Aproximación numérica de la distribución de temperatura en una barra metálica utilizando un esquema de diferencias finitas

 

Numerical approximation of the temperature distribution in a metal bar using a finite difference scheme

 

Aproximação numérica da distribuição de temperatura em uma barra de metal usando um esquema de diferenças finitas

David Elías Dáger-López II daviddagerlopez@hotmail.com https://orcid.org/0000-0001-6663-6149

Milton Fabián Peñaherrera-Larenas I mpenaherrera@utb.edu.ec https://orcid.org/0000-0001-8603-7522

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: mpenaherrera@utb.edu.ec

 

 

Ciencias Técnicas y Aplicadas  

Artículo de Investigación  

 

 

                                                                                     

*Recibido: 30 de Septiembre de 2021 *Aceptado: 30 de Octubre de 2021 * Publicado:  16 de Noviembre de 2021

 

                                I.            Universidad Técnica de Babahoyo, Los Rios, Ecuador.

                              II.            Universidad Estatal de Milagro, Guayas, Ecuador.

                           III.            Universidad Estatal de Milagro, Guayas, Ecuador.

                            IV.            Universidad Estatal de Milagro, Guayas, Ecuador.

                              V.            Universidad de Guayaquil, Guayaquil, Ecuador.

                            VI.            Universidad Estatal de Milagro, Guayas, Ecuador.

 

Resumen

En el presente trabajo de investigación se desarrolla el problema de conducción bidimensional del calor usando el método numérico de diferencias finitas, utilizando los esquemas de diferencias finitas progresivas, retrógradas y Crank-Nicolson. En la parte matemática, se desarrollan las series de Taylor para una, dos y tres variables independientes, se obtienen los esquemas de diferencias finitas progresivas, retrógradas y Crank-Nicolson. Se deduce la ecuación de conducción bidimensional del calor que depende de la geometría del dominio y se le impone condiciones iniciales y cie frontera, de acuerdo a estas condiciones el problema se torna con un cierto grado de dificultad para su solución analítica, entonces se puede utilizar métodos de aproximación numérica como el método de diferencias finitas. Para hallar la solución aproximada se han utilizado los esquemas de diferencias progresivas y Crank-Nicolson

Para el contraste de los resultados, se realiza la comparación de las soluciones aproximadas obtenidas con los esquemas de diferencias y la solución analítica, obtenida por el método de separación de variables utilizando los mismos parámetros de entrada, llegando a determinar que el error de aproximación es muy pequeño, concluyendo así que los esquemas de diferencias utilizados resultan eficientes en su aplicación. Se ha implementado computacionalmente los esquemas de diferencias finitas progresivas y de Crank-Nicolson para el problema de conducción bidimensional del calor en una placa metálica rectangular con condiciones de frontera de Dirichlet y condiciones iniciales dadas, logrando determinar el comportamiento de la temperatura para diferentes tiempos

Palabras clave: diferencias finitas; series de Taylor; ecuación de Laplace.

 

Abstract

In the present research work, the problem of two-dimensional heat conduction is developed using the numerical method of finite differences, using the progressive, retrograde and Crank-Nicolson finite difference schemes. In the mathematical part, the Taylor series are developed for one, two and three independent variables, the progressive, retrograde and Crank-Nicolson finite difference schemes are obtained. The two-dimensional heat conduction equation that depends on the geometry of the domain is deduced and initial conditions and a boundary are imposed on it, according to these conditions the problem becomes with a certain degree of difficulty for its analytical solution, then it can be used numerical approximation methods such as the finite difference method. To find the approximate solution, the progressive difference and Crank-Nicolson schemes have been used.

To contrast the results, the approximate solutions obtained with the difference schemes and the analytical solution are compared, obtained by the method of separation of variables using the same input parameters, determining that the approximation error is very small, thus concluding that the difference schemes used are efficient in their application. The progressive finite difference and Crank-Nicolson schemes have been computationally implemented for the problem of two-dimensional heat conduction in a rectangular metal plate with Dirichlet boundary conditions and given initial conditions, managing to determine the temperature behavior for different times.

Keywords: finite differences; Taylor series; Laplace's equation.

