���������������������������������������������������������������������������������

 

Combinaci�n de m�todos: an�lisis de correspondencia, simple y m�ltiple bajo el enfoque de correlaciones can�nicas. Clases latentes

 

Combination of methods: correspondence analysis, simple and multiple under the canonical correlation approach. Latent classes

�

Combina��o de m�todos: an�lise de correspond�ncia, simples e m�ltipla sob a abordagem de correla��o can�nica. Classes latentes

 

Yoel Hern�ndez-Navarro ^I

yoel.hernandez@uta.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-0178-4949

 

 

Jes�s E. S�nchez-Garc�a ^II

jesanch64@yahoo.com

https://orcid.org/0000-0001-8137-2882

�

 

Correspondencia: yoel.hernandez@uta.edu.ec

 

 

Ciencias t�cnicas y aplicadas

Art�culo de investigaci�n

 

�����������������������������������������������������

*Recibido: 05 de julio de 2020 *Aceptado: 20 de agosto 2020 * Publicado: 07 de septiembre de 2020

 

 

 

 

        I.            M�ster en Ciencias Matem�ticas Menci�n Probabilidades y Estad�sticas, Licenciado en Educaci�n en la Especialidad de Matem�tica Computaci�n, Investigador Independiente, Ecuador.

     II.            Investigador Independiente, Ecuador.

Resumen

Se presentan diversos m�todos asociados al an�lisis de datos categ�ricos. Se hace una extensa descripci�n de las posibilidades de vinculaci�n entre ellos, especialmente del An�lisis de las Correspondencias con los dem�s.

Palabras Claves: An�lisis de las correspondencias; An�lisis de las frecuencias de configuraciones; an�lisis de clases latentes.

 

Abstract

Various methods associated with the analysis of categorical data are presented. An extensive description is made of the possibilities of linking them, especially the Analysis of Correspondences with others.

Keywords: Analysis of the correspondences; Analysis of the frequencies of configurations; latent class analysis.

 

Resumo

V�rios m�todos associados � an�lise de dados categ�ricos s�o apresentados. � feita uma extensa descri��o das possibilidades de vincul�-los, especialmente a An�lise de Correspond�ncias com outras.

Palavras-chave: An�lise das correspond�ncias; An�lise das frequ�ncias das configura��es; an�lise de classe latente.

 

Introducci�n

El an�lisis de datos categ�ricos ha experimentado un extraordinario desarrollo en los �ltimos a�os. El creciente proceso de matematizaci�n de las investigaciones en ciencias sociales, as� como el establecimiento de formas t�picas de an�lisis para datos provenientes de la psicolog�a y la medicina, ha hecho que muchos estad�sticos se hayan vuelto hacia el trabajo en este campo, que, hasta hace muy poco, era un coto casi exclusivo de especialistas de otras disciplinas con intereses y conocimientos suficientes como para embarcarse en este tipo de estudio.

Lo anterior se refleja en la gran cantidad de art�culos sobre la tem�tica del uso de la estad�stica en las ciencias sociales que aparece en publicaciones de esas disciplinas, mientras que la mayor�a de las revistas de estad�stica han ignorado todo lo que se ha venido realizando en tem�ticas que son, por su naturaleza, propias de ella.

Un ejemplo de que los estad�sticos han comenzado a trabajar en serio en las tem�ticas de datos categ�ricos lo constituye el libro Statistics for the 21st Century (2000), editado por C. R. Rao y G�borJ. Sz�kely, que incluye un conjunto de art�culos por renombrados autores.

En este trabajo se pretende hacer una recopilaci�n de los aspectos fundamentales de trabajo con datos categ�ricos desde el punto de vista de la mejora en la interpretaci�n, de modo que se logre una potenciaci�n de la capacidad de comprensi�n del analista. Los art�culos est�n dispersos, como se dijo anteriormente, en muchas revistas de otras especialidades; en algunos casos, la terminolog�a es propia y se hace necesario su identificaci�n con los conceptos estad�sticos reconocidos. Sin �nimo de que este trabajo sea un "estado del arte", s� se quiso que los interesados tuvieran reunidos los puntos esenciales del desarrollo m�s reciente y dar, de una forma preliminar, la opini�n de los autores acerca del trabajo con los m�todos propuestos.

 

Representaci�n de datos categ�ricos

En esta secci�n se presentan las dos formas habituales en que se representan los datos categ�ricos.

