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An�lisis estructural de una armadura aplicando el m�todo de la rigidez considerando asentamiento y apoyo rotado

 

Structural analysis of a reinforcement applying the stiffness method considering settlement and rotated support

 

An�lise estrutural de uma armadura aplicando o m�todo da rigidez considerando recalques e apoios rotacionados

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: mrupay@uniscjsa.edu.pe

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

�������� *Recibido: 23 de abril de 2023 *Aceptado: 16 de mayo de 2023 * Publicado: 08 de junio de 2023

 

        I.            Maestrante Candidato a Doctor Marcos Josu� Rupay Vargas.

      II.            Estudiante de la Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Jun�n, Per�.

   III.            Estudiante de la Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Jun�n, Per�.

   IV.            Estudiante de la Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Jun�n, Per�.

Resumen

En el presente art�culo se detalla+ el procedimiento denominado m�todo directo de la rigidez con el objetivo de obtener las deformaciones y las fuerzas internas ya sea en tensi�n o compresi�n de las barras que conforman una armadura plana de dos dimensiones. La metodolog�a de esta investigaci�n es descriptiva y el enfoque cuantitativo; y consiste en obtener un sistema Q-D en el que definimos el n�mero de grados los grados de libertad a la que se asigna las cargas nodales, adem�s del sistema primario que toma en cuenta solicitaciones externas, y un sistema complementario en el que se da un valor unitario al desplazamiento, y finalmente realizar la comprobaci�n de los resultados obtenido a trav�s de software Ftool. Se concluye que el m�todo directo de la rigidez facilita el an�lisis estructural de armaduras hiperest�ticas con dos o m�s grados de libertad, y adem�s al realizar la verificaci�n de resultados con el software mencionado se determina que la variaci�n es m�nima, por lo la aplicaci�n de esta metodolog�a es confiable.

Palabras Claves: Armadura; M�todo de Rigidez; Sistema Q-D; Sistema Primario; Sistema Complementario.

 

Abstract

This article details the procedure called direct rigidity method with the objective of obtaining the deformations and internal forces, either in tension or compression, of the bars that make up a two-dimensional flat reinforcement. The methodology of this research is descriptive and the quantitative approach; and consists of obtaining a Q-D system in which we define the number of degrees of freedom to which the nodal loads are assigned, in addition to the primary system that takes external forces into account, and a complementary system in which a value is given unit to the displacement, and finally carry out the verification of the results obtained through the Ftool software. It is concluded that the direct method of stiffness facilitates the structural analysis of hyperstatic reinforcements with two or more degrees of freedom, and also when performing the verification of results with the mentioned software, it is determined that the variation is minimal, therefore the application of this methodology is reliable.

Keywords: Truss; Stiffness Method; Q-D System; Primary System; Complementary System.

 

 

Resumo

Este artigo detalha o procedimento denominado m�todo de rigidez direta com o objetivo de obter as deforma��es e esfor�os internos, seja em tra��o ou compress�o, das barras que comp�em uma armadura plana bidimensional. A metodologia desta pesquisa � descritiva e de abordagem quantitativa; e consiste em obter um sistema Q-D no qual definimos o n�mero de graus de liberdade aos quais as cargas nodais s�o atribu�das, al�m do sistema prim�rio que leva em considera��o as for�as externas, e um sistema complementar no qual � dado um valor unit�rio para o deslocamento, e por fim realizar a verifica��o dos resultados obtidos atrav�s do software Ftool. Conclui-se que o m�todo direto de rigidez facilita a an�lise estrutural de armaduras hiperest�ticas com dois ou mais graus de liberdade, e tamb�m ao realizar a verifica��o de resultados com o referido software, determina-se que a varia��o � m�nima, portanto a aplica��o de esta metodologia � confi�vel.

Palavras-chave: Armaduras; M�todo de Rigidez; sistema Q-D; Sistema Prim�rio; Sistema Complementar.