 

Resumo

No presente trabalho de pesquisa, o problema de condução de calor bidimensional é desenvolvido usando o método numérico das diferenças finitas, usando os esquemas de diferenças finitas progressivas, retrógradas e de Crank-Nicolson. Na parte matemática, são desenvolvidas as séries de Taylor para uma, duas e três variáveis ​​independentes, obtendo-se os esquemas de diferenças finitas progressivo, retrógrado e Crank-Nicolson. A equação bidimensional de condução de calor que depende da geometria do domínio é deduzida e as condições iniciais e uma fronteira são impostas a ele, de acordo com essas condições o problema torna-se com certo grau de dificuldade para sua solução analítica, então pode ser usou métodos de aproximação numérica, como o método das diferenças finitas. Para encontrar a solução aproximada, foram usados ​​os esquemas de diferença progressiva e Crank-Nicolson.

Para contrastar os resultados, são comparadas as soluções aproximadas obtidas com os esquemas de diferenças e a solução analítica, obtida pelo método de separação de variáveis ​​utilizando os mesmos parâmetros de entrada, determinando que o erro de aproximação é muito pequeno, concluindo assim que os esquemas de diferenças usados ​​são eficientes em sua aplicação. Os esquemas de diferenças finitas progressivas e Crank-Nicolson foram implementados computacionalmente para o problema de condução de calor bidimensional em uma placa de metal retangular com condições de contorno de Dirichlet e dadas as condições iniciais, conseguindo determinar o comportamento da temperatura para diferentes tempos.

Palavras-chave: diferenças finitas; Série de Taylor; Equação de Laplace

 

Introducción

La teoría de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) se ha convertido en uno  de  los  campos  de  estudio  más  importantes  en  matemáticas,  debido  a  su frecuente  aplicación  en  diferentes  áreas  de  la  física,  ingeniería  y  otras  ciencias. Entre  las  EDP  más  representativas  se  encuentran  la  Ecuación  de  Laplace,  la Ecuación de Onda y la Ecuación de Calor. (Ramírez, Vanegas, & Villegas, 2015)

La Ecuación de Laplace  modela  la  distribución  de  temperatura  en  estado estacionario para una región. Si u(x, y, z) representa la temperatura en un punto (x, y, z) en la región, la distribución se obtiene al solucionar la ecuación

∇²u = 0

Esta ecuación aparece en muchos otros problemas de la física como: Potenciales Electrostáticos,  Potenciales  en  Hidrodinámica  y  Potenciales  Armónicos  en  la Teoría de la Elasticidad.

 

La Ecuación de Calor constituye una herramienta de gran utilidad para dar solución  a  problemas  de  flujo  de  calor  en  cuerpos  determinados.  Si  u(x, y, z, t) es la temperatura en el punto (x, y, z), en un instante t, la ecuación es

u_t = k∇²u

 

Fórmulas progresivas o de diferencias divididas finitas hacia delante

Cuando no se tienen datos a la izquierda del punto en que se debe calcular la derivada, se utilizan las formulas progresivas. Para el desarrollo de las mismas, se considera la función f(x), sus puntos, x0, x0 + h (punto delante), y, la correspondiente Serie de Taylor, truncada en el tercer término.

La fórmula de la Primera diferencia progresiva, con error de truncamiento O(h), de orden 1 es:

 

Demostración: Para obtener la fórmula solamente es necesario desarrollar la Serie de Taylor en el punto a = x0 + h y luego truncar en el término que necesitemos, para ello usamos:

 

Despejando que es el valor que nos interesa aproximar, se tiene

 

Fórmulas regresivas o de diferencias divididas finitas hacia atrás

Cuando no se tienen datos a la derecha del punto en que se debe calcular la derivada, se utilizan las fórmulas regresivas. Para el desarrollo de las mismas, se considera la función f(x), sus puntos, x0 , x0 − h (punto atrás), y, la correspondiente Serie de Taylor en el punto a = x0 − h truncada en el tercer término. (Mañas-Mañas & Pinta, 2017)

La fórmula de la Primera diferencia regresiva [7], con error de truncamiento O(h), de orden 1 es:

 

Demostración: La demostración para obtener (3.7) es análoga al caso anterior, hacemos el desarrollo de Taylor en el punto a = x0− h, truncamos y despajamos f 0 (x0) que es lo que queremos aproximar.

