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Renormalizaci�n perturbativa para correcciones radiactivas en teor�a cu�ntica de campos

 

Perturbative renormalization for radioactive corrections in quantum field theory

 

Renormaliza��o perturbativa para corre��es radioativas na teoria qu�ntica de campos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: diego.santana@espoch.edu.ec

 

 

 

Ciencias Matem�ticas ���

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 30 de mayo de 2023 *Aceptado: 29 de julio de 2023 * Publicado: �27 de agosto de 2023

 

1. M�ster, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

      II.            M�ster, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

   III.            M�ster, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

   IV.            M�ster, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

 

Resumen

En Teor�a Cu�ntica de Campos con interacciones siempre aparecen cantidades divergentes cuando se calculan amplitudes f�sicas. Estas cantidades deben ser expresadas mediante magnitudes medibles, y para este cometido se necesita un mecanismo de renormalizaci�n que elimine estas divergencias. Una consecuencia de la renormalizaci�n es que las constantes de acoplamiento renormalizadas dependen de la escala de energ�a. Esta dependencia se puede caracterizar mediante las funciones beta. El entendimiento de su estructura nos permite conocer el comportamiento infrarrojo y ultravioleta de la teor�a, as� como indicar su r�gimen perturbativo. En este trabajo se presenta el computo de la funci�n beta a orden de 1-bucle de la Electrodin�mica Cu�ntica (QED) y en Teor�as Gauge no Abelianas con grupo SU(N), se discute el caso especial de SU(3). Se utiliza renormalizaci�n perturbativa para aislar divergencias en contrat�rminos y para renormalizar los par�metros de la teor�a. Se utiliza el m�todo de regularizaci�n dimensional para regularizar integrales infinitas y garantizar su convergencia. Se encuentra que, para el caso de QED la funci�n beta es positiva, siendo segura en reg�menes infrarrojos. En teor�as Gauge no Abelianas, la funci�n beta es negativa para nF < 16, y presenta el fen�meno de libertad asint�tica.

Palabras Clave: Funci�n beta; No abelianas; Teor�as gauge; Renormalizaci�n; qed; qcd; su(n).

 

Abstract

In Quantum Field Theory with interactions, divergent quantities always appear when physical amplitudes are calculated. These quantities must be expressed by means of measurable magnitudes, and for this purpose a renormalization mechanism is needed to eliminate these divergences. A consequence of the renormalization is that the renormalized coupling constants are dependent on the energy scale. This dependency can be characterized by the beta functions. The understanding of its structure allows us to know the infrared and ultraviolet behavior of the theory, as well as to indicate its perturbative regime. In this work the computation of the beta function to order of 1-loop of Quantum Electrodynamics (QED) is presented and in Non-Abelian Gauge Theories with SU(N) group, the special case of SU(3) is discussed. Perturbative renormalization is used to isolate divergences in counterterms and to renormalize the parameters of the theory. The dimensional regularization method is used to regularize infinite integrals and guarantee their convergence. It is found that, in the case of QED, the beta function is positive, being safe in infrared regimes. In non-Abelian Gauge theories, the beta function is negative for nF < 16, and presents the phenomenon of asymptotic freedom.

Keywords: Fun��o beta; N�o abeliano; Teorias de medi��o; Renormaliza��o; qed; qcd; dele(n).

 

Resumo

Na Teoria Qu�ntica de Campos com intera��es, quantidades divergentes sempre aparecem quando amplitudes f�sicas s�o calculadas. Estas quantidades devem ser expressas por meio de grandezas mensur�veis, e para isso � necess�rio um mecanismo de renormaliza��o para eliminar essas diverg�ncias. Uma consequ�ncia da renormaliza��o � que as constantes de acoplamento renormalizadas dependem da escala de energia. Esta depend�ncia pode ser caracterizada pelas fun��es beta. A compreens�o de sua estrutura permite conhecer o comportamento infravermelho e ultravioleta da teoria, bem como indicar seu regime perturbativo. Neste trabalho � apresentado o c�lculo da fun��o beta de ordem 1-loop da Eletrodin�mica Qu�ntica (QED) e nas Teorias de Gauge N�o-Abelianas com grupo SU(N), o caso especial de SU(3) � discutido. A renormaliza��o perturbativa � usada para isolar diverg�ncias em contratermos e para renormalizar os par�metros da teoria. O m�todo de regulariza��o dimensional � utilizado para regularizar integrais infinitas e garantir sua converg�ncia. Verifica-se que, no caso do QED, a fun��o beta � positiva, sendo segura em regimes de infravermelho. Nas teorias de Gauge n�o-Abelianas, a fun��o beta � negativa para nF < 16 e apresenta o fen�meno da liberdade assint�tica.

