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Modelo neurodifuso de hidrogenerador Francis y de su controlador PI+D obtenido partiendo de la identificaci�n del modelo LTI y de la ley generada para su controlador PID

 

Neurofuzzy model of the Francis hydrogenerator and its PI+D controller obtained from the identification of the LTI model and the law generated for its PID controller

 

Modelo neurofuzzy do hidrogerador Francis e seu controlador PI+D obtido a partir da identifica��o do modelo LTI e da lei gerada para seu controlador PID

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: jesus.rodriguez@espoch.edu.ec

 

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas ���

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 23 de abril de 2022 *Aceptado: 12 de mayo de 2022 * Publicado: 17 de junio de 2022

 

1. Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.
2. Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.
3. Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

Resumen

El presente documento responde a las interrogantes de c�mo obtener un modelo diferencial neu-rodifuso de un generador hidroel�ctrico de la Central hidroel�ctrica Agoy�n para luego sintonizar controladores PID tanto lineales e invariante en el tiempo como neurodifuso y evaluar la bondad de ajuste para cuando se especifica un polo din�mico para el desempe�o. La obtenci�n de los modelos exigi� una muestra de variaci�n en peque�a se�al de potencia debido a una variaci�n de control. Aplicando la funci�n de costo de la ra�z del error cuadr�tico medio y la ra�z del error cuadr�tico medio relativo porcentual, se ajustaron los par�metros del sistema empleando el m�todo del gra-diente decreciente. Finalmente, con ayuda de los modelos lineales, se procedi� a inicializar los sin-gletones de los modelos neurodifusos empleando el gradiente decreciente y la funci�n de costo mencionada, en dos etapas, la primera etapa de ajuste de singletones se efectu� sin din�mica y la siguiente con la din�mica del sistema simulado. Los resultados demostraron que el desarrollo del modelo LTI de la unidad hidrogeneradroa Agoy�n permiti� el desarrollo del modelo neurodifuso de la misma, como punto de partida para ajustes que incorporen comportamientos de tipo no lineal.

Palabras Clave: modelo diferencial; l�gica borrosa; control PID, hidrogenerador.

 

Abstract

This document answers the questions of how to obtain a neuro-fuzzy differential model of a hydroelectric generator of the Agoy�n hydroelectric power plant to then tune both linear and time-invariant and neuro-fuzzy PID controllers and evaluate the goodness of fit for when a variable is specified. dynamic pole for performance. Obtaining the models required a sample of variation in a small power signal due to a control variation. Applying the cost function of the root mean square error and the percentage relative root mean square error, the system parameters were adjusted using the method of decreasing gradient. Finally, with the help of the linear models, the singletons of the neurofuzzy models were initialized using the decreasing gradient and the mentioned cost function, in two stages, the first singleton adjustment stage was carried out without dynamics and the following with the dynamics of the simulated system. The results showed that the development of the LTI model of the Agoy�n hydroelectric unit allowed the development of its neurofuzzy model, as a starting point for adjustments that incorporate nonlinear behaviors.

Keywords: differential model; fuzzy logic; PID control, hydrogenerator.

 

Resumo

Este documento responde �s quest�es de como obter um modelo diferencial neuro-fuzzy de um gerador hidrel�trico da usina hidrel�trica de Agoy�n para ent�o ajustar controladores PID lineares e invariantes no tempo e neuro-fuzzy e avaliar a qualidade do ajuste para quando uma vari�vel � especificado p�lo din�mico para desempenho. A obten��o dos modelos exigiu uma amostra de varia��o em um sinal de pequena pot�ncia devido a uma varia��o de controle. Aplicando a fun��o de custo da raiz quadrada m�dia do erro e a porcentagem relativa da raiz quadrada m�dia do erro, os par�metros do sistema foram ajustados pelo m�todo do gradiente decrescente. Por fim, com o aux�lio dos modelos lineares, os singletons dos modelos neurofuzzy foram inicializados usando o gradiente decrescente e a fun��o de custo mencionada, em duas etapas, a primeira etapa de ajuste singleton foi realizada sem din�mica e a seguinte com a din�mica do sistema simulado. Os resultados mostraram que o desenvolvimento do modelo LTI da unidade hidrel�trica de Agoy�n permitiu o desenvolvimento de seu modelo neurofuzzy, como ponto de partida para ajustes que incorporam comportamentos n�o lineares.

Palavras-chave: modelo diferencial; l�gica difusa; Controle PID, hidrogerador.