Tablas de contingencia

La forma usual de presentaci�n de datos categ�ricos es a trav�s de una tabla de contingencia. Con vistas a una mejor comprensi�n �sta se definir� mediante un ejemplo.

Sea un grupo de individuos a los cuales se les miden dos atributos: el color de los ojos (categor�as: Azules, Verdes y Pardos) y tama�o de los mismos (Categor�as: normal o grande).

 

Tabla 1: Ejemplo de tabla de contingencia

 

 

Forma matricial

Dada la tabla de contingencia, se puede definir las categor�as de las variables que la conforman como variables mudas (dummy). A las cuales se les da valor 1 si la categor�a est� presente y 0 si no. Al hacer este procedimiento se convierte esta tabla en una matriz, de modo que en las columnas tenemos las categor�as de las variables de la tabla y en las filas, a los individuos de la muestra.

Esta matriz se puede ver como una matriz particionada por columnas. Por ejemplo, en el caso de una tabla de contingencia de doble entrada, se define dos conjuntos de variables.

Para la mejor comprensi�n de lo que se acaba de explicar, se utilizar� nuevamente la tabla (1).

Por ejemplo:

Los (10) sujetos que tienen tama�o normal y ojos azules ( 1 0 0 1 0 )

Los (5) sujetos que tienen tama�o normal y ojos verdes ( 0 1 0 1 0 )

Los (20) sujetos que tienen tama�o normal y ojos pardos ( 0 0 1 1 0 )

as� sucesivamente.

De este modo, se obtienen 6 perfiles de respuestas y el tama�o de la matriz quedar�a

 

 

En este trabajo se le llamar� a este tipo de matrices indicadoras.

 

Algunos m�todos asociados al an�lisis de tablas de contingencia

El an�lisis de las correspondencias (AC)

El an�lisis de las correspondencias (Benz�cri, 1973; Greenacre, 1984) es una t�cnica estad�stica que se utiliza para representar, desde un punto de vista gr�fico, las relaciones de dependencia e independencia de un conjunto de variables categ�ricas a partir de los datos de una tabla de contingencia. Existen dos tipos de an�lisis de correspondencias:

Simple: cuando se trabaja con 2 dimensiones.

M�ltiple: cuando se trabaja con m�s de 2 dimensiones.

A continuaci�n, se explicar� cada uno de ellos.

An�lisis de las correspondencias simples (ACS)

Sean A y B variables categ�ricas. Se desea analizar la asociaci�n entre ellas. En lo que sigue se utilizar� la representaci�n matricial de las tablas de contingencia.

Las respuestas a las preguntas de las 2 variables (A y B) se codifican en las matrices indicadoras Z₁ y Z₂ respectivamente, cuyas columnas son variables dummy. La tabla de contingencia (1) no es m�s que el producto Z₁^TZ₂ de las matrices indicadoras.

Sean los vectores S₁ y S₂ que contienen los valores propuestos para las categor�as de las dos variables. A partir de aqu�, queda claro que los vectores Z₁S₁ y Z₂S₂ contienen las respuestas individuales cuantificadas.

La media centrada de las respuestas cuantificadas se puede escribir como:

 

 

Adem�s, la covarianza S12 entre las dos variables y las varianzas v_1^2 y v_2^2 se obtienen;

 

��������� y��������

 

Donde �es la matriz de correspondencia que contiene las frecuencias relativas y �y �son las matrices diagonales de las frecuencias relativas marginales (masas) de las dos variables. El coeficiente de correlaci�n es igual a:

 

 

La ecuaci�n anterior se obtuvo para los valores dados a los atributos. Sin embargo, se puede suponer que estos valores son desconocidos y se transforma el problema en la b�squeda de las escalas que maximizan la correlaci�n. Est� claro que ese problema no es m�s que el objetivo del an�lisis de las correlaciones can�nicas (ACC) . En la secci�n siguiente se presentar� el desarrollo del ACS a partir de esta noci�n.

A la luz de las consideraciones anteriores, se incorporan al problema las condiciones de identificaci�n propias del ACC que son: utilizar las variables estandarizadas (media cero y varianza 1).

 

��������� y���� ����

 

con estas condiciones se muestra que la soluci�n �ptima coincide con las coordenadas est�ndar de las categor�as de respuestas sobre la primera dimensi�n principal del (ACS) de la tabla original.

