������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������

An�lisis estad�stico para validar la simulaci�n por elemento finito en el dise�o a deformaci�n de una viga en voladizo

 

Statistical analysis to validate the finite element simulation in the deformation design of a cantilever beam

 

An�lise estat�stica para validar a simula��o de elementos finitos no projeto de deforma��o de uma viga cantilever

 

 

�Edwin Rodolfo Pozo-Safla ^I

saquino@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-8931-3577

 

S�crates Miguel Aquino-Arroba ^II

edwin.pozo@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-6393-9408

 

Marco Antonio Ordo�ez-Vi�an ^III

marco.ordonez@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-9255-3168

 

Correspondencia: saquino@espoch.edu.ec

Ciencias t�cnicas y aplicadas ���

Art�culo de investigaci�n

 

*Recibido: 10 de abril de 2021 *Aceptado: 03 de mayo de 2021 * Publicado: 01 de junio de 2021

                                I.            Magister en Dise�o Produccion y Automatizacion Industrial, Formaci�n de Formadores, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Facultad de Mec�nica, Riobamba, Ecuador.

                            II.            Magister en Dise�o Produccion y Automatizacion Industrial, Ingeniero Mecanico, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Facultad de Mec�nica, Riobamba, Ecuador.

                         III.            Magister en Eficiencia Energetica, Ingeniero Mecanico, Formaci�n de Formadores, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Facultad de Mec�nica, Riobamba, Ecuador. �

Resumen

En el presente trabajo se desarroll� el an�lisis de una viga en voladizo aplicando el m�todo de elemento finito por medio de un software CAE, de la simulaci�n CAE se generaron varios datos a distintas dimensiones de malla con lo cual se generan las deformaciones de la viga en voladizo con una carga aplicada en el extremo, con los datos de la deformaci�n se pudo analizar que la calidad de la malla sea la adecuada al verificarse el valor de �p�. Luego de verificada la calidad de la malla y por ende que la soluci�n por elemento finito es adecuada se realiz� un dise�o de experimento con la finalidad de obtener un modelo matem�tico que controle el dise�o de la viga para un rango de valores de altura, ancho, longitud y fuerza. Concluy�ndose que el an�lisis estad�stico es de gran ayuda a la simulaci�n por elemento finito para lograr resultados confiables y dando la capacidad de poder predecir el comportamiento de la viga para datos distintos adem�s de dar una gran cantidad de resultados estad�sticos que ayudan a definir que la variable m�s influyente para que se produzca una mayor deformaci�n es la longitud de la viga.

Palabras claves: Resistencia; viga; CAE; elemento finito; CAD.

 

Abstract

In the present work, the analysis of a cantilever beam was developed by applying the finite element method by means of a CAE software, from the CAE simulation several data were generated at different mesh dimensions with which the deformations of the beam were generated in cantilever with a load applied at the end, with the deformation data it was possible to analyze that the quality of the mesh is adequate by verifying the value of "p". After verifying the quality of the mesh and therefore that the finite element solution is adequate, an experiment design was carried out in order to obtain a mathematical model that controls the design of the beam for a range of values of height, width, length and strength. Concluding that the statistical analysis is of great help to the simulation by finite element to achieve reliable results and giving the ability to predict the behavior of the beam for different data in addition to giving a large number of statistical results that help define that the variable The most influential for greater deformation to occur is the length of the beam.

Keywords: Resistance; beam; FALLS OFF; finite element; CAD.

 

 

 

Res�mo

No presente trabalho, a an�lise de uma viga cantilever foi desenvolvida aplicando-se o m�todo dos elementos finitos por meio de um software CAE, a partir da simula��o CAE v�rios dados foram gerados em diferentes dimens�es de malha com os quais as deforma��es da viga foram geradas em cantilever com uma carga aplicada no final, com os dados de deforma��o foi poss�vel analisar que a qualidade da malha est� adequada verificando o valor de "p". Ap�s verificar a qualidade da malha e, portanto, se a solu��o dos elementos finitos � adequada, foi realizado um planejamento de experimento com o objetivo de obter um modelo matem�tico que controle o dimensionamento da viga para uma faixa de valores de altura, largura, comprimento e for�a. Concluindo que a an�lise estat�stica � de grande ajuda � simula��o por elemento finito para obten��o de resultados confi�veis e dando a capacidade de predizer o comportamento da viga para diferentes dados al�m de fornecer um grande n�mero de resultados estat�sticos que ajudam a definir que a vari�vel mais influente para que ocorra uma maior deforma��o � o comprimento da viga.

