Revista Polo del Conocimiento


Polo del Conocimiento

 

Anlisis estadstico para validar la simulacin por elemento finito en el diseo a deformacin de una viga en voladizo

 

Statistical analysis to validate the finite element simulation in the deformation design of a cantilever beam

 

Anlise estatstica para validar a simulao de elementos finitos no projeto de deformao de uma viga cantilever

 

 

Edwin Rodolfo Pozo-Safla I

[email protected]

https://orcid.org/0000-0002-8931-3577

 

Scrates Miguel Aquino-Arroba II

[email protected]

https://orcid.org/0000-0002-6393-9408

 

Marco Antonio Ordoez-Vian III

[email protected]

https://orcid.org/0000-0002-9255-3168

 

Correspondencia: [email protected]

Ciencias tcnicas y aplicadas

Artculo de investigacin

 

*Recibido: 10 de abril de 2021 *Aceptado: 03 de mayo de 2021 * Publicado: 01 de junio de 2021

                                I.            Magister en Diseo Produccion y Automatizacion Industrial, Formacin de Formadores, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Riobamba, Ecuador.

                            II.            Magister en Diseo Produccion y Automatizacion Industrial, Ingeniero Mecanico, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Riobamba, Ecuador.

                         III.            Magister en Eficiencia Energetica, Ingeniero Mecanico, Formacin de Formadores, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Riobamba, Ecuador.


Resumen

En el presente trabajo se desarroll el anlisis de una viga en voladizo aplicando el mtodo de elemento finito por medio de un software CAE, de la simulacin CAE se generaron varios datos a distintas dimensiones de malla con lo cual se generan las deformaciones de la viga en voladizo con una carga aplicada en el extremo, con los datos de la deformacin se pudo analizar que la calidad de la malla sea la adecuada al verificarse el valor de p. Luego de verificada la calidad de la malla y por ende que la solucin por elemento finito es adecuada se realiz un diseo de experimento con la finalidad de obtener un modelo matemtico que controle el diseo de la viga para un rango de valores de altura, ancho, longitud y fuerza. Concluyndose que el anlisis estadstico es de gran ayuda a la simulacin por elemento finito para lograr resultados confiables y dando la capacidad de poder predecir el comportamiento de la viga para datos distintos adems de dar una gran cantidad de resultados estadsticos que ayudan a definir que la variable ms influyente para que se produzca una mayor deformacin es la longitud de la viga.

Palabras claves: Resistencia; viga; CAE; elemento finito; CAD.

 

Abstract

In the present work, the analysis of a cantilever beam was developed by applying the finite element method by means of a CAE software, from the CAE simulation several data were generated at different mesh dimensions with which the deformations of the beam were generated in cantilever with a load applied at the end, with the deformation data it was possible to analyze that the quality of the mesh is adequate by verifying the value of "p". After verifying the quality of the mesh and therefore that the finite element solution is adequate, an experiment design was carried out in order to obtain a mathematical model that controls the design of the beam for a range of values of height, width, length and strength. Concluding that the statistical analysis is of great help to the simulation by finite element to achieve reliable results and giving the ability to predict the behavior of the beam for different data in addition to giving a large number of statistical results that help define that the variable The most influential for greater deformation to occur is the length of the beam.

Keywords: Resistance; beam; FALLS OFF; finite element; CAD.

 

 

 

Resmo

No presente trabalho, a anlise de uma viga cantilever foi desenvolvida aplicando-se o mtodo dos elementos finitos por meio de um software CAE, a partir da simulao CAE vrios dados foram gerados em diferentes dimenses de malha com os quais as deformaes da viga foram geradas em cantilever com uma carga aplicada no final, com os dados de deformao foi possvel analisar que a qualidade da malha est adequada verificando o valor de "p". Aps verificar a qualidade da malha e, portanto, se a soluo dos elementos finitos adequada, foi realizado um planejamento de experimento com o objetivo de obter um modelo matemtico que controle o dimensionamento da viga para uma faixa de valores de altura, largura, comprimento e fora. Concluindo que a anlise estatstica de grande ajuda simulao por elemento finito para obteno de resultados confiveis e dando a capacidade de predizer o comportamento da viga para diferentes dados alm de fornecer um grande nmero de resultados estatsticos que ajudam a definir que a varivel mais influente para que ocorra uma maior deformao o comprimento da viga.