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Introducci�n

La investigaci�n realizada es importante porque plantea el procedimiento que debe seguirse para generar un modelo neurodifuso de una unidad hidrogeneradora. Aunque el estudio ha sido realizado para la central hidroel�ctrica Agoy�n, en el Ecuador, el procedimiento aplica para cualquier central hidroel�ctrica del tipo Francis, pudiendo extenderse a centrales hidroel�ctricas del tipo Kaplan. Adicionalmente, los estudios de sintonizaci�n de controladores para centrales hidroel�ctricas del tipo Francis, suelen presentarse por tablas, por el contrario, en esta investigaci�n se plantea como sintonizar el controlador PID con bases en la identificaci�n del sistema, necesitando tan s�lo un registro de variaci�n de control y de la potencia el�ctrica, y tomando en consideraci�n, para la asignaci�n de polo, del tiempo m�ximo de apertura programado para el servomotor. Finalmente, este trabajo constituye el punto de partida de un modelo neurodifuso funcional de todos los subsistemas de la unidad hidrogeneradora, operando en lazo cerrado, que posteriormente puede ser entrenado para incorporar ciertas no linealidades atribuidas principalmente a la turbina y al controlador.

Resulta claro que el prop�sito de esta investigaci�n es platear un modelo neurodifuso de una unidad hidrogeneradora y su controlador, partiendo de un registro causa efecto que permita una identificaci�n en tiempo continuo del tipo LTI para luego obtener un controlador PID cl�sico capaz de cumplir con una especificaci�n de desempe�o dada por un polo de un sistema de segundo orden, que permitan el entrenamiento del modelo neurodifuso planteado.

En el a�o de 1962 Hovey [1]( pp. 581-586) presenta la metodolog�a empleada por Manitoba Hydro para establecer el ajuste �ptimo de los gobernadores de las centrales hidrogeneradoras ubicadas en el r�o Winnipeg. El criterio en el que se fundamenta la entonaci�n consiste en obtener una respuesta cr�ticamente amortiguada, para compensar las variaciones de frecuencia, para cuando la unidad hidrogeneradora se encuentra generando aislada y es perturbada por una peque�a variaci�n de carga.

Para el a�o de 1966 Schleif [2] ( pp. 750-758) publica las ventajas de la entonaci�n, aplicando los criterios de Hovey, para suprimir las competencias de regulaci�n entre los diferentes gobernadores de las unidades hidrogeneradoras de una misma central hidroel�ctrica, aunque m�s tarde, en 1967 Undrill y Woodward [3]( pp. 443-453) discrepen con Hovey sobre la metodolog�a propuesta por este �ltimo, para determinar el estatismo transitorio sin objetar el criterio de ajuste �ptimo propuesto.

Es en el a�o de 1970 y ratificado en el 2013, cuando Chaudhry [4](pp. 131-136) investigando las fronteras de estabilidad para una central hidroel�ctrica amplia el trabajo realizado por Hovey incorporando tanto el estatismo transitorio como el permanente. El a�o de 1975 marca un nuevo aporte en el estudio de estabilidad de las unidades hidrogeneradoras. A diferencia de Hovey y Chaudhry, que establecieron la frontera de estabilidad de una unidad hidrogeneradora aplicando los criterios de Routh-Hurwitz, Thorne y Hill [5]( pp. 1401-1409) presentaron un an�lisis en el espacio de estado del modelo de una unidad hidrogeneradora, siendo la graficaci�n de los eigen-valores o valores propios el criterio empleado para establecer la condici�n de estabilidad de una m�quina hidrogeneradora. Este estudio de Thorne y Hill constituir�a el preludio de lo que ser�a la referencia obligada, en primera instancia, del trabajo que compendia los esfuerzos de las investigaciones para su aplicaci�n normalizada, presentada por Hagihara, Yokota, Goda e Isobe [6]( pp. 2294-2298) en el a�o de 1979, enfocando el estudio de estabilidad absoluta aplicando tanto el criterio de Routh-Hurwitz como el criterio del lugar de ra�ces de Evans y la optimizaci�n de la respuesta transitoria.

Despu�s del hito presentado por Hagihara y compa��a, se introdujeron mejoras tales como la que se observa en la investigaci�n presentada en 1984 por Murty y Hariharan [7]( pp. 360-367) en la cual se considera la impedancia de la tuber�a forzada de la turbina, para los casos de grandes distancias discurrida por el agua en la cual la onda viajera o golpe de ariete no puede ser despreciada, o la investigaci�n presentada por Sanathanan [8](pp. 14-17) en 1988, en la cual considera la din�mica del elemento final de regulaci�n a los estudios antes presentados, tal que la determinaci�n de los valores �ptimos para un regulador PID se vuelven cada vez m�s exigentes.

Para el a�o de 1990, Wozniak [9]( pp. 417-421)� presenta una metodolog�a diferente, respecto a la l�nea investigativa-metodol�gica que exhibieron sus predecesores, para determinar los ajustes �ptimos del regulador PID de un gobernador de velocidad para una unidad hidrogeneradora.

