuentran en la espera de m�s aplicaciones para explorar sus contenidos. Cada uno de ellos hace uso de distintas herramientas como por ejemplo programaci�n lineal, diagramas de influencia, �rboles de eventos y fallas, modelos de optimizaci�n, modelos de simulaci�n, entre otros. Sin embargo, existen ciertas caracter�sticas deseables que los an�lisis de sensibilidad deben considerar durante su dise�o (Borgonovo, 2017; Saltelli et al., 2004).

 

El modelo dual de optimizaci�n es una alternativa de soluci�n que utiliza el modelo dual para hallar la soluci�n �ptima al modelo, puesto que brinda las bases te�ricas para comprender como cambia la soluci�n �ptima cuando cambian las constantes del modelo matem�tico utilizando un an�lisis de sensibilidad que permite identificar las �reas fuertes y d�biles de las peque�as y medianas empresas y si posible impacto al maximizar los beneficios y/o minimizar los costos y los gastos.

Seg�n Del R�o (2021):

La programaci�n matem�tica (o teor�a de optimizaci�n) es la rama de las matem�ticas que trabaja con las t�cnicas de maximizar o minimizar una funci�n objetivo sujeta a restricciones sobre los valores de las variables. Un caso especial es la programaci�n lineal que trata sobre el proceso de maximizar o minimizar una funci�n objetivo lineal en varias variables sujeta a restricciones lineales, que pueden ser de igualdad o desigualdad. (p.7).

La programaci�n lineal resulta fundamental para la econom�a entre otras aplicaciones. Las restricciones se entienden como los recursos finitos que se utilizan y la funci�n objetivo como, por ejemplo, los gastos que hay que minimizar para producir algo o el beneficio que debe maximizarse, por el m�todo primal y dual, utilizando las variables de estudio, variables de holgura y variables artificiales.�

Programar y asignar recursos es un proceso cr�tico en la gesti�n empresarial, que permite a las empresas aprovechar al m�ximo sus recursos limitados, como lo mencionan G�mez, Morales y Ram�rez (2018):

La forma como una empresa maneja sus recursos es fundamental para la duraci�n y buenos resultados de ella, debido a que una incorrecta planificaci�n o asignaci�n de recursos ocasiona desbalances en las finanzas o p�rdidas, que frecuentemente tienen un alto impacto sobre las pymes. Por lo cual, se hace necesario revisar cuales son los factores por los que estas empresas no le dan importancia a la administraci�n y gesti�n de recursos. (p.82)

La asignaci�n efectiva de recursos permite usar correctamente los recursos del equipo, maximizar los resultados y respaldar los objetivos del equipo. Para crear un plan de asignaci�n de recursos, se necesita identificar los recursos adecuados (miembros del equipo, herramientas, presupuesto, etc.)

A prop�sito de lo anterior, Delf�n y Acosta (2016), define que:

Existen diferentes factores que condicionan la productividad y rentabilidad de las organizaciones; estos son: la globalizaci�n, la competencia, los desequilibrios en el comercio internacional, el capital humano, los avances tecnol�gicos, etc. Lograr un crecimiento econ�mico sostenible requiere que el empresario tenga la capacidad de ver en estos factores una oportunidad o ventaja. (p. 190)

Es esencial la programaci�n de recursos en las pymes, para maximizar la eficiencia y la productividad de la organizaci�n. Para Andr�s y Poler (2014):

La asignaci�n de recursos es un tema relevante en la ejecuci�n de procesos de negocio en las organizaciones, e influyente en el rendimiento de una organizaci�n. La asignaci�n adecuada delos recursos es un tema clave en su uso eficiente para la ejecuci�n de procesos de negocio, que asegura que cada elemento de trabajo es realizado por el recurso correcto y el momento oportuno. (p. 5).

Uno de los aspectos fundamentales en la econom�a es la asignaci�n y programaci�n eficiente de los recursos y la mejor combinaci�n, en tanto que pueda reportar el mayor beneficio, con la utilizaci�n de un m�todo que aportar� a conseguir los objetivos empresariales; a lo cual, P�rez (2019) enfatiza que:

El concepto de dualidad tiene una interpretaci�n econ�mica natural que se considera muy �til en los problemas de programaci�n lineal que tienen que ver con la asignaci�n de recursos limitados entre actividades competitivas. Interpretaci�n t�pica del problema PRIMO; donde x_j es el nivel de la actividad j, c_j es la ganancia unitaria de la actividad o el precio de venta unitario o el costo unitario de la actividad j; b_j es la cantidad de recurso i disponible, y a_ij es la cantidad de recurso i usada para cada unidad de actividad j. (p.76)

Desde las ideas anteriores, obtener un modelo de optimizaci�n dual que permita la asignaci�n y programaci�n eficiente de los recursos en las peque�as y medianas empresas, particularmente el modelo dual del m�todo simplex permitir� mejorar la soluci�n de la funci�n objetivo obteniendo el valor �ptimo mayor (maximizar) u obtener el valor �ptimo menor (minimizar).

El modelo dual de optimizaci�n brinda las bases para comprender la soluci�n �ptima de un problema cuando cambian las constantes del modelo matem�tico, en el que so el primal es un problema de maximizaci�n su dual ser� un problema de minimizaci�n y viceversa, Los coeficientes de la funci�n objetivo del problema primal se convertir�n en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

 

 

 

Conclusiones

Las ideas de programaci�n lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teor�a de la optimizaci�n tales como dualidad, descomposici�n y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones

Los an�lisis de sensibilidad aportan informaci�n sobre las consecuencias de una decisi�n de acuerdo a los valores de los par�metros involucrados en ella. Por lo tanto, el an�lisis de sensibilidad es considerado como una herramienta importante dentro de la toma de decisiones, ya que dirige la atenci�n a los aspectos fundamentales del problema, y muestra las consecuencias de un cambio o una variaci�n.

El an�lisis consiste en la observaci�n de los nuevos resultados� que se obtendr�an del modelo formulado si ahora se introduce una variaci�n, peque�a o considerable, en las restricciones, variables o en los par�metros dados. El inter�s de esto radica en que la soluci�n �ptima de un problema de programaci�n lineal, en cierto modo, depende completamente de los datos del problema a modelar.

 

Referencias

�lvarez, J. (2014). Programaci�n lineal Investigaci�n de Operaciones (3ra ed.). Universidad Nacional de Ingenier�a.

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� 2023 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).