Palavras-chave: Resistance; feixe; CAI; elemento finito; cafajeste.

 

Introduccin

Flexin en una viga en voladizo

Una viga es un cuerpo slido de forma alargada y seccin transversal, de gran inters en ingeniera, que normalmente se utilizan en posicin horizontal y siendo su longitud grande comparada con las dimensiones de su seccin transversal. Las vigas pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas o a pares (momentos concentrados) que acten solos o en una combinacin cualquiera, siendo la flexin la principal deformacin que sufren [1].

Puede definirse una viga como un slido homogneo e istropo engendrado por una seccin transversal, que generalmente admite un plano de simetra y cuyo centro de gravedad describe una curva o lnea, denominada directriz, siendo el plano que contiene a la seccin transversal normal a dicha directriz [2], para las que se pueden obtener las reacciones de los apoyos a partir de las ecuaciones de la Esttica, es decir, imponiendo las condiciones de que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos respecto a un punto tambin lo sea, para el anlisis que vamos a considerar en este trabajo basta con el estudio de la viga flexionada que hace Feynman [11], al y suficiente para comprender el comportamiento de estos elementos constructivos cuando se someten a acciones externas.

Muchos problemas en Mecnica de Slidos pueden resolverse utilizando el anlisis lineal [6], la solucin analtica suele ser complicada, por lo que es necesario recurrir a tcnicas de solucin mediante mtodos numricos o mediante el mtodo de elementos finitos.

Para obtener la ecuacin de la curva elstica z = z(x) es necesario conocer el momento flector M. Como ejemplo consideremos una viga empotrada en un extremo y libre en el otro, tambin conocida como viga en voladizo o mnsula, sobre la que se aplica una fuerza concentrada F en el extremo libre y una fuerza P uniformemente distribuida a lo largo de la longitud de la viga (que puede ser, por ejemplo, el peso de la propia viga). La Figura 1 muestra una viga en voladizo de longitud L, seccin rectangular constante, peso P uniformemente repartido a lo largo de su longitud y que soporta una carga concentrada F en el extremo libre. El momento flector es una funcin de la coordenada x ya que es el momento con respecto al eje neutro de cualquier seccin. Para la viga en voladizo considerada, el momento flector MF debido a la carga puntual F aplicada en el extremo de la viga respecto a la seccin situada a una distancia x del empotramiento puede calcularse fcilmente mediante la ecuacin [7, 11], en base a ese valor se puede establecer el valor de la deformacin en el eje Y.

MF(x)=F(L-x)

Figura 1: (a) Flexin de una viga en voladizo de seccin rectangular con carga en la extrema.


(b) Elstica de la viga en voladizo

 

Modelado CAD

Dentro de la concepcin de diseo moderno es de gran importancia el uso de herramientas CAD, que por medio del uso del ordenador se pueden crear elementos virtuales de forma bidimensional o tridimensional, en la Figura 2 se indica el concepto de diseo de un prototipo, donde se realiza primero la forma del modelo slido con la utilizacin de herramientas CAD que es el dibujo asistido por computadora. El prototipo inicial casi siempre se establece en funcin de la experiencia del diseado, el modelo virtual se respalda del diseo conceptual tomada del estado del arte. Adems, con un sistema integrado de la herramienta CAD puede generar directamente un modelo slido del diseo conceptual que sirva exclusivamente para las simulaciones de diseo y fabricacin.


Figura 2: Modelo CAD, 3D de un equipo

 

Hay que considerar, un anlisis unidireccional que rige los cambios de modelos CAD a modelos de simulacin debe ser establecido para actualizaciones rpidas de modelos de simulacin. El anlisis mantiene la coherencia entre los modelos de simulacin y CAD, que es lo que hoy se conoce como el paradigma de diseo moderno que se observa en la Figura 3.