 

Nota 3.3. Las fórmulas que hemos obtenido del error son muy importantes, hay que pensar que en casos reales no conocemos el valor exacto de la derivada, por tanto, es necesario controlar el error que estamos cometiendo. Este error en las fórmulas de derivación (3.6) y (3.7) viene dado por la expresión

 

Si conseguimos acotar f 00(ξ) en el intervalo donde varia ξ tendremos una cota del error cometido.

Método de Crank Nicholson

John Crank

Nació el 6 de febrero de 1916 en Hindley, Inglaterra. Trabajó en balística durante la Segunda Guerra Mundial y posteriormente trabajó como fisicomatemático en el Courtaulds Fundamental Research Laboratory desde 1945 hasta 1957. En 1940, junto a Phyllis Nicolson perfeccionaron el método resolución de E.D.D.P. de Richardson. Falleció el 3 de octubre de 2006 en Inglaterra. (Ezquerro Fernandez, 2012)

Phyllis (Lockett) Nicolson

Nació el 21 de setiembre de 1917 en Macclesfield, Inglaterra. Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en el desarrollo de la teoría del magnetrón. En 1940, junto a John Crank perfeccionaron el método resolución de E.D.D.P. de Richardson. Falleció el 6 de octubre de 1968 en Sheffield, Inglaterra

Método Crank- Nicholson

1.-Forma Escalar

2.-Forma Matricial:

3.- Generalización  

 

Si las condiciones de Frontera en  b fuesen no nulas, los métodos anteriores se verían afectado por lo correspondientes términos independientes.

 

Resultados

Ejercicio propuesto con el método de diferencias finitas progresivas hacia delante

Usando:

Diferencias progresivas

Compare los resultados, con la solución real

 

 

 

 

 

Código en Matlab

clc

clear all

close all

%Datos

dx=0.2;

dt=0.04;

k=(4/pi^2);

r=(dt*k)/((dx)^2); %sacamos el valor de Lambda

x=[0.2:0.2:3.8] %ubicar los datos del piso sin incluir los extremos o fronteras

tf=0.4;

u=sin(pi.*x/4).*(1+2.*cos((pi.*x/4)));

U=u' %trasnponemos u

Temp_num=U;

Temp_analitic=U;

t=(dt:dt:tf);

%armamos la matriz cuadrada de 19x19

A=[1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r r;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r 1-2*r];

for i=1:10

U=A*U;

Temp_num=[Temp_num;U];

%comparamos con las solución analítica real

U_analitic = (exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4))';

Temp_analitic=[Temp_analitic;U_analitic];

end

%U

Error=abs(Temp_analitic-Temp_num)

%Error_relativo=Error./Temp_analitic;

%filename = 'pg3.xlsx';

%xlswrite(filename,Error,'A3')

%reshape(Temp_num,4,11)

%% gráfico comparativo de la solución real

%x=(0:0.5:4);

y=(exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4));

plot(x,y, 'b')

title('Solución Real vs Solución Númerica')

hold on;

plot(x,U,'r')

legend('Solución Real','Solución Númerica')

grid on;

 

Gráfica 1 Ejercicio en Matlab método Progresivo

 

Ejercicio propuesto con el método de diferencias finitas regresivas

Usando:

Diferencias regresivas

Compare los resultados, con la solución real

 

 

Codigo en Matlab

clc

clear all

close all

%Datos

dx=0.2;

dt=0.04;

k=(4/pi^2);

r=(dt*k)/((dx)^2); %sacamos el valor de Lambda

x=[0.2:0.2:3.8] %ubicar los datos del piso sin incluir los extremos o fronteras

tf=0.4;

t=(dt:dt:tf);

u=sin(pi.*x/4).*(1+2.*cos((pi.*x/4)));

U=u'; %trasnponemos u

Unum=U;

Uanalitic=U;

 

A=[-1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r r;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r -1-2*r];

  

for j=1:10

    B=-U;   

    U=A\B

    Unum=[Unum;U];

end

 

for i=1:10% solución numerica real

Ua = (exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4))';