Palavras-chave: Resistance; feixe; CAI; elemento finito; cafajeste.

 

Introducci�n

Flexi�n en una viga en voladizo

Una viga es un cuerpo s�lido de forma alargada y secci�n transversal, de gran inter�s en ingenier�a, que normalmente se utilizan en posici�n horizontal y siendo su longitud grande comparada con las dimensiones de su secci�n transversal. Las vigas pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas o a pares (momentos concentrados) que act�en solos o en una combinaci�n cualquiera, siendo la flexi�n la principal deformaci�n que sufren [1].

Puede definirse una viga como un s�lido homog�neo e is�tropo engendrado por una secci�n transversal, que generalmente admite un plano de simetr�a y cuyo centro de gravedad describe una curva o l�nea, denominada directriz, siendo el plano que contiene a la secci�n transversal normal a dicha directriz [2], para las que se pueden obtener las reacciones de los apoyos a partir de las ecuaciones de la Est�tica, es decir, imponiendo las condiciones de que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos respecto a un punto tambi�n lo sea, para el an�lisis que vamos a considerar en este trabajo basta con el estudio de la viga flexionada que hace Feynman [11], al y suficiente para comprender el comportamiento de estos elementos constructivos cuando se someten a acciones externas.

Muchos problemas en Mec�nica de S�lidos pueden resolverse utilizando el an�lisis lineal [6], la soluci�n anal�tica suele ser complicada, por lo que es necesario recurrir a t�cnicas de soluci�n mediante m�todos num�ricos o mediante el m�todo de elementos finitos.

Para obtener la ecuaci�n de la curva el�stica z = z(x) es necesario conocer el momento flector M. Como ejemplo consideremos una viga empotrada en un extremo y libre en el otro, tambi�n conocida como viga en voladizo o m�nsula, sobre la que se aplica una fuerza concentrada F en el extremo libre y una fuerza P uniformemente distribuida a lo largo de la longitud de la viga (que puede ser, por ejemplo, el peso de la propia viga). La Figura 1 muestra una viga en voladizo de longitud L, secci�n rectangular constante, peso P uniformemente repartido a lo largo de su longitud y que soporta una carga concentrada F en el extremo libre. El momento flector es una funci�n de la coordenada x ya que es el momento con respecto al eje neutro de cualquier secci�n. Para la viga en voladizo considerada, el momento flector MF debido a la carga puntual F aplicada en el extremo de la viga respecto a la secci�n situada a una distancia x del empotramiento puede calcularse f�cilmente mediante la ecuaci�n [7, 11], en base a ese valor se puede establecer el valor de la deformaci�n en el eje Y.

MF(x)=F(L-x)

����������������������� �

Figura 1: (a) Flexi�n de una viga en voladizo de secci�n rectangular con carga en la extrema.

(b) El�stica de la viga en voladizo

 

Modelado CAD

Dentro de la concepci�n de dise�o moderno es de gran importancia el uso de herramientas CAD, que por medio del uso del ordenador se pueden crear elementos virtuales de forma bidimensional o tridimensional, en la Figura 2 se indica el concepto de dise�o de un prototipo, donde se realiza primero la forma del modelo s�lido con la utilizaci�n de herramientas CAD que es el dibujo asistido por computadora. El prototipo inicial casi siempre se establece en funci�n de la experiencia del dise�ado, el modelo virtual se respalda del dise�o conceptual tomada del estado del arte. Adem�s, con un sistema integrado de la herramienta CAD puede generar directamente un modelo s�lido del dise�o conceptual que sirva exclusivamente para las simulaciones de dise�o y fabricaci�n.

�

Figura 2: Modelo CAD, 3D de un equipo

 

Hay que considerar, un an�lisis unidireccional que rige los cambios de modelos CAD a modelos de simulaci�n debe ser establecido para actualizaciones r�pidas de modelos de simulaci�n. El an�lisis mantiene la coherencia entre los modelos de simulaci�n y CAD, que es lo que hoy se conoce como el paradigma de dise�o moderno que se observa en la Figura 3.