 

El an�lisis de las correspondencias simples con un enfoque de correlaciones can�nicas

Goodman (2000) hace una presentaci�n abarcadora de este enfoque y en lo que sigue se tratar�n sus aspectos fundamentales. Este trabajo est� restringido a las tablas de contingencia de doble entrada.

 

Sea la tabla I x J, para cada casilla se cumple que:

 

���������������������������������������������������� (3.1)

 

donde π_i y π_j son las distribuciones marginales de las filas y las columnas.

La ecuaci�n (3.1) es el modelo con independencia estad�stica, entre las clasificaciones de las filas y las clasificaciones de las columnas en la tabla de contingencia.

�C�mo analizar la dependencia? Goodman (2000) propone el siguiente esquema:

 

������������� �(3.2)

 

Donde M= min (I,J) - 1, y los puntajes de las filas x_im (m=l, �, M) y los de las columnas y_jm, (m= 1, ..., M) son los coeficientes de las combinaciones lineales que satisfacen las siguientes condiciones:

 

������ (3.2)

 

para m = m'. Los coeficientes x_im y y_jm en el modelo (3.2) son los puntajes estandarizados para las categor�as de las filas (i = 1,...,I) y las categor�as de las columnas (j = 1,...,J), respectivamente, correspondientes a la m-�sima componente (m = 1,...,M) en el t�rmino derecho del modelo (3.2). Los puntajes de filas diferentes est�n incorrelacionados; lo mismo ocurre con los de las columnas. El par�metro en el modelo (3.2) es la medida de la correlaci�n entre los puntajes de las filas y las columnas (x_im y y_jm), que se calcula.

 

 

�(3.3)

 

para m = 1, �, M,� en el modelo (3.2). Los par�metros de la correlaci�n se ordenan como���������������������������������������

 

Los puntajes de las filas y las columnas, x_i1, y_j1, en el modelo (3.2) son los puntajes estandarizados que maximizan la correlaci�n ρ_1 y as� sucesivamente.

El modelo (3.2) es una representaci�n de la asociaci�n en tablas de contingencias por la v�a del an�lisis de correlaciones can�nicas. En este contexto, el coeficiente ρ_1, es la primera correlaci�n can�nica entre las combinaciones lineales �y , donde x_i1 y y_j1 son los coeficientes asociados a la correlaci�n can�nica y X_� y Y_j son las variables mudas de la matriz construida en el sentido del ac�pite anterior.

 

Definici�n de una medida de no independencia

Goodman (2000) define λ_ij, como la contingencia de Pearson, de la forma siguiente:

 

����������� ����������� (3.4)

 

El modelo (1.4) satisface las siguientes condiciones:

 

�(3.4)

 

Si se despeja el t�rmino en (3,2) se llega a:

 

�(3.5)

 

Con lo que se ve que la contingencia de Pearson mide tambi�n la asociaci�n entre las variables de la tabla de contingencia.

 

 

Relaci�n con caracter�sticas b�sicas del ACS

Goodman (2000) define la contingencia cuadr�tica media como una medida global de la asociaci�n en una tabla de contingencia de la forma siguiente:

�

 

A partir de esta definici�n y con la aplicaci�n de las propiedades de (3.2) se tiene:

 

 

Esta relaci�n es fundamental para la justificaci�n del enfoque, porque (3.7) no es m�s que la inercia total del an�lisis de las correspondencias.

De igual forma, siguiendo las ideas de van der Heijden et al. (1999) se tiene al sumar los elementos de la tabla de contingencia seg�n (3.2):

 

 

Que establece una importante relaci�n entre la X2 Y la inercia total asociada al an�lisis de las correspondencias.

 

El An�lisis de las Correspondencias M�ltiples (ACM)

Despu�s de haber visto lo anterior puede pasarse ahora a una posible generalizaci�n del AC al caso multivariado.

Sean P variables categ�ricas, cuantificadas en Z₁, Z₂, ... ,Z_p matrices indicadoras. El problema consiste en buscar los valores escalas s₁, s₂, ... , s_p para las variables de modo que se maximicen un conjunto de medidas de correlaci�n.

Al igual que en el ACS (2 variables) , la medida seleccionada es la suma de correlaciones al cuadrado de las puntuaciones individuales Z₁s₁, Z₂s₂, � , Z_ps_p con la suma de puntajes Z_i, donde Z y s son las concatenaciones de Z q' s y s q' s respectivamente.