Figura 3: El paradigma del diseo

 

Simulacin con software CAE

El mtodo de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en ingls) es un mtodo numrico general para la aproximacin de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniera y fsica. [14]

El anlisis de elementos finitos (FEA), se basa en la idea de construir un objeto complicado con bloques simples, o dividir un objeto complicado en piezas ms pequeas y manejables. La aplicacin de esta simple idea se puede encontrar en cualquier lugar de la vida cotidiana. El FEA se puede aplicar para resolver los modelos matemticos de muchos problemas de ingeniera, desde el anlisis de tensin de estructuras de armazones y armazones o mquinas complicadas, hasta respuestas dinmicas bajo diferentes mecanismos. El MEF est pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema fsico sobre geometras complicadas. El MEF se usa en el diseo y mejora de productos y aplicaciones industriales, as como en la simulacin de sistemas fsicos y biolgicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito bsico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolucin temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

La ingeniera asistida por computadora (CAE, del ingls Computer Aided Engineering) es la disciplina que se encarga del conjunto de programas informticos que permiten analizar y simular los diseos de ingeniera realizados con el ordenador y basados en mtodos como elemento finito, volmenes finitos, etc. Se usan para valorar sus caractersticas, propiedades, viabilidad, y rentabilidad. Su finalidad es optimizar su desarrollo y consecuentes costos de fabricacin, y reducir al mximo las pruebas para la obtencin del producto deseado. En la concepcin moderna del diseo de un producto se establece el obtener un modelo virtual por medio de un software CAD luego se analiza sus condiciones de carga a las que trabaja mediante una simulacin con software CAE para finalmente llegar a su manufactura. Un esbozo del proceso de desarrollo de productos asistido por ordenador se muestra en la figura. [15]

 

 

 


Figura 4: Desarrollo de productos asistidos por computador

 

En las ltimas dcadas, muchos programas comerciales han estado disponibles para realizar la FEA. Entre una amplia gama de soluciones de simulacin de elementos finitos provistas por las principales compaas de CAE, ANSYS Workbench es una plataforma fcil de usar diseada para integrar a la perfeccin la tecnologa. Ofrece conexin bidireccional a los principales sistemas CAD. El entorno Workbench est orientado a mejorar la productividad y la facilidad de uso entre los equipos de ingeniera. Ha mejorado como una herramienta indispensable para el desarrollo de productos en un nmero creciente de empresas y centros de investigacin, encontrando aplicaciones en diversos campos de la ingeniera.

Comparacin CAE

Figura 5: Entorno de trabajo de ANSYS Workbench

 

Diseo Estadstico de Experimentos

Una prueba o serie de pruebas en las cuales se introducen cambios deliberados en las variables de entrada que forman el proceso, de manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios en la variable de salida.


Figura 6: Variables que forman el proceso

 

El Diseo Estadstico de Experimentos (DEE), tambin denominado diseo experimental, como una metodologa basada en tiles matemticos y estadsticos cuyo objetivo es ayudar al experimentador a:

1.      Seleccionar la estrategia experimental ptima que permita obtener la informacin buscada con el mnimo coste.

2.      Evaluar los resultados experimentales obtenidos, garantizando la mxima fiabilidad en las conclusiones que se obtengan.

Las situaciones en las que se puede aplicar el DEE son muy numerosas. De forma general, se aplica a sistemas como el mostrado en la Figura 7, en los cuales se observan una o ms variables experimentales dependientes o respuestas (y) cuyo valor depende de los valores de una o ms variables independientes (x) controlables llamadas factores. Las respuestas adems pueden estar influidas por otras variables que no son controladas por el experimentador. La relacin entre x e y no tiene porqu ser conocida.


Figura 7: Representacin de un sistema en estudio en DDE: factores (x), respuestas (y)

 

La experimentacin en sistemas como el descrito en la Figura 7 suele perseguir uno de los siguientes objetivos:

-          Obtener un conocimiento inicial sobre un nuevo sistema en estudio. En qu valores de los factores se puede centrar la investigacin?

-          Determinar la influencia de los factores sobre las respuestas observadas. De entre todos los factores que afectan al proceso, cules influyen ms?, cmo interaccionan entre ellos?

-          Optimizar respuestas. Qu valores de los factores proporcionan las respuestas de mayor calidad?

        Determinar la robustez del sistema. Como afectan a la respuesta variaciones no controladas en el valor de los factores?