��

Figura 3:� El paradigma del dise�o

 

Simulaci�n con software CAE

El m�todo de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en ingl�s) es un m�todo num�rico general para la aproximaci�n de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingenier�a y f�sica. [14]

El an�lisis de elementos finitos (FEA), se basa en la idea de construir un objeto complicado con bloques simples, o dividir un objeto complicado en piezas m�s peque�as y manejables. La aplicaci�n de esta simple idea se puede encontrar en cualquier lugar de la vida cotidiana. El FEA se puede aplicar para resolver los modelos matem�ticos de muchos problemas de ingenier�a, desde el an�lisis de tensi�n de estructuras de armazones y armazones o m�quinas complicadas, hasta respuestas din�micas bajo diferentes mecanismos. El MEF est� pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema f�sico sobre geometr�as complicadas. El MEF se usa en el dise�o y mejora de productos y aplicaciones industriales, as� como en la simulaci�n de sistemas f�sicos y biol�gicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito b�sico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evoluci�n temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

La ingenier�a asistida por computadora (CAE, del ingl�s Computer Aided Engineering) es la disciplina que se encarga del conjunto de programas inform�ticos que permiten analizar y simular los dise�os de ingenier�a realizados con el ordenador y basados en m�todos como elemento finito, vol�menes finitos, etc. Se usan para valorar sus caracter�sticas, propiedades, viabilidad, y rentabilidad. Su finalidad es optimizar su desarrollo y consecuentes costos de fabricaci�n, y reducir al m�ximo las pruebas para la obtenci�n del producto deseado. En la concepci�n moderna del dise�o de un producto se establece el obtener un modelo virtual por medio de un software CAD luego se analiza sus condiciones de carga a las que trabaja mediante una simulaci�n con software CAE para finalmente llegar a su manufactura. Un esbozo del proceso de desarrollo de productos asistido por ordenador se muestra en la figura. [15]

�

 

 

 

Figura 4:� Desarrollo de productos asistidos por computador

 

En las �ltimas d�cadas, muchos programas comerciales han estado disponibles para realizar la FEA. Entre una amplia gama de soluciones de simulaci�n de elementos finitos provistas por las principales compa��as de CAE, ANSYS� Workbench es una plataforma f�cil de usar dise�ada para integrar a la perfecci�n la tecnolog�a. Ofrece conexi�n bidireccional a los principales sistemas CAD. El entorno Workbench est� orientado a mejorar la productividad y la facilidad de uso entre los equipos de ingenier�a. Ha mejorado como una herramienta indispensable para el desarrollo de productos en un n�mero creciente de empresas y centros de investigaci�n, encontrando aplicaciones en diversos campos de la ingenier�a.

�

Figura 5: Entorno de trabajo de ANSYS Workbench

 

Dise�o Estad�stico de Experimentos

Una prueba o serie de pruebas en las cuales se introducen cambios deliberados en las variables de entrada que forman el proceso, de manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios en la variable de salida.

�

Figura 6: Variables que forman el proceso

 

El Dise�o Estad�stico de Experimentos (DEE), tambi�n denominado dise�o experimental, como una metodolog�a basada en �tiles matem�ticos y estad�sticos cuyo objetivo es ayudar al experimentador a:

1.      Seleccionar la estrategia experimental �ptima que permita obtener la informaci�n buscada con el m�nimo coste.

2.      Evaluar los resultados experimentales obtenidos, garantizando la m�xima fiabilidad en las conclusiones que se obtengan.

Las situaciones en las que se puede aplicar el DEE son muy numerosas. De forma general, se aplica a sistemas como el mostrado en la Figura 7, en los cuales se observan una o m�s variables experimentales dependientes o respuestas (y) cuyo valor depende de los valores de una o m�s variables independientes (x) controlables llamadas factores. Las respuestas adem�s pueden estar influidas por otras variables que no son controladas por el experimentador. La relaci�n entre x e y no tiene porqu� ser conocida.