S^TD s = l es la identificaci�n general.

 

 

la varianza individual S^T_p D_p s_p no necesariamente es 1 en la soluci�n final como en el caso de P= 2

 

Para alcanzar la soluci�n se tienen dos v�as:

1.      AC a la matriz s�per indicadora Z = [Z, �, Z_p]. Las dimensiones de esta matriz son n x J , donde�����������������������������

 

La matriz de correspondencias es , la matriz de las masas de las filas es �y la matriz columna de las masas es D.

 

Luego la DVS para calcular la soluci�n del AC de Z (no centrada) es:

 

 

An�lisis centrado:

 

donde es el vector de las masas de filas y 1^TD es el vector de las masas de las columnas de la matriz indicadora denotado por C^Ten el ACS).

 

2.      AC aplicado a la matriz d� Burt (Benz�cri, 1992). Para la definici�n de la matriz de Burt se trabajar� con 3 variables categ�ricas con I, J y K categor�as, respectivamente. La generalizaci�n a m�s variables es inmediata. La matriz de Burt tiene la forma siguiente:

�         Los bloques diagonales son matrices diagonales, uno para cada variable; sus elementos en la diagonal son del tipo

�         Los bloques no diagonales son matrices que contiene las sumas marginales de dos variables cada vez, por ejemplo, para el caso de I y J:

 

La matriz de Burt es cuadrada y su dimensi�n es J x J . La aplicaci�n- del ACS a la matriz de Burt produce una descomposici�n de cada una de las submatrices:

donde

ρ_m>0

 

 

�(La simultaneidad se aprecia en . la aparici�n reiterada de las coordenadas).

El an�lisis de las correspondencias m�ltiples con un enfoque de correlaciones can�nicas

En analog�a a lo que se present� con respecto al ACS, tambi�n existe una manera de definir el ACM mediante una generalizaci�n del ACC. En lo que sigue se presenta a grandes rasgos las ideas de Tenenhaus & Young (1985).

La idea b�sica es la aplicaci�n de la generalizaci�n del an�lisis de correlaciones can�nicas (Horst, 1961). Para ello se considera cada partici�n de la matriz de variables dummy como una submatriz y se plantea maximizar la suma de las correlaciones al cuadrado entre los datos rescalados y el escalamiento de los sujetos. Esto es:

 

 

donde Z_j es la submatriz indicadora correspondiente a la variable categ�rica j. ϕ^h, h=1, � , m; normalizados (es el valor del vector dividido entre la ra�z cuadrada del valor propio correspondiente) e incorrelacionados y ψ^h, h=1, � , m; normalizados e incorrelacionados.

En Tenenhaus & Young (1985) se demuestra que la soluci�n �ptima del problema anterior es precisamente, los factores del an�lisis de las correspondencias m�ltiples y que el valor en el �ptimo es:

 

En ese mismo trabajo, Tenenhaus & Young (1985) demuestran que el an�lisis de las correspondencias m�ltiples de variables binarias es equivalente al an�lisis de componentes principales de las matrices indicadoras normalizadas.

Este resultado es importante desde el punto de vista de la obtenci�n de los valores de los factores, ya que el an�lisis de componentes principales es de f�cil realizaci�n.

El an�lisis de clases latentes

El an�lisis de clases latentes (Lazarsfeld, 1950; Lazarsfeld y Henry, 1968) es un m�todo de an�lisis factorial, cuya caracter�stica m�s importante es que la variable latente es nominal u ordinal, por lo que su efecto es el d� clasificar los individuos en clases. A continuaci�n, se dan los elementos esenciales del m�todo sobre la base del an�lisis para una tabla de doble entrada. La generalizaci�n a m�s categor�as no ofrece ninguna dificultad.

Consid�rese una tabla de contingencia H con I filas y J columnas, de modo que en sus casillas se tengan las frecuencias relativas. Esto es:

 

 

Si se considera v�lido el modelo de T clases latentes para una tabla de contingencia, se puede escribir:

(3.10)

donde , es la probabilidad de que una observaci�n caiga en la clase latente t (tambi�n se le llama el tama�o de la clase t); y son las probabilidades condicionales que dan la probabilidad de estar en la categor�a i o j respectivamente dado que la observaci�n est� en la clase latente t.