Uno de los aportes m�s resaltantes presentados en el a�o 1992 y ratificado en el 2013, lo efectu� el Grupo de Trabajo de la IEEE [10]( pp. 167-178), entre los prop�sitos de la investigaci�n estaba establecer los modelos din�micos necesarios y suficientes para estudiar ciertas condiciones de fallas por diversas causas, ya sean del sistema el�ctrico� como de la unidad hidrogeneradora. El estudio presentado revela que cuando la tuber�a forzada es relativamente corta, el modelo de primer orden, para modelar la turbina, es representativo de la din�mica del comportamiento y es suficiente para efectuar consideraciones de ajustes en la regulaci�n, no obstante se expresa que cuando la tuber�a forzada es relativamente larga o la turbina presenta, en el proceso de hidrogeneraci�n, oscilaciones de potencia, modelos de segundo u orden superior son necesarios, mayormente obtenidos empleando la expansi�n de Pad� en la expresi�n de la tangente hiperb�lica del argumento en el domino de la frecuencia por la constante din�mica el�stica de la tuber�a forzada.

Para el a�o de 1993 y m�s recientemente 2007, Vournas y compa��a [11]( pp. 228-233) �y Choo y compa��a [12], [13], respectivamente, incorporan las herramientas computacionales para ratificar y mejorar algunos aspectos de los estudios antes mencionados.

Con la investigaci�n realizada se demuestra que la redundancia de par�metros del controlador neurodifuso, configurado de la forma PI+D, es posible mejorar el desempe�o de un controlador PID LTI cl�sico, por lo que se puede inferir que cualquier ajuste en los modelos neurodifusos del hidrogenerador, entrenado con pruebas experimentales, podr�n aproximar de mejor manera la realidad del comportamiento de la unidad hidrogeneradora.

 

M�todo para la obtenci�n de un modelo neurodifuso a partir de la identificaci�n de modelos LTI y desarrollo de controlador PID para una unidad hidrogeneradora del tipo Francis

En esta secci�n se aborda, de manera resumida, los aspectos te�ricos necesarios para identificar en tiempo continua un sistema, y en particular una unidad hidrogeneradora del tipo Francias. Con los par�metros producto de la identificaci�n se procede a la obtenci�n de un controlador del tipo PID.

Los modelos parametrizados, as� como el controlador PID, permiten obtener los modelos neurodifuso, que en principio reproducen fielmente el comportamiento LTI de la unidad hidrogeneradora, pero que con entrenamiento podr� reproducir comportamientos no lineales y otras particularidades restringidas al orden nominal reducido del modelo diferencial.

Se plantea la aplicaci�n del controlador PID y se genera una regla aplicable a turbinas Francis, la cual, para ser implementada empleando un controlador neurodifuso se estructura en una configuraci�n del tipo PI+D, esto para evitar golpes de control durante cambios de consigna.

1. 

2. 

 

Estad�stica empleada para la identificaci�n de modelos y desempe�o de sistemas

Para poder efectuar valoraci�n en muestras temporales, es necesario aplicar estad�stica propia para datos secuenciales como las que se usan en la identificaci�n de sistemas, es por ello que se toma como referencia los criterios de Lennart Ljung para efectuar estos estudios comparativos [14]( pp. 170-196).

El principal indicador es el factor de correlaci�n cuadr�tica multivariable, el cual se presenta con la �min�scula para indicar que se ha suprimido el nivel de tendencia medio de la se�al a predecir, a la se�al a predecir y a la predicci�n misma, como se observa en la ecuaci�n (1).

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(1)

La ecuaci�n (1) es equivalente al factor de correlaci�n cuadr�tica multivariable presentada por Pearson [15], y aunque es recomendada en el campo de la identificaci�n de sistema, es manifiesto el hecho de no poder acotar el valor entre 0 y 1. La ecuaci�n (2) es la que se emplea en an�lisis de regresi�n, no obstante, tanto la ecuaci�n (1) como la (2) provienen de una relaci�n rectangular, para el mejor de los casos, entre la predicci�n, los datos predichos y el error, tal y como se observa en la ecuaci�n (3).

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(2)

 

,

(3)

Otros criterios estad�sticos empleados son, el error cuadr�tico medio, y el error cuadr�tico relativo porcentual, ecuaciones (4) y (5) respectivamente.

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(4)

 

,

(5)

Ambos criterios resultan buenos indicadores, no obstante, la ra�z cuadrada de estos indicadores arroja m�s informaci�n, es decir la ra�z del error cuadr�tico medio, ecuaci�n (6), es equivalente a una desviaci�n est�ndar, y la ra�z del error cuadr�tico medio relativo porcentual, ecuaci�n (7), es un indicador de dispersi�n porcentual cuya penalizaci�n es mayor a la penalizaci�n del coeficiente de dispersi�n de Pearson equivalente a la desviaci�n est�ndar sobre su valor medio expresado de manera porcentual, ecuaci�n (8).