 

Materiales y Mtodos

Aplicacin del diseo de experimentos

La aplicacin del diseo de experimentos requiere considerar las siguientes etapas que se comentarn a continuacin:

1.      Comprender el problema y definir claramente el objetivo.

2.      Identificar los factores que potencialmente podran influir en la funcin objetivo, y los valores que stos pueden tomar. Entre estos valores se buscar la informacin necesaria.

3.      Establecer una estrategia experimental, llamada plan de experimentacin.

4.      Efectuar los experimentos con los valores de los factores decididos en el punto 3 para obtener los valores de las respuestas estudiadas.

5.      Responder las preguntas planteadas, sea directamente, sea utilizando un modelo matemtico. Si es necesario, volver a la etapa 1.

El experimento factorial permite observar el efecto que tiene cada variable independiente sobre la variable dependiente, as como el efecto que tienen las interacciones entre estas variables. Se deben definir los factores y niveles del experimento. Un factor es cualquier influencia que pueda afectar a la variable de respuesta y que sea controlada por el experimentador. Los niveles son las categoras o intensidades que tiene cada factor previamente establecido.

 

Definicin del CAD de la viga

El elemento CAD para realizar la simulacin de la viga se obtuvo por medio de la aplicacin de un software, por lo tanto, es importante tener la geometra totalmente definida, en la figura 6 se muestra la viga para el anlisis, la que contiene el material adecuado, restricciones y condiciones de carga a las que est sometida para encontrar valores de deformacin estructural.


Figura 8: Frula para el anlisis.

 

Simulacin por medio de elemento finito de la viga.

El proceso de simulacin aplicando el mtodo de elemento debe seguir el proceso mostrado en la Figura 9.

 

 


Figura 9: Secuencia de simulacin en software CEA.

 

Pre proceso

Definicin de propiedades mecnicas del material

La figura 10 muestra las consideraciones de las propiedades mecnicas del PVC, con las que se realiza la simulacin en el software; utilizando el mtodo de elemento finito. [5]


Figura 10: Propiedades mecnicas del PVC.

 

Definicin de calidad de la Malla

Segn la aplicacin del mtodo de elemento finito se establece la discretizacin del medio fsico o continuo para conseguir un nmero finito de puntos de anlisis. Con el objetivo de observar la influencia de la discretizacin se generan varios modelos con distintos tipos de mallado que permitan construir un modelo de malla con buena calidad y as obtener buenos resultados como se observa en la Figura 11. [14]


Figura 11: Propiedades del mallado.

 

Definicin del modelo de frula para simulacin

Los diagramas de cuerpo libre (DCL) se grafican para ayudar a identificar las fuerzas y los momentos que actan sobre partes individuales de un sistema y para aplicar el uso correcto de las ecuaciones de la mecnica y para analizar el problema. Para este objetivo, los elementos que constituyen un sistema estn aisladas de su entorno y los efectos del entorno son reemplazados por fuerzas y momentos apropiados. [14]

En la Figura 12 se muestra la generacin del modelo fsico de acuerdo a las cargas de reaccin y condiciones de frontera como son las restricciones de movimientos.


Figura 12: Asignacin de cargas y restricciones.

 

Proceso de simulacin

El ordenador genera el proceso de clculo en base a las ecuaciones de energa de distorsin que son parte de resolucin del software Ansys Mechanical: en el proceso se muestra grficas en las que se puede analizar la convergencia de la solucin en funcin al cambio de malla vs deformacin o esfuerzo de Vonn Misses. Uno de los factores importantes es el nmero de iteraciones que permitir conducir a una mayor confiablidad de los resultados.


Figura 13: Resolucin matemtica

 

Post proceso

Ansys Mechanical genera como resultado de su simulacin las deformaciones en las diferentes direcciones del modelo lo que permite observar el comportamiento de la viga, permitiendo analizar el funcionamiento de la viga sin necesidad de la construccin. Sin embargo, estos resultados deben ser validados de ser posible con un modelo fsico y ensayos en laboratorio de resistencia de materiales, etc.