La generalizaci�n del ACL a m�s de dos variables manifiestas es directa. La exposici�n de la misma se har� con el ejemplo de 3 variables.

El ACL para tres clases no es m�s que:

 

������������������������� (3.11)

 

y las restricciones:

 

con A, B y C las variables manifiestas y Q la variable latente.

De igual forma que en el caso bivariado, en este tambi�n se pueden rescalar los par�metros con la misma interpretaci�n que ya se analiz�.

 

El an�lisis de las frecuencias de las configuraciones

El an�lisis de las frecuencias de las configuraciones (AFC) (Lienert, 1969, Krauth & Lienert, 1973) es un m�todo en el que se buscan las combinaciones de rasgos o s�ntomas que se presentan con una mayor frecuencia que la esperada. El concepto b�sico dentro del m�todo lo constituye el "tipo", esto es: la casilla de la tabla de contingencia que muestra una frecuencia significativamente mayor que la esperada.

Para lograr una comprensi�n m�s �ntegra del m�todo, se explicar� a partir de una tabla de contingencia de cuatro entradas; la generalizaci�n a mayores dimensiones es inmediata.

Sea Π una tabla de contingencia de cuatro categor�as: A, B, C y D, con I, J, K, L atributos, respectivamente. Las I x J x K x L configuraciones se. denotan por {i, j, k, L} con i = 1,..., I; j� = 1,...,J; k = 1,...,K y L = 1,...,L. La probabilidad asociada a cada configuraci�n se denota por π_ijkl. Aqu� es necesario precisar el t�rmino "esperado" ya que es esencial para la cabal comprensi�n del concepto fundamental de "tipo".

Se dice que una cierta configuraci�n {i, j, k, L} es un tipo si se cumple que manera de probar lo anterior es a trav�s del contraste de la hip�tesis de independencia local.

 

Vinculaci�n de m�todos

La vinculaci�n de los m�todos se hace a trav�s del an�lisis de las correspondencias en sus dos variantes: simple y m�ltiple. La idea b�sica es encontrar la semejanza del an�lisis de clases latentes y el an�lisis de las frecuencias de las configuraciones, respectivamente, con estas variantes del AC. En esta secci�n se siguen las ideas generales dadas por van der Heijden et al (1999).

El an�lisis de las frecuencias de las configuraciones y el an�lisis de las correspondencias

La relaci�n entre el AFC y el AC, en general, no presenta ninguna dificultad. Una vez determinados los tipos seg�n la forma usual, se pasa al an�lisis de las correspondencias m�ltiples. En este sentido se tienen en cuenta dos aspectos:

�         El an�lisis usual de las categor�as de las variables implicadas a partir del gr�fico (bidimensional o tridimensional, seg�n sea el caso)

�         El an�lisis de las configuraciones, que no es m�s que la transformaci�n de las casillas al espacio factorial determinado por el ACM.

 

El an�lisis de clases latentes y el an�lisis de las correspondencias simple

En la secci�n anterior se present� el an�lisis de las correspondencias simples con el enfoque del an�lisis de las correlaciones can�nicas. En esta se ver� qu�, bajo ciertas condiciones, existe semejanza entre este y el ACL.

Tanto el ACS como el ACL pueden considerarse como m�todos que dan una descomposici�n de rango reducido de la matriz, en el sentido siguiente: si se considera Π como una matriz, ambos m�todos lo que persiguen es dar una representaci�n reducida de la matriz.

Por ejemplo, en el caso presentado anteriormente, (3.10) define una matriz de rango R. Se pueden ver los siguientes casos:

(a) Si R = min(I, J) , se tiene que Π es de rango completo y el modelo propuesto es el saturado.