�

Figura 7:� Representaci�n de un sistema en estudio en DDE: factores (x), respuestas (y)

 

La experimentaci�n en sistemas como el descrito en la Figura 7 suele perseguir uno de los siguientes objetivos:

-          Obtener un conocimiento inicial sobre un nuevo sistema en estudio. �En qu� valores de los factores se puede centrar la investigaci�n?

-          Determinar la influencia de los factores sobre las respuestas observadas. De entre todos los factores que afectan al proceso, �cu�les influyen m�s?, �c�mo interaccionan entre ellos?

-          Optimizar respuestas. �Qu� valores de los factores proporcionan las respuestas de mayor calidad?

�        Determinar la robustez del sistema. �Como afectan a la respuesta variaciones no controladas en el valor de los factores?

 

Materiales y M�todos

Aplicaci�n del dise�o de experimentos

La aplicaci�n del dise�o de experimentos requiere considerar las siguientes etapas que se comentar�n a continuaci�n:

1.      Comprender el problema y definir claramente el objetivo.

2.      Identificar los factores que potencialmente podr�an influir en la funci�n objetivo, y los valores que �stos pueden tomar. Entre estos valores se buscar� la informaci�n necesaria.

3.      Establecer una estrategia experimental, llamada plan de experimentaci�n.

4.      Efectuar los experimentos con los valores de los factores decididos en el punto 3 para obtener los valores de las respuestas estudiadas.

5.      Responder las preguntas planteadas, sea directamente, sea utilizando un modelo matem�tico. Si es necesario, volver a la etapa 1.

El experimento factorial permite observar el efecto que tiene cada variable independiente sobre la variable dependiente, as� como el efecto que tienen las interacciones entre estas variables. Se deben definir los factores y niveles del experimento. Un factor es cualquier influencia que pueda afectar a la variable de respuesta y que sea controlada por el experimentador. Los niveles son las categor�as o intensidades que tiene cada factor previamente establecido.

 

Definici�n del CAD de la viga

El elemento CAD para realizar la simulaci�n de la viga se obtuvo por medio de la aplicaci�n de un software, por lo tanto, es importante tener la geometr�a totalmente definida, en la figura 6 se muestra la viga para el an�lisis, la que contiene el material adecuado, restricciones y condiciones de carga a las que est� sometida para encontrar valores de deformaci�n estructural.

�

Figura 8: F�rula para el an�lisis.

 

Simulaci�n por medio de elemento finito de la viga.

El proceso de simulaci�n aplicando el m�todo de elemento debe seguir el proceso mostrado en la Figura 9.

�

 

 

Figura 9: Secuencia de simulaci�n en software CEA.

 

Pre proceso

Definici�n de propiedades mec�nicas del material

La figura 10 muestra las consideraciones de las propiedades mec�nicas del PVC, con las que se realiza la simulaci�n en el software; utilizando el m�todo de elemento finito. [5]

�

Figura 10: Propiedades mec�nicas del PVC.

 

Definici�n de calidad de la Malla

Seg�n la aplicaci�n del m�todo de elemento finito se establece la discretizaci�n del medio f�sico o continuo para conseguir un n�mero finito de puntos de an�lisis. Con el objetivo de observar la influencia de la discretizaci�n se generan varios modelos con distintos tipos de mallado que permitan construir un modelo de malla con buena calidad y as� obtener buenos resultados como se observa en la Figura 11.� [14]

������ �

Figura 11: Propiedades del mallado.

 

Definici�n del modelo de f�rula para simulaci�n

Los diagramas de cuerpo libre (DCL) se grafican para ayudar a identificar las fuerzas y los momentos que act�an sobre partes individuales de un sistema y para aplicar el uso correcto de las ecuaciones de la mec�nica y para analizar el problema. Para este objetivo, los elementos que constituyen un sistema est�n aisladas de su entorno y los efectos del entorno son reemplazados por fuerzas y momentos apropiados. [14]

En la Figura 12 se muestra la generaci�n del modelo f�sico de acuerdo a las cargas de reacci�n y condiciones de frontera como son las restricciones de movimientos.

��

Figura 12:� Asignaci�n de cargas y restricciones.

