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Evaluaci�n Comparativa entre los M�todos de Flujos de Potencia

Gauss Seidel y Newton Raphson

 

Comparative Evaluation between Power Flow Methods

Gauss Seidel and Newton Raphson

 

Avalia��o Comparativa entre M�todos de Fluxo de Pot�ncia

Gauss Seidel e Newton Raphson

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: franklin.reina.perez@utelvt.edu.ec

 

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas ���

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 23 de marzo de 2022 *Aceptado: 12 de mayo de 2022 * Publicado: 10 de junio de 2022

 

1. Mag�ster en Gesti�n Ambiental, Ingeniero El�ctrico, Universidad T�cnica Luis Vargas Torres (UTELVT), Esmeradas, Ecuador.

Resumen

El presente art�culo presenta una estructura f�cil de comprender de dos herramientas matem�ticas elementales como son los m�todos Gauss Seidel y Newton Raphson, utilizadas en ciencias el�ctricas para la evaluaci�n de estado estable de los sistemas el�ctricos de potencia. Se revisaron y analizaron los fundamentos t�cnicos y acad�micos de ambos m�todos y se procedi� a efectuar una simulaci�n en dos sistemas modelos de 4 y 9 barras, en cuyos resultados, se puede apreciar que ambos m�todos son igual de confiables; no obstante, el m�todo de Newton Rapshon presenta una menor cantidad de iteraciones para converger a la respuesta, esto indica su mayor eficiencia debido a sus caracter�sticas cuadradas de convergencia.

Palabras Clave: Flujos de Potencia; iteraci�n; linealizaci�n; convergencia.

 

Abstract

This article presents an easy-to-understand structure of two elementary mathematical tools such as the Gauss Seidel and Newton Raphson methods, used in electrical sciences for the evaluation of the steady state of electrical power systems. The technical and academic foundations of both methods were reviewed and analyzed and a simulation was carried out in two model systems of 4 and 9 bars, in whose results, it can be seen that both methods are equally reliable; however, the Newton Rapshon method presents a smaller number of iterations to converge to the answer, this indicates its greater efficiency due to its square convergence characteristics.

Keywords: Power flows; iteration; linearization; convergence.

 

Resumo

Este artigo apresenta uma estrutura de f�cil compreens�o de duas ferramentas matem�ticas elementares como os m�todos de Gauss Seidel e Newton Raphson, utilizados em ci�ncias el�tricas para a avalia��o do estado estacion�rio de sistemas el�tricos de pot�ncia. Foram revistos e analisados ​​os fundamentos t�cnicos e acad�micos de ambos os m�todos e foi realizada uma simula��o em dois sistemas modelo de 4 e 9 barras, em cujos resultados se verifica que ambos os m�todos s�o igualmente fi�veis; no entanto, o m�todo Newton Rapshon apresenta menos itera��es para convergir para a resposta, o que indica sua maior efici�ncia devido �s suas caracter�sticas de converg�ncia quadrada.

Palavras-chave: Fluxos de Energia; itera��o; lineariza��o; converg�ncia.����������

Introducci�n

Los sistemas el�ctricos de potencia (SEP), se encuentran en constante expansi�n y modificaci�n en su topolog�a y arquitectura de red, debido a las permanentes mejoras y modificaciones a las que se deben someter con la finalidad de garantizar confiabilidad operacional. Por ello es necesario, conforme lo establece la IEEE-399-1997 en las pr�cticas recomendadas para an�lisis de sistemas de energ�a industriales y comerciales, efectuar estudios del comportamiento del sistema en estado estable o tambi�n denominado estacionario, conocidos como flujos de potencia o flujos de carga.

El flujo de potencia o flujo de carga, es la denominaci�n que se da a la soluci�n de estado estacionario de un SEP, bajo ciertas condiciones preestablecidas de generaci�n, carga y topolog�a de la red[1]. El objetivo es encontrar los valores de m�dulo y �ngulo de voltajes nodales en el sistema, as� como el flujo de potencia y las p�rdidas de potencia en la red [2]. El planteamiento anal�tico del flujo de potencia requiere de cuatro variables en cada barra o nodo del sistema. Los sistemas de ecuaciones que resultan del modelamiento matem�tico de un SEP, resultan ser no lineales y esa no linealidad, se debe a dos factores especialmente; en primer lugar, la relaci�n de la potencia con el cuadrado de los voltajes y la segunda raz�n es, la presencia de funciones trigonom�tricas en los �ngulos de voltajes [3]. Por lo anteriormente expuesto es necesario utilizar m�todos num�ricos iterativos que permitan resolver los sistemas de ecuaciones no lineales; los m�todos de Gauss Seidel y Newton Rapshon son los m�todos m�s utilizados, el primero en el �mbito acad�mico y el segundo m�s utilizado en el escenario pr�ctico.