Figura 13: Resultados de la simulacin

 

Discusin y Resultados

Validacin estadstica de la simulacin por elemento finito

Para la validacin estadstica del anlisis por elemento finito se establece un anlisis del tamao de malla en funcin de la deformacin para el valor de la fuerza aplicada.

 

Tabla 1: Variacin de la malla en funcin de la deformacin.

Nombre

Tamao de malla (mm)

Deformacin (cm)

DP 0

0,6

0,993128676

DP 1

0,65

0,993125529

DP 2

0,7

0,993122667

DP 3

0,75

0,99308471

DP 4

0,8

0,993078701

DP 5

0,85

0,993128676

DP 6

0,9

0,993066875

DP 7

0,95

0,993128676

DP 8

1

0,993128676

DP 9

1,05

0,993048564

DP 10

1,1

0,993043319

DP 11

1,15

0,993128676

DP 12

1,2

0,993031207

DP 13

1,25

0,993024245

DP 14

1,3

0,993018046

DP 15

1,35

0,993013372

DP 16

1,4

0,993128676

DP 17

1,45

0,993128676

DP 18

1,5

0,992627892

DP 19

1,55

0,992605671

DP 20

1,6

0,993128676

DP 21

1,65

0,992564948

DP 22

1,7

0,993128676

DP 23

1,75

0,992528326

DP 24

1,8

0,99250868

DP 25

1,85

0,992487889

DP 26

1,9

0,992465573

DP 27

1,95

0,992442303

DP 28

2

0,992417125

DP 29

2,05

0,992404155

DP 30

2,1

0,992376975

DP 31

2,5

0,992208077

DP 32

3

0,993128676

DP 33

3,5

0,993128676

DP 34

4

0,993128676

DP 35

4,5

0,993128676

DP 36

5

0,993128676

DP 37

6

0,993128676

DP 38

7

0,993128676

DP 39

8

0,989956992

DP 40

9

0,993128676

DP 41

10

0,993128676

DP 42

0,5

0,993128676

DP 43

0,4

0,993128676

DP 44

0,3

0,993128676

 

En base a los datos de la tabla 1 se realiza el anlisis estadstico que se muestra en la Figura 12.

Informe de resumen de Deformacion (cm)

Figura 14: Anlisis de la deformacin

 

En la tabla 2 y 3 se muestra el anlisis de la hiptesis

 

Tabla 2: Estadsticas descriptivas

Estadsticas descriptivas

N

Media

Desv.Est.

Error estndar de
la media

IC de 95% para μ

45

0,992866

0,000530

0,000079

(0,992711; 0,993020)

μ: media de Deformacin (cm)

Desviacin estndar conocida = 0,00053

 

Tabla 3: Prueba de la hiptesis

Prueba

Hiptesis nula

H₀: μ = 1

Hiptesis alterna

H₁: μ ≠ 1

Valor Z

Valor p

 

-90,30

0,000

 

 

Con la finalidad de generar un mejor anlisis de la hiptesis debido a las variaciones decimales de la deformacin se establece 0,9928 cm, con lo que se obtiene los siguientes resultados.

En la tabla 4 y 5 se muestra el anlisis de la hiptesis

 

Tabla 4: Estadsticas descriptivas

Estadsticas descriptivas

N

Media

Error estndar de la media

IC de 95% para μ

45

0,992866

0,000079

(0,992711; 0,993021)

μ: media de Muestra

Desviacin estndar conocida = 0,00053

 

Tabla 5: Prueba de la hiptesis

Prueba

Hiptesis nula

H₀: μ = 0,9928

Hiptesis alterna

H₁: μ ≠ 0,9928

Valor Z

Valor p

 

0,84

0,404

 

 

En base a los resultados de la tabla 4 y 5 se determina que la simulacin por elemento finito cumple con la hiptesis, garantizndose los resultados de simulacin.

 

Diseo de experimento para una viga en voladizo

Se genera un diseo experimental donde las variables que poseen condiciones de un rango de inicio y fin son:

Altura

Ancho

Longitud

Fuerza

Mientras que la deformacin es medida por medio de un proceso de simulacin

 

Tabla 6: Resumen de diseo.