 

Introducci�n

La armadura, seg�n McCormac (2002) es una estructura b�sica, elaborada mediante elementos estructurales, dispuestos en forma de uno o m�s tri�ngulos tal que las cargas externas solo se aplican en los nudos, por lo que solo causan fuerzas axiales (tensi�n o compresi�n) sobre los elementos, los cuales est�n conectados por nudos articulados permitiendo la liberaci�n de momentos.

Para analizar estas armaduras existen diferentes m�todos, pero en el presente art�culo utilizaremos el m�todo directo de la rigidez, que desde nuestro punto de vista resulta ventajosa sobre los dem�s; ya que su aplicaci�n es m�s accesible sin importar si las estructuras sean isost�ticas o hiperest�ticas, considerando solicitaciones externas (asentamiento) y con apoyos (fijos o m�viles) rotados respecto a la horizontal. Los conceptos y procesos detallados del c�lculo se explicar�n a continuaci�n.

 

M�todo directo de la rigidez

El m�todo directo de la rigidez se basa en el cumplimiento de las siguientes caracter�sticas:

I.                    Compatibilidad: La deformaci�n es una funci�n continua y tiene un valor �nico en cada punto. En consecuencia, los movimientos tambi�n lo son, y en particular, los movimientos en los extremos de las piezas que ocurren en un mismo nudo son id�nticos para todas las piezas.

II.                 Equilibrio: tanto la estructura globalmente con cada parte de la misma, y en particular cada nudo y cada pieza e la misma est� en equilibrio est�tico, bajo la acci�n de las fuerzas exteriores de los esfuerzos internos.

III.              Linealidad y principio de superposici�n: La estructura se comporta linealmente tanto a nivel local (relaci�n tensi�n- deformaci�n seg�n la Ley de Hooke), como a nivel global (relaciones desplazamiento-deformaci�n y fuerzas �tensiones, seg�n hip�tesis de los peque�os movimientos). En virtud de esta linealidad, es v�lido el principio de superposici�n. Asimismo, establece la superposici�n de fuerzas o desplazamientos nulos m�s un caso de F o D unitarios (multiplicados por las inc�gnitas) para alcanzar resultados reales.

-          Se emplea en estructuras isost�ticas e hiperest�ticas.

 

Figura 1

Esquema de resoluci�n en el caso del M�todo de la Rigidez

Nota. El gr�fico muestra el proceso secuencial de resoluci�n mediante el M�todo de Rigidez. Tomado de m�todos energ�ticos y matricial con aplicaciones Mathcad, (Godi�o, Lopez y Rupay, 2017, p.257).

 

Armaduras

Hibbeler (2012) define a la armadura como una �estructura compuesta de elementos delgados unidos en sus extremos� (p.79). A su vez, Mccormac (2002), describe a la armadura como una estructura que est� compuesta de elementos que forman figuras geom�tricas como tri�ngulos o rect�ngulos y que en los nodos se les puede aplicar cargas. Asimismo, nos dice que las barras de la armadura van a estar dispuestas a fuerzas de tensi�n o compresi�n.

Para poder desarrollar el an�lisis de las armaduras, se debe tomar en cuenta los siguientes puntos:

�         Las cargas externas as� como las reacciones en las armaduras s�lo se aplican en los nudos.

�         Los elementos de la armadura est�n vinculados por medio de pasadores lisos.

�         Las fuerzas que act�an en los miembros de las armaduras son de tensi�n o de compresi�n.

 

Materiales y m�todos

Determinar el an�lisis estructural de la armadura mostrada en la figura N� 2 aplicando el m�todo directo de la rigidez. Se sabe que las barras tienen una secci�n transversal de �y M�dulo de Young . Asimismo, se observa un desplazamiento vertical debido a un asentamiento en el nodo 1 de .

Figura 2

Ejercicio de aplicaci�n

Nota. Armadura propuesta con asentamiento y apoyo rotado. Elaboraci�n propia.