Uanalitic=[Uanalitic;Ua];

end

 

Error=abs(Uanalitic-Unum)

%% gráfico comparativo de la solución real

%x=(0:0.5:4);

y=(exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4));

 

plot(x,y, 'b')

title('Solución Real vs Solución Númerica')

hold on;

 

plot(x,U,'g')

legend('Solución Real','Solución Númerica')

grid on;

 

Gráfica 2 Ejercicio en Matlab método regresivo

 

Ejercicio propuesto con el método de diferencias Crank-Nichosol

Compare los resultados, con la solución real

_{1,1 – 1,0} =  [_{2,0 -} 2_{1,0 + 0,0 +2,1 - 1,1 + 0,1}]

_1,1 –  [_2,1 2_1,1 0]

_{1,1 –  2,1 1,1}

_{1,1 2,1 1,1}

_1,12,11,1

_1,12,1

 

Otra forma

 

_{1,1 2,1 2.02,00,0 0,1}

_1,12,1  ) ( 

_{1,1 2,1}

_{1,1 2,1}

_{1,1 2,1*}

_{2,13,11,12,03,01,0}

_2,13,11,1

_{2,1 3,11,1}

_{2,1 3,11,1}

 

Código en Matlab

clc

clear all

close all

%Datos

dx=0.2;

dt=0.04;

k=(4/pi^2);

r=(dt*k)/((dx)^2); %sacamos el valor de Lambda

x=[0.2:0.2:3.8] %ubicar los datos del piso sin incluir los extremos o fronteras

tf=0.4;

t=(dt:dt:tf);

u=sin(pi.*x/4).*(1+2.*cos((pi.*x/4)));

U=u'; %trasnponemos u

Unum=U;

Uanalitic=U;

 

A=[1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r -r/2;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -r/2 1+r];

 

 

B=[1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2 0;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r r/2;

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r/2 1-r];

 

for i=1:10

U=A\(B*U);

Unum=[Unum;U];

end

 

for i=1:10

ua = (exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4));% para sacar la solución analitica real

Ua=ua'

Uanalitic=[Uanalitic;Ua];

end

 

Error=abs(Uanalitic-Unum)

%% gráfico comparativo de la solución real

%x=(0:0.5:4);

y=(exp(-t(i)).*sin(pi.*x/2)+exp(-t(i)/2).*sin(pi.*x/4));

 

plot(x,y, 'b')

title('Solución Real vs Solución Númerica')

hold on;

 

plot(x,U,'m')

legend('Solución Real','Solución Númerica')

grid on;

 

 

Gráfica 3 Ejercicio en Matlab Crank Nicolson

 

 

 

 

 

 

 

 