Resumen del diseo

Factores:

4

Diseo de la base:

4; 16

Corridas:

32

Rplicas:

2

Bloques:

1

Puntos centrales (total):

0

 

Tabla 7: Diseo factorial completo del experimento

ALTURA (cm)

ANCHO (cm)

LONGITUD (cm)

FUERZA (dyna)

DEFORMACION (cm)

RESI1

0,13

2,2

10

27000

0,75625

-1,7764E-15

0,17

2,2

10

27000

0,33668

-6,6613E-16

0,13

3

10

27000

0,55037

-1,4433E-15

0,17

3

10

27000

0,24619

-3,6082E-16

0,13

2,2

16

27000

3,0923

4,4409E-16

0,17

2,2

16

27000

1,3831

2,2204E-16

0,13

3

16

27000

2,2629

4,4409E-16

0,17

3

16

27000

1,0121

0

0,13

2,2

10

31000

0,86415

-9,992E-16

0,17

2,2

10

31000

0,38656

-4,996E-16

0,13

3

10

31000

0,63191

-1,2212E-15

0,17

3

10

31000

0,28266

-2,2204E-16

0,13

2,2

16

31000

3,5504

-4,4409E-16

0,17

2,2

16

31000

1,588

0

0,13

3

16

31000

2,5982

8,8818E-16

0,17

3

16

31000

0,99313

0

0,13

2,2

10

27000

0,75625

-1,7764E-15

0,17

2,2

10

27000

0,33668

-6,6613E-16

0,13

3

10

27000

0,55037

-1,4433E-15

0,17

3

10

27000

0,24619

-3,6082E-16

0,13

2,2

16

27000

3,0923

4,4409E-16

0,17

2,2

16

27000

1,3831

2,2204E-16

0,13

3

16

27000

2,2629

4,4409E-16

0,17

3

16

27000

1,0121

0

0,13

2,2

10

31000

0,86415

-9,992E-16

0,17

2,2

10

31000

0,38656

-4,996E-16

0,13

3

10

31000

0,63191

-1,2212E-15

0,17

3

10

31000

0,28266

-2,2204E-16

0,13

2,2

16

31000

3,5504

-4,4409E-16

0,17

2,2

16

31000

1,588

0

0,13

3

16

31000

2,5982

8,8818E-16

0,17

3

16

31000

0,99313

0

 

Tabla 8: Coeficientes codificados

Coeficientes codificados

Trmino

Efecto

Coef

EE del coef.

Valor T

Valor p

FIV

Constante

 

1,283

0,000

*

*

 

ALTURA

-1,0098

-0,5049

0,0000

*

*

1,00

ANCHO

-0,4225

-0,2112

0,0000

*

*

1,00

LONGITUD

1,5532

0,7766

0,0000

*

*

1,00

FUERZA

0,15689

0,07844

0,00000

*

*

1,00

ALTURA*ANCHO

0,13243

0,06622

0,00000

*

*

1,00

ALTURA*LONGITUD

-0,6221

-0,3111

0,0000

*

*

1,00

ALTURA*FUERZA

-0,08882

-0,04441

0,00000

*

*

1,00

ANCHO*LONGITUD

-0,2644

-0,1322

0,0000

*

*

1,00

ANCHO*FUERZA

-0,04831

-0,02415

0,00000

*

*

1,00

LONGITUD*FUERZA

0,08794

0,04397

0,00000

*

*

1,00

ALTURA*ANCHO*LONGITUD

0,07150

0,03575

0,00000

*

*

1,00

ALTURA*ANCHO*FUERZA

-0,011015

-0,005507

0,000000

*

*

1,00

ALTURA*LONGITUD*FUERZA

-0,06305

-0,03152

0,00000

*

*

1,00

ANCHO*LONGITUD*FUERZA

-0,03836

-0,01918

0,00000

*

*

1,00

ALTURA*ANCHO*LONGITUD*FUERZA

-0,014252

-0,007126

0,000000

*

*

1,00

 

Tabla 9: Resumen del modelo

Resumen del modelo

S

R-cuad.

R-cuad.
(ajustado)

R-cuad.
(pred)

0

100,00%

100,00%

100,00%

 

Tabla 10: Anlisis de varianza

Anlisis de varianza

Fuente

GL

SC Ajust.

MC Ajust.