(b) Si R = 1, se tiene el modelo de independencia

(c) Si 1 < R < min(I, J) , (3.10) nos da una matriz de rango reducido

Con vistas al establecimiento de la relaci�n entre ambos m�todos, es necesario aplicar una transformaci�n (Goodman, 1974) que da pie, en el marco de las ciencias sociales, a lo que se conoce por el nombre de an�lisis de presupuesto latente. La transformaci�n se da a continuaci�n:

 

Esta transformaci�n juega un papel importante en el establecimiento de la vinculaci�n entre los dos an�lisis, por eso a continuaci�n se presentan algunas de sus caracter�sticas m�s importantes:

Es conocido que los modelos de an�lisis de clases latentes se pueden presentar de varias maneras y que una de las m�s conocidas es el enfoque a trav�s de modelos loglineales. En este contexto, se tiene que las variables manifiestas A y B son independientes condicionadas por Q, debido a las reglas de colapsibilidad para modelos loglineales (v�ase Agresti, 2002). De las diversas formas de estudiar la dependencia para tablas de 3 entradas, la m�s conveniente para el fin que se persigue es la siguiente:

�         Si se define independencia para elementos del tipo �[1] como sigue: , entonces es f�cil estudiarla mediante la comparaci�n de las condicionales con las marginales, antes expuestas, ya que es f�cil ver que el miembro izquierdo no es m�s que . Esto es lo usual en el ACL.

�         Con lo anterior queda claro que los par�metros rescalados tienen una interpretaci�n en el sentido de la masa de la categor�a i que corresponde a la clase t.

Una vez visto que tiene sentido trabajar con los par�metros rescalados, se presenta a continuaci�n la forma en que se produce la vinculaci�n entre el ACS y el ACL.

Es conocido (Benz�cri, 1973, Greenacre, 1991) que el ACS se tiene� siempre que el n�mero de factores es igual al rango de la matriz Π, con lo que se logra una descomposici�n de �sta. A partir de aqu� se puede establecer una relaci�n con lo que se mencion� anteriormente acerca de los modelos de clases latentes y el rango de Π:

(a) El n�mero de factores del ACS coincide con el de clases latentes

(b) El n�mero de factores del ACS es 1 y el ACL =1

(c) El n�mero de factores ser� igual al rango, pero no siempre se lograr� el mismo n�mero de clases latentes

Adem�s, de Leeuw & van der Heijden (1991) demuestran un caso adicional:

(d) Si R = 2, ACS implica ACL y los modelos son equivalentes.

Por lo que se aprecia en los puntos anteriores, existe coincidencia entre ambos m�todos en algunos casos, siempre que se utilice para estimar los par�metros el mismo m�todo de estimaci�n. Si se supone que las estimaciones de ambos m�todos son iguales se encuentra la siguiente relaci�n muy interesante para los fines del an�lisis de datos:

 

(4.1)

 

Al comparar (3.2) con (4.1) se tiene la siguiente relaci�n:

 

(4.2)

 

De (4.2) se aprecia una relaci�n lineal entre ambas expresiones, esto es: Existen matrices F y G de transformaci�n con dimensiones R x R que dan lo siguiente:

�         Sea X, de dimensi�n I x R, la matriz que contiene los X_im m�s la primera columna de 1; sea igualmente Y, de dimensi�n J x R, la matriz que contiene los y_jm m�s la primera columna igual a 1. Se tiene entonces

 

 

donde Π_i y Π_j son matrices de I x R y J x R, respectivamente, tales que: y��������������������������������

Claro que esta relaci�n s�lo se cumple bajo la hip�tesis de igualdad de los par�metros ajustados.

 

El an�lisis de clases latentes y el an�lisis de las correspondencias m�ltiples

La relaci�n el ACL y el ACM se hace muy claro cuando (3.11) se suma en i, j y k, respectivamente. Una vez hecho esto, se obtiene:

 

Como se ve, el ACL da tres matrices con m�rgenes bivariados de rango reducido T, adem�s, estas ecuaciones tienen par�metros en com�n. De aqu� es f�cil establecer relaciones semejantes al caso bivariado. Si bien el procedimiento es muy semejante, no se puede llegar al establecimiento de la relaci�n que se obtuvo para rango 2, ya que el rec�proco no se cumple, esto es: varias tablas de doble entrada no implican una tabla de orden superior.

 

De igual forma que antes, se puede poner:

 

 

Nuevamente se tiene la validez a partir de la repetici�n de los elementos. Si se supone que existe alg�n caso en el que se da la igualdad, como se hizo con el bivariado, se puede llegar a una expresi�n matricial con las correspondientes matrices de transformaci�n.

 

Representaci�n gr�fica

Precisamente en la representaci�n gr�fica es donde mejor se aprecia la vinculaci�n de los m�todos que se explic� en el ac�pite anterior.