Comparación de todos los métodos de Diferencias Finitas

#	VDFP	VDFR	VCN	Valor Real	Error de DFP	Error de DFR	Error de CN
1	0,465451459	0,465451459	0,465451459	0,465451459	0	0	0
2	0,896802247	0,896802247	0,896802247	0,896802247	0	0	0
3	1,263007494	1,263007494	1,263007494	1,263007494	0	0	0
4	1,538841769	1,538841769	1,538841769	1,538841769	0	0	0
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186	-0,048590945	-0,057929314	-0,053339584	-0,107051095	0,05846015	0,049121782	0,053711511
187	-0,123614214	-0,13256494	-0,128165308	-0,172570104	0,04895589	0,040005164	0,044404796
188	-0,147190854	-0,154842494	-0,151081184	-0,185227264	0,03803641	0,03038477	0,034146079
189	-0,125969254	-0,13154556	-0,128804318	-0,151971165	0,026001911	0,020425605	0,023166847
190	-0,071731276	-0,07466785	-0,073224237	-0,084928793	0,013197517	0,010260942	0,011704556
191	0,347653286	0,351067054	0,349386535	0,335217993	0,012435293	0,015849061	0,014168542
192	0,671643084	0,678146787	0,674945109	0,647005954	0,024637131	0,031140833	0,027939155
193	0,950366977	0,959344393	0,954924804	0,913996293	0,036370685	0,045348101	0,040928512
194	1,166149225	1,176751562	1,171531763	1,11875011	0,047399115	0,058001452	0,052781653
195	1,306734413	1,317962656	1,312434282	1,249250114	0,0574843	0,068712542	0,063184169
196	1,366268771	1,377070516	1,371751486	1,299879341	0,06638943	0,077191175	0,071872145
197	1,345678463	1,355049784	1,350434176	1,271794751	0,073883712	0,083255032	0,078639425
198	1,252412629	1,259495034	1,256005377	1,172663455	0,079749174	0,086831579	0,083341921
199	1,099580415	1,103743434	1,101690066	1,015791105	0,083789311	0,087952329	0,085898961
200	0,904569773	0,905471123	0,905022584	0,818730753	0,085839019	0,08674037	0,086291831
201	0,68728562	0,684903107	0,686070443	0,601510533	0,085775087	0,083392574	0,08455991
202	0,468181325	0,46281339	0,465449876	0,38465498	0,083526344	0,078158409	0,080794895
203	0,266276675	0,258511572	0,262327878	0,187194134	0,079082541	0,071317439	0,075133744
204	0,097355866	0,088012537	0,092605816	0,024854845	0,072501021	0,063157692	0,067750971
205	-0,027479573	-0,037433113	-0,032539069	-0,091389979	0,063910406	0,053956865	0,058850909
206	-0,102763681	-0,112306417	-0,107613907	-0,156274386	0,053510705	0,043967969	0,048660479
207	-0,129034811	-0,137193818	-0,133181494	-0,170604325	0,041569514	0,033410507	0,037422831
208	-0,11258822	-0,118534857	-0,115610391	-0,141002521	0,028414301	0,022467664	0,025392129
209	-0,064641509	-0,067773273	-0,066233087	-0,079062579	0,014421069	0,011289306	0,012829491

 

 

Una vez realizados los tres métodos y comparados con la solución real se observa mediante la tabla que el error más bajo son los valores por el método de diferencia finitas progresivas “VDFP”. También se puede sacar el error relativo, que simplemente es un valor en porcentaje.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como se observa en las gráficas realizadas con el comando plot de Matlab, el cual sirve para gráficas en dos dimensiones con la finalidad de tener un mejor efecto visual al momento de comparar las curvas de cada método y ver cual se aproxima más a la función real con el menor error posible.

Es evidente que el método de diferencias finitas progresivas en nuestro caso, genera la mejor aproximación con el error más bajo a la solución real, esto se puede comprobar en la tabla general, en la cual también se llaga al mismo resultado. 

 

Conclusiones

Se tiene como conclusión que el mejor método para nuestro ejercicio propuesto es el de diferencia finitas progresivas el cual se obtiene un error bajo en comparación a los demás métodos.

Se debe tomar en cuenta que los extremos de la barra tienen temperatura 0°C por lo cual facilita un poco los cálculos y se elimina la última columna en la cual se hace 0 por la condición de contorno que nos dan.

Se tomó en consideración hacer un gráfico en 2D para un mejor efecto visual al momento de comparar los 3 métodos y sacar a simple vista cual se acerca más a la curva de la solución real.

Recomendaciones

Se recomienda que en caso de que los contornos tomen unos valores distintos de cero, se recomienda ajustar el código de matlab y las ecuaciones a la forma principal.

Se recomienda que en caso de querer graficar en 3D utilizar el comando surf.

Se recomienda siempre hacer graficas en 2D para poder sobremontar y visualizar de formar más rápida cual es la más próxima a la solución real.

Se recomienda que para mejorar el código de la programación en la parte de las matrices realizarlo con dos for para optimizar recursos y memoria. En el ejercicio propuesto se lo inserto de forma manual para observa la forma de la matriz de cada uno de los métodos.

 

Referencias

1.      Ezquerro Fernandez, J. A. (2012). Iniciacion a los Metodos Numericos. Logroño: Iberus.

2.      Mañas-Mañas, J. F., & Pinta, M. (2017). Métodos numericos para el Análisis Matemtico con MATLAB. MACHALA: EDITORIAL UTMACH.

3.      Ramírez, J., Vanegas, C., & Villegas, A. (2015). www.assembla.com. Obtenido de subversion.assembla.com › metnum_epf › resources

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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