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(6)

 

,

(7)

 

,

(8)

Gradiente decreciente aplicado a la identificaci�n de sistemas din�micos LTI y a sistemas neurodifusos

Trabajos con machine learning [16](p. 8) presentan como tema introductorio a la optimizaci�n la t�cnica del descenso de la colina de Nealder-Mead [17](p. 2) [18](pp. 308-313), el cual no requiere c�lculos de derivadas, y depende de una figura geom�trica b�sica que puede ser formada en una dimensi�n N y que presenta N+1 lados. La t�cnica requiere la introducci�n de un primer punto coordenado, de la figura geom�trica, generando de manera autom�tica los puntos restantes y produciendo un desplazamiento autom�tico de la figura geom�trica hasta alcanzar el valor m�nimo.

A�n m�s intuitiva, y no dependiente de derivada alguna, es la t�cnica del ascenso de la colina, o t�cnica del descenso del valle, la cual se encuentra referenciada en el manual pr�ctico de algoritmos gen�ticos [18]( pp. 1-17) [19](pp. 1-25). Con esta t�cnica se pretende producir una variaci�n constante en una direcci�n hasta que no se consiga mejora en la funci�n de costo a optimizar, lo que conlleva a producir la variaci�n de la variable siguiente, repiti�ndose el ciclo hasta conseguir que se cumpla la condici�n de error deseada.

 

Figure 1. Proceso de b�squeda de un m�nimo en una superficie de costo.

Para cualquiera de los casos (m�todo del gradiente decreciente o Newton-Raphson) b�sicamente las t�cnicas num�ricas parten de un punto aleatorio ubicado en la superficie de costo y se desplazan hasta encontrar un m�nimo el cual se espera que sea el m�nimo global. La �Error! No se encuentra el origen de la referencia. ilustra este proceso.

Al igual que en el caso de los algoritmos de minimizaci�n de la funci�n de costo que no requieren procesos de derivaci�n, es pertinente establecer un algoritmo para efectuar la optimizaci�n en algoritmos que s� requieren de la derivada. Para este caso, el criterio para producir la variaci�n de los par�metros se encuentra acotada entre un paso m�ximo y un paso m�nimo, siendo necesario determinar la primera derivada de la funci�n de costo, para el caso del gradiente decreciente, y la segunda derivada para el caso Newton-Raphson.

Antes de plantear las expresiones dependientes de las derivadas de la funci�n de costo, que permiten determinar el paso de ajuste de los par�metros del modelo candidato, se generalizar� el proceso de obtenci�n de las derivadas de la funci�n de costo, para cuando se asume que el modelo candidato representa un sistema LTI.

En principio se supone una funci�n de transferencia de orden , tal y como se muestra en la ecuaci�n (9)

,

(9)

De la ecuaci�n (9) se observa que los par�metros del numerador de la funci�n de transferencia pueden ser generalizados e indexados como se muestra en la ecuaci�n (10) y los del denominador como se muestra en (11).

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(10)

 

,

(11)

Considerando la ecuaci�n (9) y la generalizaci�n de �se tiene que:

,

(12)

Considerando la ecuaci�n (9) y la generalizaci�n de� �se tiene que:

,

(13)

Si se define a la funci�n de costo J, como la integral del cuadrado del error, y se considera LTI al modelo candidato, se tiene que la funci�n de costo es como se muestra en la ecuaci�n (14).

,

(14)

En la ecuaci�n (14) se tienen las variables registradas de entrada y salida del sistema a identificar siendo estas� � y� � respectivamente.

La determinaci�n de la primera y segunda derivada, de la funci�n de costo J, respecto a los par�metros del numerador, se observan en las ecuaciones (15) y (16); y respecto a los par�metros del denominador se observan en las ecuaciones (17) y (18).

 

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(15)

 

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(16)

 

,

(17)

 

,

(18)

De manera general se puede afirmar que la determinaci�n de un par�metro de un sistema, para cuando se emplea el m�todo del gradiente decreciente es como se observa en la ecuaci�n (19), y para cuando se emplea el m�todo Newton-Raphson modificado es como se muestra en la ecuaci�n (20).

,

(19)

 

,

(20)

Si se plantea la condici�n de que el modelo candidato es LTI, se tiene que los par�metros se ajustan a partir de las ecuaciones (21) y (22), para el caso del gradiente decreciente, y como se muestra en las ecuaciones (23) y (24) para el caso Newton-Raphson modificado.

 

 

 

Una vez que se tienen las expresiones que efect�an la variaci�n en el sentido de minimizaci�n de la funci�n de costo, y dado inicio al proceso de b�squeda autom�tica, resta esperar que se cumpla una condici�n de parada, pudiendo ser esta un error cuadr�tico medio m�nimo, una cantidad espec�fica de ciclos o la imposibilidad de producir una variaci�n en los par�metros que conduzca a un mejor valor de la funci�n de costo.

Cuando se emplean funciones neurodifusas se plantean relaciones que involucran al universo del discurso de cada una de las variables, sus funciones de pertenencia, las reglas que se generan bajo el concepto de las T-normas [20](pp. 1-16) y los pesos asignados o singletones bajo el concepto Takagi-Sugeno-Kang de orden cero [1]( pp. 577-578), las ecuaciones (25) y (26) resumen el concepto de inferencia borrosa y el entrenamiento empleando el gradiente decreciente para cada uno de los singletones. En las ecuaciones planteadas �representa la posibilidad de una o m�s variables.