 

Proceso de simulaci�n

El ordenador genera el proceso de c�lculo en base a las ecuaciones de energ�a de distorsi�n que son parte de resoluci�n del software Ansys Mechanical: en el proceso se muestra gr�ficas en las que se puede analizar la convergencia de la soluci�n en funci�n al cambio de malla vs deformaci�n o esfuerzo de Vonn Misses. Uno de los factores importantes es el n�mero de iteraciones que permitir� conducir a una mayor confiablidad de los resultados.

�

Figura 13: Resoluci�n matem�tica

 

�Post proceso

Ansys Mechanical genera como resultado de su simulaci�n las deformaciones en las diferentes direcciones del modelo lo que permite observar el comportamiento de la viga, permitiendo analizar el funcionamiento de la viga sin necesidad de la construcci�n. Sin embargo, estos resultados deben ser validados de ser posible con un modelo f�sico y ensayos en laboratorio de resistencia de materiales, etc.

�

Figura 13: Resultados de la simulaci�n

 

Discusi�n y Resultados

Validaci�n estad�stica de la simulaci�n por elemento finito

Para la validaci�n estad�stica del an�lisis por elemento finito se establece un an�lisis del tama�o de malla en funci�n de la deformaci�n para el valor de la fuerza aplicada.

 

Tabla 1: Variaci�n de la malla en funci�n de la deformaci�n.

 

En base a los datos de la tabla 1 se realiza el an�lisis estad�stico que se muestra en la Figura 12.

����������� �

Figura 14: An�lisis de la deformaci�n

 

En la tabla 2 y 3 se muestra el an�lisis de la hip�tesis

 

Tabla 2: Estad�sticas descriptivas

Estad�sticas descriptivas

μ: media de Deformaci�n (cm)

Desviaci�n est�ndar conocida = 0,00053

 

Tabla 3: Prueba de la hip�tesis

Prueba

 

Con la finalidad de generar un mejor an�lisis de la hip�tesis debido a las variaciones decimales de la deformaci�n se establece 0,9928 cm, con lo que se obtiene los siguientes resultados.

En la tabla 4 y 5 se muestra el an�lisis de la hip�tesis

 

Tabla 4: Estad�sticas descriptivas

Estad�sticas descriptivas

μ: media de Muestra

Desviaci�n est�ndar conocida = 0,00053

 

Tabla 5: Prueba de la hip�tesis

Prueba

 

En base a los resultados de la tabla 4 y 5 se determina que la simulaci�n por elemento finito cumple con la hip�tesis, garantiz�ndose los resultados de simulaci�n.

 

Dise�o de experimento para una viga en voladizo

Se genera un dise�o experimental donde las variables que poseen condiciones de un rango de inicio y fin son:

Altura

Ancho

Longitud

Fuerza

Mientras que la deformaci�n es medida por medio de un proceso de simulaci�n

 

Tabla 6: Resumen de dise�o.

Resumen del dise�o

 

Tabla 7: Dise�o factorial completo del experimento

 

Tabla 8: Coeficientes codificados

Coeficientes codificados

 

Tabla 9: Resumen del modelo

Resumen del modelo

 

Tabla 10: An�lisis de varianza

An�lisis de varianza

 

En base a el an�lisis estad�stico se establece la ecuaci�n que gobierna la deformaci�n en funci�n de los par�metros de altura, ancho, longitud y fuerza, logr�ndose una funci�n multivariable.

 

 

De acuerdo con el diagrama de Pareto se puede analizar que el factor mas influyente en la deformaci�n de la viga longitud.

�

Figura 15: Diagrama de Pareto de la deformaci�n

 

 

Figura 16: �Graficas de residuos de la deformaci�n

 

En base a la modelaci�n estad�stica se puede predecir el comportamiento de la viga dado el par�metro de deformaci�n lo que permite dise�ar la viga para un rango de necesidades lo que se observa en la tabla

 

Tabla 11: Par�metros para predecir el comportamiento de viga

Par�metros

 

Con la ecuaci�n de optimizaci�n se puede generar respuestas pata cualquier valor objetivo de deformaci�n, se genera tres modelos de los cuales el primero muestra ser el m�s adecuado tanto en forma constructiva como en resultados de deformaci�n.