Debemos considerar que, para el estudio convencional de los sistemas el�ctricos, el especialista siempre considera que la red se encuentra operando en forma balanceada, esta suposici�n podr�a ser v�lida generalmente para sistemas de transmisi�n y subtransmisi�n. En las redes el�ctricas de distribuci�n esta suposici�n no se cumple por lo general debido a que, este tipo de sistemas poseen par�metros de elementos de red y elementos de cargas desbalanceadas y ello implica utilizar metodolog�as de soluci�n que incluyan estas variables y efectos [4].

Dentro de las principales contribuciones que presenta este art�culo, son la sinterizaci�n de los fundamentos te�ricos de los m�todos antes citados; reafirmaci�n de los argumentos y fundamentos para la modelaci�n matem�tica del SEP aplicados a sistemas transmisi�n de energ�a el�ctrica.

 

Materiales y M�todos

Los sistemas el�ctricos de potencia poseen caracter�sticas din�micas, es decir, se encuentran en constante expansi�n y modificaci�n en su topolog�a y arquitectura de red, debido a las permanentes mejoras y modificaciones a las que se deben someter con la finalidad de garantizar confiabilidad operacional. Por ello es necesario conforme lo establecen las pr�cticas recomendadas en normativa IEEE-399-1997, para an�lisis de sistemas de energ�a industriales y comerciales, efectuar estudios del comportamiento del sistema el�ctrico en estado estable o tambi�n denominado estacionario, conocidos como flujos de potencia o flujos de carga.

Para el proceso de modelaci�n del sistema el�ctrico, es muy importante considerar que tenemos tres tipos de barras o nodos.

En primer lugar, tenemos la denominada barra slack, barra oscilante o barra de referencia. Existe solo una de este tipo al plantear un flujo de potencia. Su magnitud y �ngulo de fase del voltaje son conocidos, pero su potencia inyectada activa y reactiva son desconocidas. En esta barra se establece el balance de potencia final en el sistema, por ello su potencia inyectada es una variable desconocida; adem�s el �ngulo del voltaje de esta barra fija un �ngulo en el SEP, es decir ser� su angulo de referencia. La barra slack t�picamente posee la fuente de generaci�n m�s grande en el SEP, o en su defecto, uno que logre balancear la potencia final[5].

Las barras o nodos de generaci�n, son conocidos como barras tipo P-V o nodos de voltaje controlado. Se conoce la magnitud de potencia activa y m�dulo del voltaje en barras, esto es debido a que la potencia activa puede ser controlada a trav�s del sistema de regulaci�n de velocidad del generador y la magnitud del voltaje se regula a trav�s del sistema de excitaci�n del generador. Cuando se mantiene la magnitud de voltaje constante en las terminales la potencia reactiva es un variable que se ajusta al valor requerido por el sistema. Las inc�gnitas son el �ngulo del voltaje y la potencia reactiva total inyectada a la barra (Q, θ)[6].

Finalmente tenemos las barras de carga denominadas como PQ y en las cuales se conocen las magnitudes de potencia activa y reactiva de demanda y se desconocen los valores de m�dulo y �ngulo de voltaje.

Se utilizaron para la presente investigaci�n, los modelos de prueba estandarizados de sistemas el�ctricos de potencia de 4 barras tomado del libro de �AN�LISIS DE SISTEMAS EL�CTRICOS DE POTENCIA� de las p�ginas pp. 337-338 cuyos autores son John Grainger, Jr., William Stevenson y un modelo de prueba IEEE de 9 barras, sobre los cuales se aplicaron los m�todos de soluci�n iterativo para flujos de potencia de Gauss Seidel y Newton Raphson para establecer un an�lisis comparativo de sus resultados utilizando, la herramienta de c�lculo libre y gratuita MATPOWER.�

 

M�todo Gauss-Seidel

El m�todo iterativo de Gauss-Seidel, se basa en un proceso de aproximaciones sucesivas para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados y requiere de la verificaci�n de un criterio de convergencia com�nmente conocido como diagonal pesada[7]. Dada las caracter�sticas del m�todo, puede ser aplicado para resolver tanto sistemas de ecuaciones lineales como no lineales. El m�todo Gauss Seidel para flujos de potencia, es bastante robusto y confiable que brinda convergencia a sistemas de energ�a extremadamente complejos. Se requiere la matriz de admitancias de la barra del sistema y basa su aplicaci�n en la ley de corriente de Kirchhoff [8]. En ocasiones este m�todo no converge en algunos casos y en otros, el tiempo de computaci�n resulta elevado ya que su velocidad de convergencia es baja y fuertemente dependiente del factor de aceleraci�n elegido [9].