B�sicamente existen tres formas de representaci�n, a saber:

�         Gr�fico unidimensional

�         Gr�fico bidimensional (Scatterplot)

�         Gr�fico ternario

 

Los dos primeros no necesitan explicaci�n, ya que son los m�s com�nmente usados en Estad�stica. El tercero, aunque es menos conocido, tampoco es exclusivo de los m�todos que se analizan en el presente trabajo, ya que son la forma cl�sica para la representaci�n de los resultados en las superficies de respuestas para modelos de mezcla (Montgomery, 1991). En el contexto del an�lisis de clases latentes, este gr�fico se utiliza' para la representaci�n de los par�metros rescalados que, al sumar uno, pueden ubicarse dentro de un simplex.

Realmente, el AC es el m�todo que tiene como una parte consustancial un gr�fico. De ah� que en lo que sigue se tratar�n en detalle las caracter�sticas del mismo.

En el AC se distinguen dos tipos de gr�ficos:

 

�         Gr�fico asim�trico: En el caso del ACS, las filas y las columnas se presentan de forma independiente, con escalas distintas. En el ACM, se representan los primeros factores tambi�n de manera independiente.

�         Gr�fico sim�trico: Para el ACS, las filas y las columnas se reproducen sobre el mismo gr�fico, con una misma escala. De igual forma se procede con el ACM, en el que se presentan por pares.

 

Como el objetivo de este trabajo es la vinculaci�n con los otros m�todos de an�lisis de datos categ�ricos expuestos anteriormente, se continuar� s�lo con el sim�trico, ya que el asim�trico no es �til para estos fines.

Greenacre (2006) considera el gr�fico sim�trico como una opci�n conveniente debido a que la representaci�n de los puntos de filas y columnas se hace con la misma escala. Esta forma es conocida tambi�n como el "escalamiento franc�s o de Benz�cri" y es el preferido por la escuela francesa de an�lisis de datos.

En este contexto se proponen las siguientes reglas de an�lisis:

Para interpretar el gr�fico, se deben considerar las posiciones relativas a un eje de puntos perteneciente a la misma nube. Dos puntos cercanos en el gr�fico tendr�n un perfil similar.

Interpretaci�n angular entre los puntos pertenecientes a la nube diferente.

Se puede interpretar el �ngulo entre los puntos de las filas y las columnas tomando el origen de coordenadas como el v�rtice.

�

Figura 1: Relaci�n angular en el ACS

 

Siguiendo algunas reglas:

a) Si el �ngulo entre los puntos es agudo (< 90�) la correlaci�n entre las dos caracter�sticas, es alta.

b) Si el �ngulo entre los puntos es obtuso (> 90�) la correlaci�n entre las dos caracter�sticas, es baja (o negativa).

c) Si el �ngulo es recto, los puntos no interact�an o no hay correlaci�n entre ellos.

 

Contrariamente a lo expuesto por Greenacre y la escuela francesa, Goodman (2000) plantea en su exhaustivo trabajo sobre el an�lisis de tablas de contingencia de dos entradas, contenido en Statistics for the 21st Century, la necesidad de hacer un rescalamiento de las coordenadas para lograr una representaci�n que d� una interpretaci�n geom�trica directa. Para ello, define una familia de transformaciones del tipo siguiente:

 

 

Donde γ+δ=1. En el caso de inter�s para el an�lisis de las correspondencias, se toman δ= γ=0.5 y se tiene una formulaci�n simplificada del modelo de dependencia (3.2). De aqu� se tiene que la contingencia de Pearson se puede expresar como el producto escalar de los dos vectores rescalados, con lo que se obtiene la posibilidad de una interpretaci�n geom�trica directa.

 

Conclusiones y recomendaciones

�         La combinaci�n de m�todos para el an�lisis de datos categ�ricos mejora considerablemente las posibilidades de interpretaci�n y son una ayuda eficaz para el analista.

 

�         Si bien, en el trabajo se presentan algunos aspectos de c�mo se realiza la vinculaci�n entre el AC y el ACL, es necesario continuar con esa investigaci�n, para lograr una comprensi�n m�s cabal de las relaciones entre ambos tipos de an�lisis.

 

 

Referencias

1.      AGRESTI, A. (2002): Categorical Data Analysis (2nd Edition), Wiley, Nueva York

 

2.      BENZ�CRI, J.-P et collaborateurs ( 1973) : L'Analyse des Donn�s. L'Analyse des Correspondences, Duno�, Par�s

 

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