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(25)

 

,

(26)

Cuando se tiene un universo del discurso, o lo que es igual, una variable, las ecuaciones (25) y (26) se expresan como se muestra en las ecuaciones (27) y (28), siempre y cuando se cumpla con la regla del solapamiento [1](p. 24)

,

(27)

 

,

(28)

En las ecuaciones (27) y (28), �representa las funciones de pertenencia, que para el caso planteado son un total de . Sin embargo, en caso de ser dos variables, tales como �y �el caso depende de dos universos del discurso y de funciones de pertenencia �y �por lo que su tratamiento depende tambi�n de la forma del indexado de las funciones de pertenencia mencionadas. Si se asocia un indexador �para , y un indexador �para , entonces se tiene que el i-�simo se expresa como se muestra en la ecuaci�n (29) y la funci�n de predicci�n difusa es como se muestra en la ecuaci�n (30), siendo la funci�n de entrenamiento para los pesos o singletones la mostrada en la ecuaci�n (31).

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(29)

 

,

(30)

 

,

(31)

En caso de ser tres variables, tales como , �y �el caso depende de tres universos del discurso y de funciones de pertenencia , y �por lo que su tratamiento depende tambi�n de la forma del indexado de las funciones de pertenencia mencionadas. Si se asocia un indexador �para , un indexador �para �y un indexador �para , entonces se tiene que el i-�simo se expresa como se muestra en la ecuaci�n (32) y la funci�n de predicci�n difusa es como se muestra en la ecuaci�n (33), siendo la funci�n de entrenamiento para los pesos o singletones la mostrada en la ecuaci�n (34).

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(32)

 

,

(33)

 

Cuando se entrena un sistema neurodifuso, es necesario considerar cuales reglas se activan y cuales no, lo que origina el concepto de clusterizaci�n. La clusterizaci�n permite desarrollar un sistema de aprendizaje adaptativa para el algoritmo el cual debe determinar cuales son las reglas activadas para as� adaptar el algoritmo y entrenar s�lo los pesos o singletones de estas reglas. La �Error! No se encuentra el origen de la referencia. ilustra el caso, en (a) si no se activan ninguna regla, el algoritmo no debe entrenar ning�n peso, por el contrario, en (b) s�lo deber�n entrenarse los pesos o singletones de las reglas activadas, de lo contrario se producir� un error num�rico.

 

Figure 2. Universos del discurso para dos variables, con funciones de pertenencia�� y�� (a) ninguna regla activada (b) excitaci�n de algunas reglas durante el desempe�o del sistema.

	(a)	(b)

Parametrizaci�n de la unidad hidrogeneradora

Aplicando el m�todo del gradiente decreciente a una fusi�n de costo de la integral del cuadrado del error, y considerando valores iniciales cercanos en funci�n de est�ndares, se procede a realizar los ajustes de los par�metros, considerando el entrenamiento din�mico presentado en la �Error! No se encuentra el origen de la referencia..

 

Figure 2. Parametrizaci�n del servomotor, turbina y generador empleando un registro y el m�todo del gradiente decreciente.

 

La convergencia num�rica hacia un m�nimo global depender� del punto de partida o condiciones iniciales de los par�metros y de la selecci�n de �y . �es un factor de aprendizaje, siendo su valor mucho mayor a la unidad para cuando se emplea la aproximaci�n del diferencial de la funci�n de costo y, normalmente menor a la unidad para cuando se emplea una aproximaci�n num�rica de la derivada de la funci�n de costo. �es el diferencial del par�metro al momento de efectuar el estudio num�rico aproximado tanto para el diferencial o la derivada de la funci�n de costo.

Cuantos m�s par�metros en el modelo, la cantidad de m�nimos locales se incrementan, raz�n por la cual resulta un trabajo de paciencia seleccionar el punto de partida los cuales se seleccionan por ensayo y error.

Con bases en una muestra del comportamiento de la unidad hidrogeneradora de Agoy�n, espec�ficamente de potencia el�ctrica como consecuencia de una variaci�n del controlador a la entrada del servomotor, se tiene mediante procesos de optimizaci�n inteligente para la b�squeda de par�metros usando el descenso del gradiente de la funci�n de costo, los par�metros de las funciones de transferencia de los modelos del servomotor, turbina y generador (modelos LTI). La bondad del ajuste, con base en los par�metros encontrados, se valoran empleando los estad�sticos e indicadores tales como RECMRP o ra�z del error cuadr�tico medio relativo porcentual y el FCCM o factor de correlaci�n cuadr�tico multivariable, el primero expresa la desviaci�n porcentual media que se puede esperar en la reproducci�n del fen�meno estudiado, de manera global, y la segunda expresa la bondad de ajuste con bases a los criterios de Person como est�ndar en un proceso de identificaci�n de sistemas.

