Detalles de la derivación e implementación de algoritmo básico para la reducción de dimensionalidad con PCA

Resumen

Los problemas que requieren de análisis de datos, a menudo son difíciles de resolver, debido principalmente a la cantidad de variables involucradas en el modelo matemático. Los científicos de datos generalmente trabajan con millones de variables para hacer estimaciones que soportan decisiones importantes. En el procesamiento digital de imágenes, por ejemplo, el número de puntos que representan pixeles en tres dimensiones podría muy grande en imágenes a color. En estos casos, el costo computacional que requiere el manejo de estos datos puede resultar inaceptable, y la reducción de dimensionalidad de estos datos se hace necesaria. Aún cuando se cuente con la tecnología adecuada, la reducción en tiempo de cómputo siempre es deseable. El manejo de datos con alta dimensionalidad, el análisis y la interpretación se dificulta y en el caso de imágenes, su visualización podría verse afectada considerando las limitaciones de memoria. En la mayoría de los casos, estos datos son redundantes, y la información importante puede revelarse con solo parte de los mismos. La reducción de dimensionalidad es el proceso mediante el cual se descarta parte de la data que no aporta información relevante; y uno de los métodos más usados en todos los ámbitos es el análisis de componentes principales, o PCA, el cual se basa en el cálculo de algunos autovalores de la matriz de covarianzas de los datos. En este trabajo revisamos las herramientas matemáticas detrás del análisis del PCA, y detallamos los pasos de un algoritmo para reducir dimensionalidad que luego es implementado en Matlab. Se presenta también un ejemplo de aplicación para ilustrar el proceso.