 

Tabla 12: Soluciones del objetivo establecido

Soluciones

 

En base a las soluciones de la tabla 12 se verifican los resultados por medio de simulaci�n en el software ANSYS lo que se muestra en la tabla 13, obteni�ndose que el primer modelo es el que menos error de c�lculo posee.

 

Tabla 13: Simulaci�n en ANSYS para los resultados de la tabla 12

 

An�lisis multivariable

 

Tabla 14: Predicci�n de respuesta m�ltiple

Predicci�n de respuesta m�ltiple

 

En la figura 15 se muestra la influencia de cada par�metro en la ecuaci�n del an�lisis multivariable, donde se observa claramente que la mayor pendiente posee la longitud en funci�n de la deformaci�n con lo que se establece que la longitud es la que mas influye para que se genere una mayor deformaci�n

�

Figura 17: Graficas de residuos de la deformaci�n

 

Las gr�ficas de la figura 16 muestran que la ecuaci�n multivariable es adecuada y puede ser utilizada para el dise�o de vigas en voladizo con una carga en el extremo siempre que cumpla con los rangos de altura, ancho, longitud y fuerza establecidos

�

Figura 18: An�lisis de la regresi�n m�ltiple de la deformaci�n

 

Conclusiones

Se ha verificado que el m�todo de elemento finito para genera resultados adecuados de la deformaci�n de una viga en voladizo.

El an�lisis estad�stico realizar el an�lisis de experimentos y en base ha ello se ha generado un modelo matem�tico que es capaz de predecir el comportamiento de una viga en voladizo

En base al an�lisis estad�stico se ha determinado que para las condiciones establecidas de la viga la variable que mas influye en el aumento de la deformaci�n es la longitud, mientras que la variable que menos influye es la fuerza ��

 

Referencias

1.              W. F. Riley y L. D. Sturges, Ingenier�a Mec�nica: Est�tica (Revert�, Barcelona, 1995).�������

2.              F. Belmar, A. Garmend�a y J. Linares, Curso de F�sica Aplicada: Est�tica (Universidad Polit�cnica de Valencia, 1987)�������

3.              M. R. Ortega, Lecciones de F�sica: Mec�nica 3 (Edita el autor, C�rdoba, 1987).�������

4.              A. Bedford y W. Fowler, Mec�nica para Ingenier�a: Est�tica (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1987)�������

5.              L. Ortiz-Berrocal, Resistencia de Materiales (McGraw-Hill, Madrid, 1997).�������

6.              R. C. Hibbeler, Mec�nica de Materiales (Prentice Hall, M�xico, 1998).�������

7.              A. Bel�ndez, C. Neipp y T. Bel�ndez, "Estudio experimental de una viga en voladizo'', Rev. Esp. Fis. 15 (3) 42-45 (2001).�������

8.              F. R. Zypman y C. Guerra-Vela, "The macroscopic scanning force `microscope''', Eur. J. Phys. 22, 17-30 (2001).�������

9.              Th. H�pfl, D. Sander y J. Kirschener, "Demonstration of different bending profiles of a cantilever caused by a torque or a force'', Am. J. Phys. 69, 1113-1115 (2001).�������

10.          T. Bel�ndez, C. Neipp y A. Bel�ndez, "Large and small deflections of a cantilever beam'', Eur. J. Phys. 23, 371-379 (2002).�������

11.          R. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, F�sica, Vol. II: Electromagnetismo y Materia (Addison-Wesley Iberoamericana, M�xico, 1987).�������

12.          M. Sathyamoorthy, Nonlinear Analysis of Structures (CRC Press, Boca Raton, 1998).�������

13.          K. Lee, "Large deflections of cantilever beams of non-linear elastic material under a combined loading'', Int. J. Non-linear Mech. 37, 439-443 (2002).�������

14.          K.-H. Chang, Product design modeling using CAD/CAE: the computer aided engineering design series. Academic Press, 2014.

15.          Z. Chen, Finite element methods and their applications. Springer Science & Business Media, 2005.

16.          H.-H. Lee, Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 18. SDC publications, 2018.

17.          E. M. Alawadhi, Finite element simulations using ANSYS. CRC Press, 2015.

 

 

 

 

� 2020 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/)