La �Error! No se encuentra el origen de la referencia. muestra los diagramas de bloques de los modelos diferenciales del comportamiento de la turbina, el generador y el servomotor de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 3. Diagramas de bloques de los modelos diferenciales de (a) la turbina, (b) el generador y (c) el servomotor.

 

(a)	(b)	(c)

Modelo neurodifuso del servomotor o paletas directrices

El modelo se obtiene en tres etapas, la �Error! No se encuentra el origen de la referencia. es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del servomotor (b), la �Error! No se encuentra el origen de la referencia. en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproducci�n de la din�mica del modelo identificado del servomotor presentado en (b), la �Error! No se encuentra el origen de la referencia. presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, cre�ndose as� las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema din�mico LTI del servomotor.

 

Figure 5. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada segunda de la posici�n del servomotor (b) Modelo diferencial neurodifuso del servomotor.

	(a)	(b)

 

 

Figure 6. (a) Funciones de pertenencia del servomotor, (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso del servomotor.

	(a)	(b)

 

 

 

 

Figure 7. (a) Inicializaci�n y (b) ajuste din�mico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del servomotor.

	(a)	(b)

 

Modelo neurodifuso de la turbina

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 1 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y (b) y del modelo diferencial neurodifuso de la turbina (c), la Figure 2 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproducci�n de la din�mica del modelo identificado de la turbina presentado en (b), la Figure 3 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, cre�ndose as� las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema din�mico LTI de la turbina.

 

Figure 1. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada primera del estado de la potencia mec�nica (b) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la potencia mec�nica y c) Modelo diferencial difuso de la turbina.

	(a)	(b)	(c)

 

 

Figure 2. (a) Funciones de pertenencia del modelo b) modelo LTI para estimar el universo del discurso de la turbina.

	(a)	(b)

 

Figure 3. a) Inicializaci�n y b) ajuste din�mico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso de la turbina.
	(a)	(b)

Modelo neurodifuso del generador

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 4 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del generador (b), la Figure 5 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproducci�n de la din�mica del modelo identificado del generador presentado en (b), la Figure 6 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, cre�ndose as� las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema din�mico LTI del generador.

 

Figure 4. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada primera de la potencia el�ctrica (b) Modelo diferencial neurodifuso del generador.

	(a)	(b)

 

Figure 5. (a) Funciones de pertenencia del modelo del generador (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso del generador.
	(a)	(b)

 

Figure 6. (a) Inicializaci�n y (b) ajuste din�mico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del generador.

	(a)	(b)

Especificaci�n de desempe�o y parametrizaci�n del controlador PID LTI

Cuando se parametriza el controlador PID LTI se considera dos posibles modos de operaci�n de la unidad, en red aislada y para cuando la unidad se encuentra sincronizada a una barra de energ�a infinita. En este caso se considera que la unidad se encuentra sincronizada a una barra de energ�a infinita y que la capacidad de compensaci�n del controlador debe ser lo suficientemente r�pida. Bajo la consideraci�n de peque�a se�al del sistema, se puede considerar lineal en su desempe�o, y son los par�metros del modelo de la unidad los que indican la factibilidad del cumplimento del desempe�o especificado. La observaci�n del desempe�o del sistema durante la compensaci�n de la potencia, o la velocidad, seg�n el caso, indicar� que se puede esperar de la unidad hidrogeneradora. En este caso se desea especificar un tiempo de subida, en segundos, con un sobrepaso porcentual menor o igual al diez por ciento, para el cumplimiento de una consigna de potencia en forma de paso escal�n.

El criterio para especificar el tiempo de subida ha sido fundamentado en la propiedad de escalaridad de un sistema diferencial lineal e invariante en el tiempo. Es decir, la limitante de la linealidad m�s fuerte es originada por el servomotor cuya velocidad de respuesta es programada, ya sea mec�nica o hidr�ulicamente, para no sobrepasar una velocidad de la unidad en tantos segundos, como se observa en la ecuaci�n (35). En la ecuaci�n (35) se observa la relaci�n del tiempo de subida del servomotor o paleta directriz equivalente a cuatro veces el tiempo de subida de un sistema din�mico de segundo orden, esta relaci�n se interpreta como la linealidad garantizada para cuando el servomotor o paleta directriz var�a por debajo de un veinticinco por ciento su posici�n, con lo cual se satisface la condici�n de linealidad por debajo del diez por ciento, de manera segura.