Palavras-chave: Fun��o beta; N�o abeliano; Teorias de medi��o; Renormaliza��o; qed; qcd; dele(n).

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Introducci�n

La electrodin�mica cu�ntica (QED) es la teor�a de campos que describe las interacciones de part�culas cargadas el�ctricamente representadas por campos fermi�nicos (e.g. electrones, muones, protones, quarks, etc.) (Schweber, 1994); formalmente hablando, es la teor�a de campos para fermiones con simetr�a gauge (o simetr�a local) U(1).� Este tipo de teor�as est�n basadas en un grupo de Lie conmutativo y se les conoce como Teor�as Gauge Abelianas (Salam y Ward,� 1959), (Glashow,1961) y (Weinberg, 1967). �stas no constituyen modelos suficientes para obtener una descripci�n completa de la naturaleza. Un ejemplo de ello es que la fuerza nuclear fuerte, responsable de la cohesi�n de n�cleos at�micos y la fuerza nuclear d�bil que es aquella involucrada en las desintegraciones nucleares, no son descritas por teor�as gauge Abelianas. Pese a que las interacciones fuerte y d�bil tambi�n pueden ser descritas mediante simetr�as locales, sus grupos de simetr�a asociados son grupos no conmutativos o No Abelianos, he aqu� que nace la necesidad de construir y estudiar Teor�as Gauge No Abelianas para la descripci�n correcta de estas interacciones . (Ramond, 2011). Las teor�as no Abelianas son la base fundamental para la construcci�n del modelo est�ndar (Yang y Mills, 1954) y son de un inter�s cient�fico alto y de un campo muy activo en la investigaci�n actual (Jaffe y Witten, 2000).

Teor�as Gauge y en general toda Teor�a Cu�ntica de Campos (QFT) encuentra su mayor dificultad en lidiar con los infinitos que aparecen al momento de calcular cantidades medibles, e.g. amplitudes de probabilidad, tasas de decaimientos, etc. En un principio, la existencia de estas divergencias llev� a pensar que QFT podr�a ser un marco err�neo para describir la naturaleza en su escala fundamental. Sin embargo, m�s tarde, (Tomonaga, 1946), (Feynman, 1948), propusieron un programa de renormalizaci�n que proporcionaba resultados finitos y f�sicamente sensibles. As� se logran completar c�lculos en QED que concuerdan con las observaciones con una precisi�n de hasta ocho cifras significativas, los m�s precisos en toda la historia de la ciencia (Odom, Hanneke, D`Urso y Gabrielse, 2006). De acuerdo con la visi�n actual (Wilson, 1975), la renormalizaci�n no es m�s que la parametrizaci�n de la sensibilidad de la f�sica de bajas energ�as a la f�sica de altas energ�as. Es decir, podemos ver a las teor�as renormalizables como teor�as de campo efectivas que describen la f�sica s�lo a bajas energ�as (ya que su descripci�n a altas energ�as falla). En este sentido, el Modelo Est�ndar de Part�culas es en realidad una teor�a de campo efectiva que describe a la naturaleza (aproximadamente) a trav�s de teor�as solamente renormalizables . (Wilson, 1975), (T�Hooft y Veltman, 1972) y (Peskin y Schroeder, 1995).

Una consecuencia de la renormalizaci�n es que las constantes de acoplamiento efectivas de una teor�a (una vez renormalizadas) dependen de la escala de energ�a M con la que se est� trabajando, es decir, las constantes a nivel cu�ntico tal como las conocemos no son en realidad constantes (Politzer, 1973), (Gross y Wilczek, 1973) y ('T Hooft, 1999).� Por ejemplo, la constante de estructura fina de la QED tiene una dependencia logar�tmica con M. Esta dependencia de la escala de energ�a se puede caracterizar mediante las funciones beta definidas como:

 

 