Valor F

Valor p

Modelo

15

33,1068

2,2071

*

*

  Lineal

4

29,0805

7,2701

*

*

    ALTURA

1

8,1569

8,1569

*

*

    ANCHO

1

1,4280

1,4280

*

*

    LONGITUD

1

19,2987

19,2987

*

*

    FUERZA

1

0,1969

0,1969

*

*

  Interacciones de 2 trminos

6

3,9393

0,6565

*

*

    ALTURA*ANCHO

1

0,1403

0,1403

*

*

    ALTURA*LONGITUD

1

3,0962

3,0962

*

*

    ALTURA*FUERZA

1

0,0631

0,0631

*

*

    ANCHO*LONGITUD

1

0,5591

0,5591

*

*

    ANCHO*FUERZA

1

0,0187

0,0187

*

*

    LONGITUD*FUERZA

1

0,0619

0,0619

*

*

  Interacciones de 3 trminos

4

0,0854

0,0214

*

*

    ALTURA*ANCHO*LONGITUD

1

0,0409

0,0409

*

*

    ALTURA*ANCHO*FUERZA

1

0,0010

0,0010

*

*

    ALTURA*LONGITUD*FUERZA

1

0,0318

0,0318

*

*

    ANCHO*LONGITUD*FUERZA

1

0,0118

0,0118

*

*

  Interacciones de 4 trminos

1

0,0016

0,0016

*

*

    ALTURA*ANCHO*LONGITUD*FUERZA

1

0,0016

0,0016

*

*

Error

16

0,0000

0,0000

 

 

Total

31

33,1068

 

 

 

 

En base a el anlisis estadstico se establece la ecuacin que gobierna la deformacin en funcin de los parmetros de altura, ancho, longitud y fuerza, logrndose una funcin multivariable.

 

DEFORMACION (cm)

=

-15,81 + 123,7 ALTURA + 7,328 ANCHO + 1,625 LONGITUD + 0,000025 FUERZA
- 57,08 ALTURA*ANCHO - 12,63 ALTURA*LONGITUD - 0,001818 ALTURA*FUERZA
- 0,7476 ANCHO*LONGITUD - 0,000164 ANCHO*FUERZA + 0,000010 LONGITUD*FUERZA
+ 5,795 ALTURA*ANCHO*LONGITUD + 0,001586 ALTURA*ANCHO*FUERZA
+ 0,000123 ALTURA*LONGITUD*FUERZA + 0,000014 ANCHO*LONGITUD*FUERZA
- 0,000148 ALTURA*ANCHO*LONGITUD*FUERZA

 

De acuerdo con el diagrama de Pareto se puede analizar que el factor mas influyente en la deformacin de la viga longitud.

Pareto de los efectos para DEFORMACION (cm)

Figura 15: Diagrama de Pareto de la deformacin

 

 

Gráficas de residuos para DEFORMACION (cm)

Figura 16: Graficas de residuos de la deformacin

 

En base a la modelacin estadstica se puede predecir el comportamiento de la viga dado el parmetro de deformacin lo que permite disear la viga para un rango de necesidades lo que se observa en la tabla

 

Tabla 11: Parmetros para predecir el comportamiento de viga

Parmetros

Respuesta

Meta

Inferior

Objetivo

Superior

Ponderacin

Importancia

DEFORMACION (cm)

Objetivo

2,3

2,5

2,7

1

1

 

Con la ecuacin de optimizacin se puede generar respuestas pata cualquier valor objetivo de deformacin, se genera tres modelos de los cuales el primero muestra ser el ms adecuado tanto en forma constructiva como en resultados de deformacin.

 

Tabla 12: Soluciones del objetivo establecido

Soluciones

Solucin

ALTURA

ANCHO

LONGITUD

FUERZA

DEFORMACION (cm) Ajuste

Deseabilidad
compuesta

1

0,130000

2,96801

16,0000

29397,8

2,5

1

2

0,151411

2,20000

16,0000

31000,0

2,5

1

3

0,136004

2,25810

14,7613

28773,6

2,5

1

 

En base a las soluciones de la tabla 12 se verifican los resultados por medio de simulacin en el software ANSYS lo que se muestra en la tabla 13, obtenindose que el primer modelo es el que menos error de clculo posee.