,

(35)

El criterio para especificar el sobrepaso, obedece m�s al momento previo de la sincronizaci�n de la unidad hidrogeneradora. Contado en detalle sucede que normalmente la unidad sobrepasada el noventa y cinco por ciento de la velocidad nominal da orden de excitaci�n de campo y prepara el sincronosc�pio para la sincronizaci�n de la unidad hidrogeneradora y posterior cierre de interruptor de potencia. El proceso de sincronizaci�n controla, normalmente, amplitud y frecuecia de tensi�n terminal de la unidad hidrogeneradora, dejando al azar la fase. Para que las fases puedan coincidir, es necesario cierto sobrepaso y cierta oscilaci�n, por lo tanto, considerando el principio de escalaridad, se especifica en diez por ciento, sin embargo, ante el �ltimo paso de consigna, el cual es un delta, el sobrepaso suele estar por debajo del uno por ciento. Es importante resaltar que este proceso de sincronizaci�n normalmente debe cumplirse en un lapso de un minuto, raz�n por la cual el sobrepaso y las oscilaciones son necesarias, por lo que cuanto m�s peque�o el tiempo de subida m�s alta es la frecuencia amortiguada de la oscilaci�n, como se observa en la ecuaci�n (37).

Con la especificaci�n del tiempo de subida y el sobrepaso experimentado en el cumplimiento de la consigna del tipo paso escal�n, se especifica el polo deseado para el desempe�o.

Con la especificaci�n del sobrepaso se determina la constante de amortiguamiento del sistema, como se observa en la ecuaci�n

,

(36)

Conocido el valor de la constante de amortiguamiento y el tiempo de subida deseado, se determina la frecuencia amortiguada del sistema, ecuaci�n (37)

,

(37)

Con ayuda de la constante de amortiguamiento y la frecuencia amortigada se determina el inverso de la constante de tiempo del sistema deseado

,

(38)

Finalmente se tiene el polo que rige el desempe�o deseado tomando en consideraci�n la reacci�n de un sistema de segundo orden subamortiguado ante una excitaci�n del tipo paso escal�n, como se muestra en la ecuaci�n (39).

,

(39)

Siendo la frecuencia natural expresada por la ecuaci�n (40)

,

(40)

La fase del polo que rige el desempe�o, se especifica en el segundo cuadrante y se expresa como se muestra en la ecuaci�n (41)

,

(41)

El efecto del polo asignado en cada uno de los modelos que integran el modelo de la unidad hidrogeneradora debe ser evaluado.

La evaluaci�n del efecto del polo en el servomotor o paletas directrices, fue obtenido con las ecuaciones de la (42) a la (46).

,

(42)

 

,

(43)

 

,

(44)

 

,

(45)

 

 

La evaluaci�n del efecto del polo en la turbina, fue obtenido con las ecuaciones de la (47) a la (49).

 

,

(47)

 

,

(48)

 

,

(49)

 

La evaluaci�n del efecto del polo en el generador, fue obtenido con las ecuaciones de la (50) a la (52).

 

,

(50)

 

,

(51)

 

,

(52)

Con las evaluaciones del efecto del polo en los diferentes modelos que integran el modelo de la unidad hidrogeneradora, se verifica con ayuda de las ecuaciones (53) y (54) la factibilidad de la parametrizaci�n del controlador PID LTI

,

(53)

 

,

(54)

 

Si no se satisface la desigualdad presentada en (54), es necesario especificar otras condiciones de desempe�o tal que el controlador PID LTI se realizable.

Satisfecha la condici�n (54) se procede a parametrizar el controlador PID con ayuda de las ecuaciones (55) hasta la (59).

,

(55)

 

,

(56)

 

,

(57)

 

,

(58)

 

,

(59)

Este procedimiento es v�lido s�lo para turbinas de hidrogeneradoras cuyo efecto de fase no m�nima, presente en la turbina, hace la diferencia al momento de efectuar control y es la que se ha desarrollado con el prop�sito de satisfacer las exigencias de este tipo de unidades generadoras de electricidad.

 

Parametrizaci�n del controlador PID neurodifuso

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 7 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del contralador (b), la Figure 8 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproducci�n de la din�mica del modelo identificado de la unidad hidrogeneradora presentado en (b), la Figure 9 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, cre�ndose as� las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema din�mico LTI de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 7. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la salida del control PID (b) Modelo diferencial neurodifuso del controlador y de la unidad hidrogeneradora.

 

	(a)	(b)

 

 

Figure 8. (a) Funciones de pertenencia del modelo del generador (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso de la unidad hidrogeneradora.

	(a)	(b)

 

Figure 9. (a) Inicializaci�n y (b) ajuste din�mico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del generador.

	(a)	(b)

Results

This section may be divided by subheadings. It should provide a concise and precise description of the experimental results, their interpretation, as well as the experimental conclusions that can be drawn.

3. 

Desarrollo de modelo diferencial LTI para el servomotor, la turbina y el generador

Partiendo de un registro de 60 segundos de la potencia el�ctrica para cuando la posici�n del servomotor var�a en un 10%, se procede a realizar la identificaci�n de par�metros de la unidad hidrogeneradora. Los valores iniciales y finales del entrenamiento se presentan en la �Error! No se encuentra el origen de la referencia., siendo la ra�z del error cuadr�tico medio relativo porcentual de la identificaci�n de 0.0518%, con un factor de correlaci�n cu�dratico multivariable de 0.9999.