����� (1)

con g la constante de acoplamiento y gM la constante de acoplamiento renormalizada. En otras palabras, y para enfatizar su importancia, para entender el comportamiento infrarrojo de una teor�a cu�ntica de campos (cuando el momento, k→ 0) y ultravioleta (cuando k→ ∞) es crucial saber la estructura de las funciones beta asociada a la constante de acoplamiento de la teor�a (Gaum� y V�zquez-Mozo, 2011), (Frampton, 2008) y (Cheng y Li, 1988). Adem�s de indicarnos el r�gimen perturbativo de la teor�a (cuando g(M) <1), las funciones beta nos permiten analizar fen�menos como la libertad asint�tica (aparente libertad de quarks dentro de hadrones).� Actualmente, el campo de investigaci�n que realiza c�lculo de funciones beta en QFT continua activo y su estudio se ha ampliado desde inicios de la d�cada de los 90s ('T Hooft, 1999). Estudios recientes muestran c�lculos en 4to (Czakon, 2005), y hasta en 5to orden de aproximaci�n, utilizando m�todos avanzados en QFT como Back Ground Field Method y mediante c�lculos num�ricos por computadora (Luthe, Maier y Marquard, 2017), (Baikov, Chetyrkin y Kuhn, ‪2017).

Este trabajo se plantea como una primera aproximaci�n a la investigaci�n seria que se hace hoy en d�a. Es as� que se calcula las funciones beta de una teor�a gauge con grupo SU(N), utilizando el mecanismo de renormalizaci�n y la t�cnica de regularizaci�n dimensional. Adem�s analizaremos el comportamiento en altas y bajas energ�as de esta teor�a y discutiremos sus implicaciones en el caso particular de SU(3). (SU(3) es de especial importancia porque corresponde al grupo gauge de la Cromo Din�mica Cu�ntica (QCD)).

 

M�todos

La metodolog�a utilizada en esta secci�n es la renormalizaci�n perturbativa, tambi�n llamado esquema de renormalizaci�n BPH ( Bogoliubov, Parasiuk y Hepp . Grossomodo) (Bogolyubov y Parasiuk, 1957), (Hepp, 1966) y (Zimmermann, 1970), consiste en dividir el Lagrangiano en una parte f�sica (renormalizada), que contiene los campos que medimos experimentalmente, y en otra parte que contiene contrat�rminos que son inobservables [25]. Algunas de estas contribuciones en la teor�a no Abeliana se aprecian en los diagramas de Feynman mostradas en las Figuras 1,2,3. Cabe recalcar que al igual que en QED, en teor�as no Abelianas tambi�n aparecen divergencias y es necesario renormalizarlas (Feynman, 1949), que es uno de los objetivos de este trabajo.

 

Figura 1: Contribuciones al propagador bos�nico a orden g2. Estos diagramas poseen divergencias que son canceladas por el contrat�rmino δ3 (Weinberg, 1995).

Figura 2: Correcci�n al propagador fermi�nico. La divergencia de este diagrama es cancelada por el contrat�rmino δ2 (Weinberg, 1995).

Figura 3: Contribuciones a la correcci�n del v�rtice fermi�n-bos�n a orden g2 y cuyas divergencias son canceladas por el contrat�rmino δ1 (Weinberg, 1995).

 

Ecuaci�n de Callan-Symanzik

Cuando se trabaja con condiciones de renormalizaci�n, la escala de renormalizaci�n es arbitraria. Se puede definir la misma teor�a a una escala diferente M0. De igual forma, las funciones de Green renormalizadas a una escala M, G(n) pueden ser renormalizadas a una escala M0 distinta, con una nueva constante de acoplamiento renormalizada g0 y un nuevo factor de reescalamiento Z0 (Tong, 2007). La ecuaci�n de Callan-Symanzik determina c�mo cambian las funciones de correlaci�n a n puntos con la escala.

��� (2)

Nuestro objetivo es usar la ecuaci�n de Callan Symanzik para obtener una expresi�n para la funci�n beta en t�rminos de derivadas de M de los contrat�rminos (Larin y Vermaseren, 1993), (Ritbergen y Larin, 1997), (Srednicki, 2006), (Weinberg, 1995). La funci�n beta mide la dependencia de la constante de acoplamiento sobre la escala de renormalizaci�n. Para ejemplificar este proceso, a continuaci�n, se muestra los resultados obtenidos para el caso de QED y teor�as no Abelianas (Baikov, Chetyrkin y Kuhn, ‪2017).