B�sicamente Considerando que la ley de ohm establece que:

������������������������������������������ "V=I*Z "����������������������� ����������������������� (1)

 

Y tomando en cuenta que la relaci�n impedancia y admitancia resulta:

 

�������������������������������������� "Z=1/Y " �������������������������������������������������� (2)

 

Podemos sustituir 2 e 1 y obtenemos:

������������������������ "V=I "� "1" /"Y" ����������������������������������������������������� (3)

 

������������������������������� "I=V� Y"� ��������������������������������������������������������� (4)

Sobre lo cual podemos escribir que matricialmente las relaciones se expresan como:

 

����������������������������� (5)

 

Para un sistema de 4 barras para el SEP, podemos escribir el sistema de la siguiente forma:

����������������������������� (6)

El sistema de ecuaci�n matricial estar�a estructurado de la siguiente manera:

(7)

Considerando que potencia aparente es igual a:

����������������������������������� (8)

adem�s:

��������������������������������������������� (9)

Despejando I de (8) e igualando a (9), tenemos:

��������������������������������������� (10)

Si multiplicamos la matriz columna de voltaje por la matriz sim�trica cuadrada de admitancia de (7) tenemos:

�������������� (11)

�������������� (12)

����������������������������������������� ���������� �(13)

 

Despejando V_2 en (11) tenemos:

���� (14)

 

 

Considerando I de (10) como I_2, podemos escribir:

����������������������� (15)

Reemplazando (15) en (14) tenemos:

� �� (16)

De la misma manera para "V" _"3"� y "V" _"4"

��������� (16)

���� (17)

 

Para la potencia activa inyectada en la barra oscilante o slack tendr�amos:

(18)

Para la potencia reactiva inyectada en la barra oscilante o slack tendr�amos:

���������� (19)

 

M�todo Newton Raphson

Desde el punto de vista matem�tico, el m�todo de Newton Raphson es un procedimiento algor�tmico que permite hallar las ra�ces de funciones, conocido un valor num�rico cercano a la ra�z que en general que ofrece una muy r�pida convergencia; es bastante �til para el c�lculo de ra�ces cuadradas y de mayor grado [10]. En la actualidad este es el m�todo iterativo m�s eficiente que se utiliza para el an�lisis de flujos de potencia en redes el�ctricas, con alto nivel de convergencia confiable [11]. La linealizaci�n de las ecuaciones se basa en la expansi�n de las funciones no lineales en series de Taylor alrededor del punto de soluci�n. La matriz Jacobiana es altamente dispersa y se adapta muy especialmente a la soluci�n de problemas de flujo de potencia en sistema el�ctricos, resultado de los m�todos de sustituci�n inversa y triangulaci�n ordenada resultando en la convergencia r�pida y eficiente a la soluci�n de flujo de potencia del SEP [12].

Considerando la potencia neta en una barra "i":

 

���� ���������������������������������� (20)

 

La potencia activa estar�a establecida como sigue:

������������ ����������������������� ����������� (21)

����������� (22)

 

La potencia reactiva

����������� ����������� (23)

La potencia activa:

������ (24)

La potencia reactiva:

�(25)

Potencia residual activa y reactiva:

���������������������������������� (26)
(31)

��������������������� (27)

El Sistema matricial considerando la matriz jacobiana se escribir�a de la siguiente manera:

�������������������������������� (28)

 

De forma ampliada las matrices columna de potencias, �ngulos y magnitud de voltaje junto con la matriz jacobiana se escribir�a:

����������� ����������� (30)

 

Obteniendo la inversa de la matriz jacobiana de (29), tenemos:

����������������������������������������� ����������� (30)

Para quedar de forma ampliada:

����������� (31)

 

Modelos de prueba

Los modelos de prueba que se utilizaron en la presente investigaci�n corresponde a los establecidos por la IEEE con esquemas de 4 y 9 barras las cuales se describen a continuaci�n.

 

Datos de sistema 4 barras

 

Figura 1: Diagrama unifilar sistema de 4 barras

 

 

 

Tabla 1: Datos de Impedancia del sistema

 

Tabla 2: Datos de Generaci�n del Sistema

 

Tabla 3: Datos de Barras del Sistema

 

 

Datos de sistema 9 barras

Figura 1: Diagrama unifilar sistema de 4 barras

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabla 4: Datos de Impedancia del sistema

 

Tabla 5: Datos de Generaci�n del Sistema

����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� �

Tabla 6: Datos de Barras del Sistema

 

Barra tipo 3= Slack.

Barra tipo 2= PV.

Barra tipo 1= Carga.