 

Table 1. Par�metros de identificados del modelo de la unidad hidrogeneradora.

La Figure 10 muestra la evoluci�n del aprendizaje de los par�metros de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 10. Evoluci�n de los par�metros de una unidad de hidrogeneradora de la Central Agoy�n durante el proceso de identificaci�n.

En la Figure 11 (a) se muestra la evoluci�n de la funci�n de costo de la ra�z del error cuadr�tico medio relativo porcentual, y en (b) en trazo verde se muestra la orden del controlador PID, siendo el trazo rojo la se�al de potencia de la unidad hidrogeneradora y el trazo azul, la predicci�n del modelo ajustado.

 

Figure 11. (a) Evoluci�n de la funci�n de costo del ECMRP de la identificaci�n de la unidad hidrogeneradora Agoy�n, (b) Registro de la se�al de control, la potencia el�ctrica y su predicci�n.

 

	(a)	(b)

 

Resultado de la parametrizaci�n del modelo neurodifuso de la turbina

Con el modelo LTI de la turbina se procede a determinar el universo del discurso de las variables de entrada de los sistemas neurodifusos, como se muestra en la Figure 12.

 

Figure 12. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la posici�n WG, (c) de la derivada del estado Dx1.
	(a)	(b)	(c)

Una vez inicializado los sistemas neurodifusos de la turbina, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 13 (a) se muestra la evoluci�n de la funci�n de costo de la ra�z cuadrada del error cuadr�tico medio relativo porcentual, siendo (b) y (c) la evoluci�n de los singletones de ambos sistemas neurodifuso.

 

Figure 13. (a) Evoluci�n de la funci�n de costo RECMRP en el proceso de ajuste de los singletones para predecir el comportamiento de la potencia mec�nica de la turbina. Evoluci�n del ajuste de pesos de los Singletones del modelo diferencial� neurodifuso de la turbina, (b) fusificaci�n de entrada, (c) fusificaci�n de salida

	(a)	(b)	(c)

En la Table 1 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso de entrada de la turbina, y en la Table 2 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso de salida de la turbina.

 

 

La Figure 14 muestra como el modelo neurodifuso de la turbina ajusta al modelo LTI. Siendo los datos estad�sticos del entrenamiento presentados en la Table 3.

 

Figure 14. Comparaci�n entre un modelo LTI y un modelo neurodifuso de la predicci�n de la potencia mec�nica de la turbina.

 

Table 3. Indicadores Estad�sticos de Ajustes del Modelo Neurodifuso de la turbina.
Ra�z del Error Cuadr�tico Medio Relativo Porcentual Inicial	263.564445548622
Ra�z del Error Cuadr�tico Medio Relativo Porcentual Final	1.13562872273234e-05
Factor de Correlaci�n Cuadr�tico Multivariable	1

 

 

Resultado de la parametrizaci�n del modelo neurodifuso del generador

Con el modelo LTI del generador se procede a determinar el universo del discurso de las variables de entrada del sistema neurodifuso, como se muestra en la Figure 15.

 

Figure 15. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la potencia el�ctrica del generador.

Una vez inicializado el sistema neurodifuso del generador, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 16 (a) se muestra la evoluci�n de la funci�n de costo de la ra�z cuadrada del error cuadr�tico medio relativo porcentual, siendo (b) la evoluci�n de los singletones del sistema neurodifuso.

 

En la Table 4 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso del generador.

 

 

La Figure 17 muestra como el modelo neurodifuso del generador ajusta al modelo LTI. Siendo los datos estad�sticos del entrenamiento presentados en la Table 5.

Figure 17. Comparaci�n entre un modelo LTI y un modelo neurodifuso durante la predicci�n de la potencia el�ctrica del generador.

 

 

 

 

Resultado de la parametrizaci�n del modelo neurodifuso del servomotor

Con el modelo LTI del servomotor se procede a determinar el universo del discurso de las variables del sistema neurodifusos, como se muestra en la Figure 18.

 

Figure 18. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la posici�n WG, (c) de la derivada del estado Dx1.

Una vez inicializado el sistema neurodifuso del servomotor, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 19 (a) se muestra la evoluci�n de la funci�n de costo de la ra�z cuadrada del error cuadr�tico medio relativo porcentual, siendo (b) la evoluci�n de los singletones del sistema neurodifuso.

 

Figure 19. (a) Evoluci�n de la funci�n de costo RECMRP en el proceso de ajuste de los singletones para predecir el comportamiento de la posici�n del servomotor o paletas directrices. (b) Evoluci�n del ajuste de pesos de los Singletones del modelo diferencial� neurodifuso del servomotor o paletas directrices.

 

En las Table 6 a la Table 8 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso del servomotor o paletas directrices.