 

Paso 1: Sistema Q-D

Se plantea el sistema Q-D basado en los grados de libertad que se encuentran en la estructura. �Los grados de libertad de una estructura son el n�mero m�nimo de par�metro, desplazamientos (traslaciones y rotaciones) que describen de manera �nica la deformada estructura� (Godi�o, Lopez y Rupay, 2017, p.257).

En otras palabras, los GDL describen el comportamiento de una estructura en funci�n de los desplazamientos y fuerzas que est�n relacionados con un n�mero de grados de libertad.

 

 

Figura 3

Sistema Q-D

Nota. Sistema Q-D propuesto para la armadura. Elaboraci�n propia.

 

Por tanto, tendremos el vector de carga �Q�:

 

 

 

Paso 2: Sistema primario

Seg�n Ottazi (2014), este estado consiste en �analizar la estructura con todas las solicitaciones externas adicionando un grupo de restricciones denominadas {R} medidas en el sistema de coordenadas Q-D tales que los desplazamientos en los grados de libertad elegidos para el an�lisis sean nulos {{D} = {0}} � (p. 172).

Es decir, se eval�an solicitaciones como cargas nodales, asentamientos en apoyos, efectos de temperatura y error de fabricaci�n. Los grados de libertad se consideran restricciones y por lo tanto, surge un vector de reacciones que se sit�an en las coordenadas del sistema Q-D.

 

Figura 4

Sistema primario propuesto

Nota. Sistema primario propuesto para la armadura. Elaboraci�n propia.

 

Para hallar las fuerzas en las barras que est�n asociadas a las deformadas 1-3 y 1-2, se emplear� la siguiente f�rmula:

 

 

Donde:

�         F: Fuerza en la barra

�         E: M�dulo de elasticidad de la barra

�         A: �rea de la barra

�         L: Longitud de la barra

�     : Deformaci�n de la barra

Entonces, se tiene:

 

 

En la siguiente se muestra, los resultados de las redundantes del sistema primario:

 

 

 

 

�Paso 3: Sistema complementario

En esta parte, se le asigna un valor unitario a cada grado de libertad propuesto, y se hallan los coeficientes de rigidez.

Para hallar las fuerzas en las barras que est�n asociadas a las deformadas, se emplear� la siguiente f�rmula:

 

 

Donde:

�         F: Fuerza en la barra

�         E: M�dulo de elasticidad de la barra

�         A: �rea de la barra

�         L: Longitud de la barra

�     : Deformaci�n de la barra

Entonces, se lleva a cabo la soluci�n, de las siguientes redundantes para obtener una matriz �k� de 4x4:

Para :

 

 

Figura 5

Desplazamiento unitario respecto a la redundante 1

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformada y fuerza en las barra:

 

 

Seguidamente, tenemos los coeficientes de rigidez de la primera redundante:

Para

Figura 6

Desplazamiento unitario respecto a la redundante 2

Nota. Elaboraci�n propia.

 

 

A continuaci�n, se detalla las deformadas de las barras relacionadas al desplazamiento unitario.

 

Figura 7

Deformada de la barra 1-3

Nota. Elaboraci�n propia.

 

 

Figura 8

Deformada de la barra 3-4

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Se descompone la fuerza de 96kN, para hallar el coeficiente de rigidez k42.

Figura 9

Descomposici�n de fuerzas

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformadas y fuerzas en las barras:

 

 

Los coeficientes de rigidez de la segunda redundante:

 

 

Para :

Figura 10

Desplazamiento unitario respecto a la redundante 3

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformadas de las barras relacionadas al desplazamiento unitario.

 

Figura 11

Deformada de la barra 1-3

Nota. Elaboraci�n propia.

 

 

Figura 1

Deformada de la barra 1-3

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Se descompone la fuerza de 128kN, para hallar el coeficiente de rigidez k43.

Figura 13

Descomposici�n de fuerzas

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformadas y fuerzas en las barras:

 

 

Los coeficientes de rigidez de la tercera redundante:

 

Para :

 

Figura 14

Desplazamiento unitario respecto a la redundante 4

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformadas de las barras relacionadas al desplazamiento unitario.