 

Resultados y discusi�n

La funci�n beta para QED a orden de 1-bucle obtenida est� dada por,

�(3)

Como vimos en la ecuaci�n (1), la funci�n beta caracteriza la variaci�n de la constante de acoplamiento con la escala de energ�a M. Por tanto, el hecho de que el signo de (4.1) sea positivo ya nos proporciona informaci�n del comportamiento global de la constante de acoplamiento: la constante de acoplo renormalizada para QED aumenta cuando aumenta la escala de energ�a.

Por un lado, cuando se trabaja a una escala M en el r�gimen de bajas energ�as, donde la carga del electr�n renormalizada es suficientemente peque�a, la funci�n beta nos dice que es totalmente leg�timo abordar QED mediante un tratamiento perturbativo siempre. Se dice entonces que QED es segura en reg�menes infrarrojos ya que la aproximaci�n perturbativa nos proporciona mejores resultados conforme vamos a energ�as m�s bajas. En el l�mite, a escalas de energ�a suficientemente peque�as (del orden de la masa del electr�n: 0,5MeV), la carga del electr�n viene dada en t�rminos de la constante de estructura fina con el valor cl�sico de 1/137 (Ver Figura 4).

 

Figura 4: Gr�fica esquem�tica de la carga renormalizada en funcion de la escala de energ�a M. Aqu� es la constante de estructura fina dada por α = e2=4π.

Por otro lado, cuando se incrementa la escala de energ�a M (a distancias cortas) el acoplamiento cada vez se hace m�s fuerte y la aproximaci�n perturbativa deja de ser una metodolog�a v�lida para el tratamiento de la teor�a. Si quisieramos describir procesos a estas energ�as es estrictamente necesario cambiar el enfoque a uno no perturbativo.

 

En Teor�as Gauge no Abelianas, ocurre totalmente lo contrario a QED. La funci�n beta calculada en el cap�tulo 3 es,

(4)

Para el grupo SU(N) se tiene que C2(G) = N, y C(r) = 12, valores que reemplazando en (4) resultan en,

(5)

Al fijarnos en la ecuaci�n anterior se deduce claramente que para una peque�a cantidad de fermiones (nF) la funci�n beta es negativa, lo que a partir de su definici�n, ecuaci�n (1), implica que la constante de acoplamiento efectiva aumenta cuando M disminuye y decrece mientras M sea cada vez m�s grande. Este hecho implica tambi�n que la constante de acoplamiento tienda a cero conforme a escala de energ�a se incrementa (a distancias cortas, ver Figura 5). Este fen�meno es conocido como libertad asint�tica: en el l�mite Ultravioleta la teor�a renormalizada es libre (sin interacci�n).

 

Figura 5:� Gr�fica esquem�tica de la carga renormalizada en funcion de la escala de energ�a M. Aqu� es la constante de estructura fina dada por α =e2=4π.

En esta clase de teor�as (a diferencia de QED), el comportamiento a distancias cortas, o energ�as arbitrariamente altas, es completamente tratable mediante diagramas de Feynman. Aunque las divergencias ultravioletas aparezcan en cada orden de perturbaci�n, este resultado garantiza que la constante de acoplamiento permanece d�bilmente acoplada, lo suficiente para tratar las divergencias que aparezcan de manera sofisticada y sin perjuicio para con la teor�a. Podemos decir que teor�as gauge no abelianas son seguras en reg�menes Ultravioletas, siempre y cuando el n�mero de fermiones cumpla la condici�n de la ecuaci�n (5) .

 

Por otro lado, a distancias grandes o a bajas energ�as la constante de acoplamiento est� fuertemente acoplada, lo cual implica que una teor�a de perturbaciones deja de ser un marco v�lido para el estudio del comportamiento en este r�gimen.

 

Aplicaci�n a la cromodin�mica cu�ntica SU(3)

La Cromodin�mica Cu�ntica (QCD) es la teor�a para describir las interacciones fuertes hoy en d�a. En adici�n a los campos gauge, cuyo bos�n es el glu�n, esta teor�a involucra campos de esp�n 1=2 conocidos como quarks. Es bien conocido que existen seis sabores (o tipos) de quarks en total: up, charm, top, con carga el�ctrica 2e/3 ; down, strange, bottom, con carga -e/3 . Cada sabor de quark puede tener tres cargas de �color� que corresponden con la representaci�n fundamental del grupo SU(3). Con esto en mente, la funci�n beta para QCD, con N = 3 y con nF = 6, se reduce a,

Como se ve en la expresi�n anterior, la libertad asint�tica es una propiedad perteneciente a QCD. Este fen�meno est� en concordancia con resultados experimentales por aceleradores donde se verific� que los partones1 y los quarks son las mismas entidades. La libertad asint�tica en QCD implica que los quarks dentro de los hadrones se comportan casi como part�culas libres. Decimos entonces que QCD es segura en reg�menes ultravioletas, totalmente lo contrario a QED.