 


Tabla 13: Simulacin en ANSYS para los resultados de la tabla 12

 

Anlisis multivariable

 

Tabla 14: Prediccin de respuesta mltiple

Prediccin de respuesta mltiple

Variable

Valor de
configuracin

 

ALTURA

0,13

 

ANCHO

2,96801

 

LONGITUD

16

 

FUERZA

29397,8

 

Respuesta

Ajuste

EE de ajuste

IC de 95%

IP de 95%

DEFORMACION (cm)

2,500

0,000

(2,500; 2,500)

(2,500; 2,500)

 

En la figura 15 se muestra la influencia de cada parmetro en la ecuacin del anlisis multivariable, donde se observa claramente que la mayor pendiente posee la longitud en funcin de la deformacin con lo que se establece que la longitud es la que mas influye para que se genere una mayor deformacin

Gráfica de optimización

Figura 17: Graficas de residuos de la deformacin

 

Las grficas de la figura 16 muestran que la ecuacin multivariable es adecuada y puede ser utilizada para el diseo de vigas en voladizo con una carga en el extremo siempre que cumpla con los rangos de altura, ancho, longitud y fuerza establecidos


Figura 18: Anlisis de la regresin mltiple de la deformacin


 

Conclusiones

Se ha verificado que el mtodo de elemento finito para genera resultados adecuados de la deformacin de una viga en voladizo.

El anlisis estadstico realizar el anlisis de experimentos y en base ha ello se ha generado un modelo matemtico que es capaz de predecir el comportamiento de una viga en voladizo

En base al anlisis estadstico se ha determinado que para las condiciones establecidas de la viga la variable que mas influye en el aumento de la deformacin es la longitud, mientras que la variable que menos influye es la fuerza

 

Referencias

1.              W. F. Riley y L. D. Sturges, Ingeniera Mecnica: Esttica (Revert, Barcelona, 1995).

2.              F. Belmar, A. Garmenda y J. Linares, Curso de Fsica Aplicada: Esttica (Universidad Politcnica de Valencia, 1987)

3.              M. R. Ortega, Lecciones de Fsica: Mecnica 3 (Edita el autor, Crdoba, 1987).

4.              A. Bedford y W. Fowler, Mecnica para Ingeniera: Esttica (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1987)

5.              L. Ortiz-Berrocal, Resistencia de Materiales (McGraw-Hill, Madrid, 1997).

6.              R. C. Hibbeler, Mecnica de Materiales (Prentice Hall, Mxico, 1998).

7.              A. Belndez, C. Neipp y T. Belndez, "Estudio experimental de una viga en voladizo'', Rev. Esp. Fis. 15 (3) 42-45 (2001).

8.              F. R. Zypman y C. Guerra-Vela, "The macroscopic scanning force `microscope''', Eur. J. Phys. 22, 17-30 (2001).

9.              Th. Hpfl, D. Sander y J. Kirschener, "Demonstration of different bending profiles of a cantilever caused by a torque or a force'', Am. J. Phys. 69, 1113-1115 (2001).

10.          T. Belndez, C. Neipp y A. Belndez, "Large and small deflections of a cantilever beam'', Eur. J. Phys. 23, 371-379 (2002).

11.          R. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, Fsica, Vol. II: Electromagnetismo y Materia (Addison-Wesley Iberoamericana, Mxico, 1987).

12.          M. Sathyamoorthy, Nonlinear Analysis of Structures (CRC Press, Boca Raton, 1998).

13.          K. Lee, "Large deflections of cantilever beams of non-linear elastic material under a combined loading'', Int. J. Non-linear Mech. 37, 439-443 (2002).

14.          K.-H. Chang, Product design modeling using CAD/CAE: the computer aided engineering design series. Academic Press, 2014.

15.          Z. Chen, Finite element methods and their applications. Springer Science & Business Media, 2005.

16.          H.-H. Lee, Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 18. SDC publications, 2018.

17.          E. M. Alawadhi, Finite element simulations using ANSYS. CRC Press, 2015.

 

 

 

 

2020 por los autores. Este artculo es de acceso abierto y distribuido segn los trminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribucin-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

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