 

Figura 15

Deformada de la barra 1-4

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Figura 16

Deformada de la barra 3-4

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Se descompone la fuerza de 160sen(8.1301) kN y la fuerza de 200/3() kN, para hallar el coeficiente de rigidez k44

 

Figura 17

Descomposici�n de la fuerza 160sen(8.1301) kN

Nota. Elaboraci�n propia.

Figura 18

Descomposici�n de la fuerza 200/3(√2) kN.

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Deformadas y fuerzas en las barras:

 

 

Los coeficientes de rigidez de la cuarta redundante:

 

 

Seguidamente, se ensambla la matriz de rigidez, con los valores obtenidos a partir del sistema complementario. Se debe verificar que se cumplan las caracter�sticas de la matriz:

a)      El tama�o de la matriz va a estar en funci�n al sistema Q-D.

b)      La matriz de rigidez es una matriz cuadrada.

c)      La diagonal principal siempre es positivo.

d)      La matriz de rigidez es sim�trica.

 

 

Paso 4: Vector de deformaci�n

Despu�s se calcula las deformaciones en los nodos mediante la siguiente f�rmula:

 

 

Se despeja el vector , y se obtiene:

 

 

 

 

Paso 5: Fuerzas internas

Para hallar las fuerzas que se aplican a las barras, a tensi�n o a compresi�n se emplea lo siguiente:

 

 

Paso 6: Comprobaci�n con el software FTOOL

Se grafic� la armadura propuesta en el ejercicio, en el software FTOOL y se obtuvo el siguiente diagrama.

 

Figura 19

Diagrama de fuerzas internas

Nota. Elaboraci�n propia.

 

 

Y a su vez, las deformaciones:

 

Figura 20

Deformaci�n en el nudo 1

Nota. Elaboraci�n propia.

Figura 21

Deformaci�n en el nudo 2

Nota. Elaboraci�n propia.

Figura 22

Deformaci�n en el nudo 3

Nota. Elaboraci�n propia.

 

Figura 23

Deformaci�n en el nudo 4

Nota. Elaboraci�n propia.

 

En este caso, al ser un apoyo rotado, se muestran las deformaciones descompuestas; por lo tanto, aplicamos el teorema de Pit�goras para hallar el m�dulo de la deformaci�n.

 

Conclusi�n

�         En conclusi�n, seguir los pasos (1, 2, 3, 4 y 5) detalladamente y aplicar los criterios necesarios, nos da una respuesta certera y exacta en su mayor�a al c�lculo de deformaciones y fuerzas internas.

�         Se concluye que el m�todo de rigidez, nos ayuda a obtener en este caso las deformaciones y fuerzas internas en la estructura analizada.

�         Se concluye que los resultados de las fuerzas internas calculados mediante el m�todo de rigidez, son semejantes en un gran porcentaje a los resultados obtenidos en el programa FTOOL.

�         Se concluye que los resultados de las deformaciones calculados mediante el m�todo de rigidez, son iguales a los resultados obtenidos en el programa FTOOL.

 

Agradecimiento

�         Expresamos un sincero e imperecedero agradecimiento al Magister Ingeniero Marcos Josue Rupay Vargas por el apoyo y las constantes asesor�as que nos brind� como docente y profesional, motiv�ndonos a la investigaci�n.

�         Nuestro sincero agradecimiento a los autores correspondientes de la bibliograf�a empleada.

 

 

Referencias

1.      Godi�o Poma, F., L�pez Yarango, J. S., & Rupay Vargas, M. J. (2017). An�lisis Estructural I. M�todos Energ�tico y Matricial con Aplicaciones Mathcad. Huancayo: Impresos S.R.L.

2.      Hibbeler, R. C. (2012). An�lisis estructural. PEARSON.

3.      McCormac, J., & Elling, R. (1994). An�lisis de Estructuras: M�todo cl�sico y matricial. Ediciones Alfaomega.

4.      Ottazi Pasino, G. (2014). Apuntes del curso An�lisis Estructural I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

� 2023 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).