A distancias grandes, o equivalentemente a energ�as bajas, la constante de acoplamiento se hace tan fuerte que hace imposible aislar quarks individuales. Este fen�meno se denomina confinamiento, seg�n el cual no pueden existir part�culas con color aisladas, y por lo tanto no pueden ser observados directamente. En efecto, a bajas energ�as los quarks y gluones se asocian para formar hadrones con carga de color siempre neutra. Es as� que las t�cnicas usuales perturbativas no son �tiles para desentra�ar la f�sica detr�s de este proceso. Decimos que QCD es no perturbativa a bajas energ�as. Es importante se�alar que el confinamiento de quarks no parece tener una relaci�n directa con que la teor�a est� fuertemente acoplada a bajas energ�as. Experimentalmente, se ha comprobado la existencia de un estado de materia llamado plasma de quark y gluones, consistente en un agregado de quarks y gluones deconfinados que ocurre a una escala en la que la teor�a es aun fuertemente acoplada (Hees, Greco y Rapp,2006), (Heinz, 2009).

Al d�a de hoy, el confinamiento es un fen�meno poco entendido, y su complejidad radica en que su comportamiento es un fen�meno global que QFT en su car�cter local no ha podido reconciliar. En realidad, el problema de confinamiento de quarks est� considerado dentro de uno de los problemas del milenio por el Clay Mathematics Institute (Jaffe y Witten, 2000).

 

Conclusiones

Se encontr� que la funci�n beta en QED es positiva. Lo que implica un car�cter no perturbativo en altas energ�as (r�gimen ultravioleta). A bajas energ�as (r�gimen infrarrojo), en cambio, t�cnicas usuales perturbativas son v�lidas para su descripci�n. En este �ltimo, QED alcanza un polo de Landau sin que �ste represente una amenaza para la validez de la teor�a de perturbaci�n en este r�gimen.

En teor�as gauge no Abelianas, se encontr� que el signo de la funci�n beta es negativo si el n�mero de fermiones de la teor�a es peque�o. En concreto, tiene que ser menor a 11/2 N. En el caso especial de SU(3), este n�mero no debe sobrepasar los 16 fermiones. Este resultado notable implica el fen�meno de libertad asint�tica en QCD, lo que resulta en que el comportamiento cu�ntico de los quarks y gluones en altas energ�as se acerca a un comportamiento cl�sico donde se pueden considerar como part�culas (asint�ticamente) libres.

En este r�gimen, la teor�a est� d�bilmente acoplada. QCD es perturbativa en r�gimenes ultravioletas.Por otro lado, QCD es no perturbativa a bajas energ�as, es decir, la constante de acoplamiento de QCD crece conforme la escala de energ�a decrece. Este hecho sugiere el confinamiento de quarks. Sin embargo, se discuti� que el confinamiento de quarks no est� relacionado a que la teor�a este fuertemente acoplado. Esto debido a la existencia del plasma de quarks y gluones, un estado intermedio.

Para finalizar, cabe concluir que todas las teor�as estudiadas en el presente trabajo deben ser consideradas como teor�as efectivas a bajas energ�as. En concordancia al enfoque discutido en el cap�tulo 3, la renormalizaci�n nos dice que los detalles de la f�sica de alta energ�a no afectan los efectos en el r�gimen de baja energ�a. En este sentido, el Modelo Est�ndar de Part�culas es en realidad una teor�a de campo efectiva que describe a la naturaleza (aproximadamente) a trav�s de teor�as solamente renormalizables. De existir, la �nica teor�a completa deber�a ser una �Teor�a del Todo� la cual unificar�a y explicar�a todas las interacciones de la naturaleza con estricta rigurosidad matem�tica.

En trabajos futuros se sugiere como continuaci�n de este trabajo, el estudio de las herramientas y t�cnicas para el c�lculo de funciones beta en �rdenes superiores de perturbaci�n, e.g. m�todos externos de campos, simetr�as efectivas de acci�n, m�todos computacionales o el estudio de alternativas no perturbativas.

 

Referencias

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