 

 

 

 

An�lisis y discusi�n de resultados

Resultados de c�lculos de flujos de potencia

 

Tabla 7: Comparaci�n de resultados por iteraci�n

 

Tabla 8: P�rdidas de Potencia en el Sistema de 4 barras

 

Tabla 9: Voltajes en sistema de 4 barras

 

Tabla 10: P�rdidas de potencia en el sistema de 9 barras.

 

Tabla 11: Voltajes en sistema de 9 barras.

 

Es evidente que ambos m�todos permiten resolver los sistemas de ecuaciones no lineales de un SEP de tal manera, en ambos m�todos los resultados son similares pues no se aprecian diferencias sustanciales en los valores de m�dulos de voltajes en barras y sus �ngulos, valores de potencia inyectada en la barra oscilante o slack as� como los flujos de potencia y p�rdidas en el sistema.

Se puede apreciar conforme a los resultados, que el n�mero de iteraciones necesarias para llegar a la convergencia que satisfagan los valores de tolerancia establecidos, resultan ser menores en el m�todo Newton Raphson comparados con el m�todo Gauss Seidel. A m�s de ello se aprecia, que en el m�todo de Newton Raphson, el n�mero de iteraciones para llegar a los resultados es casi independiente del tama�o del SEP.

Dentro del an�lisis resultante de la matriz de admitancia del sistema, puede apreciarse que se confirman las propiedades de la matriz de admitancia como el hecho que resulta, ser de tipo sim�trica y cuadrada, as� como tambi�n que, en sistemas muy grandes, la matriz de admitancia tendr� como caracter�stica ser altamente dispersa, es decir con muy pocos elementos distintos de cero por lo que, podr�a resultar algo m�s complicado encontrar su inversa Zbarra.

 

Conclusiones

De no existir al menos un elemento enlazado a la barra de referencia, la matriz de admitancia del SEP ser�a de tipo singular, para lo cual su inversa no estar�a definida.

El m�todo de Newton Raphson requiere menor cantidad de interacciones para llegar a la convergencia en comparaci�n con el m�todo Gauss Seidel.

En el m�todo de Newton Raphson, el n�mero de iteraciones para llegar a los resultados es casi independiente del tama�o del SEP, debido a sus caracter�sticas cuadradas de convergencia.

El tama�o del sistema afecta en el n�mero de iteraciones del m�todo Gauss Seidel, lo que lo hace demandar mayor cantidad de memoria y recursos. �

 

Referencias

1. G. Arg�ello R�os, "An�lisis y control de sistemas el�ctricos de potencia," ed, 2007.
2. J. J. Grainger and W. D. Stevenson, "An�lisis de sistemas de potencia," 1996.
3. J. J. Ibarra, G. C. Flores, and G. C. J. R. P. Celi, "Flujo de potencia por newton-raphson con el jacobiano calculado en las ecuaciones de errores de potencia," vol. 33, no. 1, 2014.
4. J. Izquierdo Franco, "Estudio de flujos de potencia y an�lisis de fallas en sistemas el�ctricos de distribuci�n radial," Universidad Aut�noma de Nuevo Le�n, 2002.
5. B. J. J. O. Pe�a, "FORMULACI�N E IMPLEMENTACI�N DE LA BARRA SLACK DISTRIBUIDA EN EL M�TODO DE FLUJO DE POTENCIA BASADO EN INCRUSTACI�N HOLOMORFA, MEDIANTE LA ELIMINACI�N DEL T�RMINO DE LA POTENCIA REACTIVA PARA LA BARRA SLACK."
6. A. A. Hern�ndez, "AN�LISIS DE FLUJOS DE POTENCIA," UNIVERSIDAD AUT�NOMA DE ZACATECAS, 2013.
7. C. R. J. Javier, G. C. M. Eduardo, P. M. V. Dami�n, S. M. Alfonso, and T. P. V. Hugo, "M�todos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel."
8. G. Gilbert, D. Bouchard, and A. Chikhani, "A comparison of load flow analysis using DistFlow, Gauss-Seidel, and optimal load flow algorithms," in Conference Proceedings.IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (Cat. No. 98TH8341), 1998, vol. 2, pp. 850-853: IEEE.
9. H. S. Hardy and S. M. Poblete, "C�lculo del flujo de potencia en sistemas el�ctricos por el m�todo Gauss Seidel-matriz impedancia de barras," 2020.
10. J. E. V. Cantero, "M�todo de Newton Raphson."
11. M. Fikri, B. Cheddadi, O. Sabri, T. Haidi, B. Abdelaziz, and M. Majdoub, "Power flow analysis by numerical techniques and artificial neural networks," in 2018 Renewable Energies, Power Systems & Green Inclusive Economy (REPS-GIE), 2018, pp. 1-5: IEEE.
12. P. Murty, Power systems analysis. butterworth-heinemann, 2017.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

� 2022 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

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